Η θέση και η απομάκρυνση σε μια ΑΑΤ.

Καλησπέρα Διονύση. 

Άσκηση ωραία που ξεφεύγει από το γνωστό μοτίβο Α.Α.Τ. με Θ.Ι. την χ = 0. Πολύ χρήσιμη η επισήμανση της διαφοράς στις έννοιες απομάκρυνση από τη Θ.Ι.Τ. και θέση στον άξονα κίνησης ( δένει με την Α λυκείου: θέση vs μετατόπιση )

Αν μου επιτρέπεις και μία ανάλυση με μία άλλη ματιά, αλλά δεν απευθύνεται όλο της το κομμάτι σε μαθητές:

Από το διάγραμμα μπορώ να βρω τη συνάρτηση της επιτάχυνσης:  α=α(χ), καθώς είναι της μορφής α=βχ+γ.

Βρίσκουμε λοιπόν α = -40χ+24 (S.I.)

Συνεπώς η συνολική δύναμη F που ασκείται στο σώμα είναι :

F = mα=0.1(-40χ+24)=-4χ+2,4= -4(χ-0,6) (S.I.)=-Dx’ με χ’ = χ-0,6 και D = 4N/m, δηλαδή Α.Α.Τ. με κέντρο το χ = 0.6m

Επειδή $latex \displaystyle \nabla \times \Sigma F=0$ , υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση U ( συνάρτηση δυναμικής ενέργειας ) τέτοια ώστε : $latex F=-\frac{dU}{dt}\Leftrightarrow dU=-Fdt\Rightarrow \int{dU=-\int{(-4x+2,4)dx+c\Rightarrow U=2{{x}^{2}}-2.4x+c}}$

Για τον προσδιορισμό της c:

Όταν χ=0.4 τότε U=E=1/2Dx2=0.08j. Συνεπώς c=0.72j

Τελικά $latex U=2{{x}^{2}}-2.4x+0.72=2{{(x-0.6)}^{2}}(S.I)$ . Αφού η δύναμη είναι διατηρητική Κ+U=σταθερή

$latex \frac{d{\mathrm K}}{dt}+\frac{dU}{dt}=0\quad (1)$ με $latex {\mathrm K}=\frac{1}{2}m{{u}^{2}}=\frac{1}{2}m{{(\frac{dx}{dt})}^{2}}\ (2)$

Επιπλέον: $latex \frac{d{\mathrm K}}{dt}=\frac{d{\mathrm K}}{d\chi }\frac{d\chi }{dt}=m\dot{x}\ddot{x}=0.1\dot{x}\ddot{x}\ (3)$  και 

$latex \frac{dU}{dt}=\frac{dU}{dx}\frac{dx}{dt}=(-2.4+4x)\dot{x}\quad (4)$

Στην (1) με (2) και (3) έχω: $latex \ddot{x}+40x-24=0\quad (5)$

H λύση της (5) είναι: $latex x={{c}_{1}}\eta \mu (2\sqrt{10}t)+{{c}_{2}}\sigma \upsilon \nu (2\sqrt{10}t)+0.6\quad (6)$

Οι σταθερές της (6) προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες και φυσικά μπορεί να μετασχηματιστεί στη γνωστή: 

$latex x=A\eta \mu (\omega t+{{\varphi }_{o}})$