Όπως έχω ήδη γράψει, η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης δεν είναι το ίδιο με τη δυναμική ενέργεια. Αλλά, πριν μιλήσουμε για τη χορδή, ας πάμε στο ελατήριο.
Όταν ελατήριο επιμηκυνθεί κατά x, η δύναμη που ασκεί είναι -kx και η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης που αποκτά είναι 1/2 k x^2. Ποιά είναι η δυναμική του ενέργεια;
Εξ ορισμού η δυναμική ενέργεια είναι εκείνη η συνάρτηση του x που η αρνητική της παράγωγος είναι η δύναμη. Άρα U=1/2 k x^2, άρα είναι η ίδια με την ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης.
Ας πάμε τώρα στο εγκάρσιο κύμα μιας χορδής. Πάμε στο σημείο x της χορδής και θεωρούμε ένα τμήμα Δx. Καθώς το κύμα περνάει από το x, το μήκος του κομματιού αυξομειώνεται και έτσι αυξομειώνεται η ενέργεια ελαστικής του παραμόρφωσης. Όμως η δυναμική ενέργεια του τμήματος Δx είναι πάλι εκείνη η συνάρτηση της κάθετης μετατόπισης (έστω y) που η αρνητική της παράγωγος είναι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι.
Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι είναι αυτή που ασκείται στα άκρα του από την υπόλοιπη χορδή. Αν αυτή είναι συνάρτηση του y, τότε έχουμε ένα νέο πεδίο δύναμης και, επομένως, ένα νέο πεδίο δυναμικού.
Με λίγη ανάλυση μπορεί κανείς να δείξει ότι η δύναμη αυτή δεν είναι συνάρτηση του y. Για την ακρίβεια είναι ανάλογη της δεύτερης μερικής παραγώγου του y ως προς x. Άρα δεν υπάρχει πεδίο δύναμης, ούτε πεδίο δυναμικού.
Στη μερική περίπτωση του αρμονικού κύματος όμως, η δεύτερη παράγωγος του y ως προς x είναι ανάλογη του y. Άρα εδώ υπάρχει πεδίο δύναμης παρόμοιο με αυτό του ελατηρίου. Υπάρχει επομένως και πεδίο δυναμικού της μορφής U=1/2 D x^2. Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο.
Αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πεδίο δυναμικού λόγω ελαστικών παραμορφώσεων των τμημάτων της χορδής. Το πεδίο αυτό περιγράφει τις δυνάμεις που ασκούνται στο κομματάκι από την υπόλοιπη χορδή.
Όπως έχω ήδη γράψει, η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης δεν είναι το ίδιο με τη δυναμική ενέργεια. Αλλά, πριν μιλήσουμε για τη χορδή, ας πάμε στο ελατήριο.
Όταν ελατήριο επιμηκυνθεί κατά x, η δύναμη που ασκεί είναι -kx και η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης που αποκτά είναι 1/2 k x^2. Ποιά είναι η δυναμική του ενέργεια;
Εξ ορισμού η δυναμική ενέργεια είναι εκείνη η συνάρτηση του x που η αρνητική της παράγωγος είναι η δύναμη. Άρα U=1/2 k x^2, άρα είναι η ίδια με την ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης.
Ας πάμε τώρα στο εγκάρσιο κύμα μιας χορδής. Πάμε στο σημείο x της χορδής και θεωρούμε ένα τμήμα Δx. Καθώς το κύμα περνάει από το x, το μήκος του κομματιού αυξομειώνεται και έτσι αυξομειώνεται η ενέργεια ελαστικής του παραμόρφωσης. Όμως η δυναμική ενέργεια του τμήματος Δx είναι πάλι εκείνη η συνάρτηση της κάθετης μετατόπισης (έστω y) που η αρνητική της παράγωγος είναι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι.
Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι είναι αυτή που ασκείται στα άκρα του από την υπόλοιπη χορδή. Αν αυτή είναι συνάρτηση του y, τότε έχουμε ένα νέο πεδίο δύναμης και, επομένως, ένα νέο πεδίο δυναμικού.
Με λίγη ανάλυση μπορεί κανείς να δείξει ότι η δύναμη αυτή δεν είναι συνάρτηση του y. Για την ακρίβεια είναι ανάλογη της δεύτερης μερικής παραγώγου του y ως προς x. Άρα δεν υπάρχει πεδίο δύναμης, ούτε πεδίο δυναμικού.
Στη μερική περίπτωση του αρμονικού κύματος όμως, η δεύτερη παράγωγος του y ως προς x είναι ανάλογη του y. Άρα εδώ υπάρχει πεδίο δύναμης παρόμοιο με αυτό του ελατηρίου. Υπάρχει επομένως και πεδίο δυναμικού της μορφής U=1/2 D y^2. Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο.
Αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πεδίο δυναμικού λόγω ελαστικών παραμορφώσεων των τμημάτων της χορδής. Το πεδίο αυτό περιγράφει τις δυνάμεις που ασκούνται στο κομματάκι από την υπόλοιπη χορδή.
" Υπάρχει επομένως και πεδίο δυναμικού της μορφής U=1/2 D y^2. Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο.
Αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πεδίο δυναμικού λόγω ελαστικών παραμορφώσεων των τμημάτων της χορδής. Το πεδίο αυτό περιγράφει τις δυνάμεις που ασκούνται στο κομματάκι από την υπόλοιπη χορδή."
Πειράζει που όλα αυτά τα βλέπω πολύ θολά που αντί να ξεκαθαρίζουν την κατάσταση την θολώνουν;
Πειράζει που το βιβλίο δεν λέει τίποτα περί "Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο" παρά αναφέρει ΑΑΤ και δεν καταλαβαίνω αν εσύ συμφωνείς ή όχι;
Πειράζει να ζητήσω μια ξεκάθαρη απάντηση για το αν μια σημειακή μάζα της χορδής έχει δυναμική ενέργεια και αν ναι πόση είναι αυτή;
Πειράζει να ζητήσω μια ξεκάθαρη απάντηση στο ερώτημα, αν αυτή η δυναμική ενέργεια της σημειακής μάζας, μετά από λίγο θα γίνει κινητική ενέργεια της ίδιας σημειακής μάζας ή όχι;
Στη γενική περίπτωση αυτό που λέμε εγκάρσιο κύμα σε χορδή κατά τον x-άξονα είναι το άθροισμα δυο συναρτήσεων y+(vt-x) και y-(vt+x) που διαδίδονται προς τα +x και τα –x αντίστοιχα με την ίδια ταχύτητα v. Οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι κατ΄ ανάγκη ημίτονα και συνημίτονα. Γι΄ αυτό το λόγο οι κινήσεις των σημείων της χορδής στη γενική περίπτωση δεν είναι ΑΑΤ.
Ας εξηγήσουμε που οφείλεται η δύναμη επαναφοράς στα σημεία της χορδής: Αν Τ η τάση της χορδής, σε κάθε σημείο της ασκούνται δύο αντίθετες δυνάμεις: +Τ και –Τ. Αν όμως, αντί για σημείο, πάρεις ένα στοιχειώδες τμήμα που έχει μη μηδενική καμπυλότητα, οι δυνάμεις μέτρου Τ που ασκούνται στα άκρα του σχηματίζουν μια γωνία που διαφέρει ελάχιστα από 180ο και που είναι ανάλογη του μήκους του. Επομένως δίνουν μια μικρή συνισταμένη που είναι σχεδόν κάθετη στον x-άξονα. Αυτή δρα σαν δύναμη επαναφοράς για το στοιχειώδες τμήμα.
Άρα υπάρχει ένα «πεδίο δυνάμεων επαναφοράς» κατά μήκος της χορδής. Το ζήτημα τώρα είναι αν αυτό το πεδίο είναι συντηρητικό. Γιατί, αν δεν είναι, δεν μπορεί να οριστεί δυναμική ενέργεια.
Αναγκαία προϋπόθεση για να είναι το πεδίο συντηρητικό είναι η δύναμη επαναφοράς να είναι συνάρτηση της απομάκρυνσης, του y. Όταν στη χορδή διαδίδεται αρμονικό κύμα, τότε για τη δύναμη επαναφοράς F ισχύει: F=-Dy. Άρα η δύναμη είναι συντηρητική και ορίζεται δυναμική ενέργεια με τύπο παρόμοιο με αυτόν της ΑΑΤ.
Το πεδίο παύει να είναι συντηρητικό όταν το εγκάρσιο κύμα δεν είναι αρμονικό. Άρα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όσα ξέρουμε από τις ΑΑΤ, αρκεί το κύμα που διαδίδεται στη χορδή να δίνεται με τις γνωστές αρμονικές συναρτήσεις. Αλλά τα κύματα δεν δίνονται γενικά με αρμονικές συναρτήσεις.
Γεια σου και πάλι Νίκο. Νόμιζα ότι είχα διατυπώσει σοβαρές αντιρρήσεις στη συλλογιστική σου και ότι θα μπορούσες να το ξανασκεφτείς. Αλλά μάλλον δεν θα έπρεπε.
Κάνω μια τελευταία προσπάθεια, όχι τόσο για σένα, (δεν βλέπω να υπάρχουν ελπίδες να δεις τι υποστηρίζει η επίσημη βιβλιογραφία και όχι εγώ, έχοντας βαλθεί να αναθεωρήσεις θεωρίες…) αλλά για φίλους που τυχόν μας διαβάζουν…
Ας πάρουμε το παρακάτω σχήμα:
Στο πάνω σχήμα έχουμε διάδοση ενός ημιτονοειδούς παλμού, στο κάτω ενός τριγωνικού παλμού.
Δεν βλέπω καμιά διαφορά στα δύο σχήματα, ούτε διαφορετικές δυναμικές ενέργειες ανά περίπτωση και ανάλογα με τη μορφή των παλμών… Αλίμονο αν οι ενέργειες καθορίζονταν ανά περίπτωση! Αλίμονο αν είχαμε άλλες δυναμικές ενέργειες ανάλογα με το σχήμα της χορδής…
Οι δυο τάσεις και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσες!!! και δεν δίνουν καμιά κατακόρυφη συνισταμένη….
Αλλά επειδή επιμένεις εφευρίσκοντας «νέες θεωρίες» ας δούμε το τμήμα ΑΒ ενός αρμονικού τμήματος, όπως στο σχήμα, όπου το ΑΒ δε θα το θεωρήσουμε ευθύγραμμο.
Η κατάσταση είναι όπως στο σχήμα:
Οι δυο τάσεις από την υπόλοιπη χορδή είναι εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β και αν φέρουμε τις κάθετες στις δυνάμεις παίρνουμε το σημείο Ο. Η συνισταμένη ΣF των δύο τάσεων που σχηματίζουν γωνία 180°-dθ διχοτομεί τη γωνία τους και προφανώς δεν είναι στη διεύθυνση y. Για ποια δύναμη επαναφοράς συζητάμε;
Πρέπει ντε και καλά να βρούμε συνισταμένη στη διεύθυνση y; Αφού δεν υπάρχει…
Αλλά επιτέλους Φυσικοί είμαστε. Δεν υπάρχει και δεν βλέπουμε την δυναμική ενέργεια η οποία συνδέεται με το τέντωμα της χορδής και που οφείλεται στις τάσεις Τ και «εφευρίσκουμε» άλλη δυναμική ενέργεια που οφείλεται στη συνισταμένη τους;
Αν οι δυο δυνάμεις τεντώνουν τη χορδή και μέσω των έργων τους το τμήμα ΑΒ αποκτά κάποια δυναμική ενέργεια, η ΙΔΙΑ ενέργεια μπορεί να θεωρηθεί ότι μεταφέρθηκε στη χορδή μέσω του έργου της συνισταμένης τους… Χρειαζόμαστε πολλά μαθηματικά για να φτάσουμε στο συμπέρασμα αυτό και να μην διατυπώνουμε καινοφανείς θεωρίες, για μια άλλη δυναμική ενέργεια;
Άλλη δυναμική ενέργεια οι συνιστώσες και άλλη η συνισταμένη;
Στο πάνω σχήμα έχουμε διάδοση ενός ημιτονοειδούς παλμού, στο κάτω ενός τριγωνικού παλμού.
Δεν βλέπω καμιά διαφορά στα δύο σχήματα, ούτε διαφορετικές δυναμικές ενέργειες ανά περίπτωση και ανάλογα με τη μορφή των παλμών… Αλίμονο αν οι ενέργειες καθορίζονταν ανά περίπτωση! Αλίμονο αν είχαμε άλλες δυναμικές ενέργειες ανάλογα με το σχήμα της χορδής…
Τις δυναμικές ενέργειες Διονύση ούτε και γω μπορώ να τις δω, αλλά μπορώ να τις υπολογίσω. Επαναλαμβάνω κάτι που έχω πει τουλάχιστον δυο φορές: Δυναμική ενέργεια δεν υφίσταται στη χορδή που διαδίδει εγκάρσιο κύμα. Όσοι την ορίζουν στα βιβλία τους το κάνουν μόνο για την περίπτωση του αρμονικού εγκάρσιου κύματος (αλλά στα άπειρα δυνατά εγκάρσια κύματα, το αρμονικό αποτελεί εξαίρεση).
Φαίνεται ότι δεν συμφωνείς με τον τρόπο που υπολογίζω τη συνισταμένη δύναμη σε στοιχειώδες τμήμα της χορδής (αν η θεωρία του Ευταξία είναι η επίσημη, τότε όντως αυτή είναι δική μου). Η αντίρρησή σου βασίζεται στο γεγονός ότι μια τέτοια συνισταμένη δεν είναι εγκάρσια. Όντως, δεν είναι εγκάρσια, αλλά η γωνία που σχηματίζει με την εγκάρσια κατεύθυνση είναι πολύ μικρή. Η δύναμη αυτή οδηγεί το τμήμα της χορδής στο οποίο ασκείται να κάνει μια περίπου (δηλ. όχι ακριβώς) εγκάρσια κίνηση. Πράγματι, κάθε σημείο της χορδής δεν κινείται σε ακριβώς παράλληλη κίνηση με τον y- άξονα. Αυτό δεν μας εμποδίζει να λέμε την κίνηση εγκάρσια.
Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι για να εφαρμόσουμε το Β΄ νόμο του Νεύτωνα σε διαφορική μορφή, δηλ. τη μια από τις δύο εξισώσεις κίνησης, πρέπει να υπάρχει συνισταμένη σε κάθε στοιχειώδες τμήμα. Από τα δύο σχήματα που μου έστειλες, δηλ. αυτό με την αρμονική και αυτό με την τριγωνική κυματομορφή, υπάρχει συνισταμένη λόγω ύπαρξης καμπυλότητας (μην αντιτείνης ότι η τριγωνική δεν έχει καμπυλότητα. Έχει απειριζόμενη καμπυλότητα στις γωνίες).
Νομίζω ότι δεν συνενοούμαστε γιατί μιλάμε διαφορετικές γλώσσες. Είμαι της μαθηματικής σχολής. Είσαι της σχηματικής. Γι΄ αυτό ας μπει κανένας άλλος στο παιγνίδι να μας πει ποιός έχει δίκιο (κι ο Ευταξίας, βέβαια, καλοδεχούμενος).
“Δεν είναι σωστό να κάνουμε τη δυναμική ενέργεια στοιχειωδών τμημάτων της χορδής να εξαρτάται από την κλίση (την παράγωγο dy/dx). ” και:
“Εμένα πράγματι μ΄ ενδιαφέρει η θεωρητική θεμελίωση γιατί είμαι σχολαστικός και άνθρωπος του “ορθού δρόμου” και:
“Φαίνεται ότι δεν συμφωνείς με τον τρόπο που υπολογίζω τη συνισταμένη δύναμη σε στοιχειώδες τμήμα της χορδής (αν η θεωρία του Ευταξία είναι η επίσημη, τότε όντως αυτή είναι δική μου).”
Λοιπόν, ο Ευταξίας γράφει τα παρακάτω. Στο αφιερώνω:
Εγώ που δεν είμαι “της μαθηματικής σχολής” αλλά είμαι της “σχηματικής” έγραψα δίπλα:
Αλήθεια, ποιος από τους δυο μας συμφωνεί με τον Κώστα Ευταξία;
“Τις δυναμικές ενέργειες Διονύση ούτε και γω μπορώ να τις δω, αλλά μπορώ να τις υπολογίσω.”
Και γω ένα απλό ΕΚΠΑ τελείωσα. Οι θεωρητικές γνώσεις που αναπτύσσω εδώ τις πήρα από κει, όχι από το Liverpool. Στη μαθηματική φυσική είχα τον Αντωνίου και είχα αρκετή επιρροή από το μάθημά του.
Εγώ ζήτησα να μπουν κι άλλοι στο παιγνίδι να πουν τη γνώμη τους. Μπορεί να έχω κάποια ανάγκη για δικαίωση,αλλά όχι τόσο μεγάλη ώστε να πω: "όποιος διαφωνεί με μένα να μην μπει στο παιγνίδι".
Την έννοια "μαθηματική σχολή" και "σχηματική σχολή" τη σχημάτισα σ΄ αυτό το δίκτυο. Κάποιοι αντιλαμβάνονται τον φυσικό κόσμο μέσω εξισώσεων και κάποιοι άλλοι μέσω σχημάτων.
Θα παρακαλούσα τον Διονύση να σταθεί πάλι στα πόδια του μέσα στο ring και να μου πει "με ποιόν τρόπο βλέπει τη δυναμική ενέργεια".
Επίσης, τον ευχαριστώ για τον Ευταξία, αλλά τον είχα ήδη διαβάσει. Συμπέρανα ότι μάλλον τον πήραν τα γεράματα.
by 
Γεια σου Νίκο.
Στο παραπάνω είμαι σύμφωνος, αν και βλέπω "μικρό κέρδος" το να βγάλουμε την συνολική κινητική ενέργεια της χορδής ίση με τη συνολική δυναμική της.
Το πολύ σημαντικό σημείο για μένα δεν είναι αυτό, αλλά τι συμβαίνει για τις ενέργειες μιας στοιχειώδους μάζας της χορδής.
Και αυτό, αφού το σχολικό βιβλίο δεν λέει τίποτα και στις πανελλήνιες αντιμετωπίζεται η κίνηση της μάζας αυτής ως ΑΑΤ…
Αγαπητέ Διονύση.
Όπως έχω ήδη γράψει, η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης δεν είναι το ίδιο με τη δυναμική ενέργεια. Αλλά, πριν μιλήσουμε για τη χορδή, ας πάμε στο ελατήριο.
Όταν ελατήριο επιμηκυνθεί κατά x, η δύναμη που ασκεί είναι -kx και η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης που αποκτά είναι 1/2 k x^2. Ποιά είναι η δυναμική του ενέργεια;
Εξ ορισμού η δυναμική ενέργεια είναι εκείνη η συνάρτηση του x που η αρνητική της παράγωγος είναι η δύναμη. Άρα U=1/2 k x^2, άρα είναι η ίδια με την ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης.
Ας πάμε τώρα στο εγκάρσιο κύμα μιας χορδής. Πάμε στο σημείο x της χορδής και θεωρούμε ένα τμήμα Δx. Καθώς το κύμα περνάει από το x, το μήκος του κομματιού αυξομειώνεται και έτσι αυξομειώνεται η ενέργεια ελαστικής του παραμόρφωσης. Όμως η δυναμική ενέργεια του τμήματος Δx είναι πάλι εκείνη η συνάρτηση της κάθετης μετατόπισης (έστω y) που η αρνητική της παράγωγος είναι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι.
Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι είναι αυτή που ασκείται στα άκρα του από την υπόλοιπη χορδή. Αν αυτή είναι συνάρτηση του y, τότε έχουμε ένα νέο πεδίο δύναμης και, επομένως, ένα νέο πεδίο δυναμικού.
Με λίγη ανάλυση μπορεί κανείς να δείξει ότι η δύναμη αυτή δεν είναι συνάρτηση του y. Για την ακρίβεια είναι ανάλογη της δεύτερης μερικής παραγώγου του y ως προς x. Άρα δεν υπάρχει πεδίο δύναμης, ούτε πεδίο δυναμικού.
Στη μερική περίπτωση του αρμονικού κύματος όμως, η δεύτερη παράγωγος του y ως προς x είναι ανάλογη του y. Άρα εδώ υπάρχει πεδίο δύναμης παρόμοιο με αυτό του ελατηρίου. Υπάρχει επομένως και πεδίο δυναμικού της μορφής U=1/2 D x^2. Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο.
Αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πεδίο δυναμικού λόγω ελαστικών παραμορφώσεων των τμημάτων της χορδής. Το πεδίο αυτό περιγράφει τις δυνάμεις που ασκούνται στο κομματάκι από την υπόλοιπη χορδή.
Αγαπητέ Διονύση.
Όπως έχω ήδη γράψει, η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης δεν είναι το ίδιο με τη δυναμική ενέργεια. Αλλά, πριν μιλήσουμε για τη χορδή, ας πάμε στο ελατήριο.
Όταν ελατήριο επιμηκυνθεί κατά x, η δύναμη που ασκεί είναι -kx και η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης που αποκτά είναι 1/2 k x^2. Ποιά είναι η δυναμική του ενέργεια;
Εξ ορισμού η δυναμική ενέργεια είναι εκείνη η συνάρτηση του x που η αρνητική της παράγωγος είναι η δύναμη. Άρα U=1/2 k x^2, άρα είναι η ίδια με την ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης.
Ας πάμε τώρα στο εγκάρσιο κύμα μιας χορδής. Πάμε στο σημείο x της χορδής και θεωρούμε ένα τμήμα Δx. Καθώς το κύμα περνάει από το x, το μήκος του κομματιού αυξομειώνεται και έτσι αυξομειώνεται η ενέργεια ελαστικής του παραμόρφωσης. Όμως η δυναμική ενέργεια του τμήματος Δx είναι πάλι εκείνη η συνάρτηση της κάθετης μετατόπισης (έστω y) που η αρνητική της παράγωγος είναι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι.
Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο κομματάκι είναι αυτή που ασκείται στα άκρα του από την υπόλοιπη χορδή. Αν αυτή είναι συνάρτηση του y, τότε έχουμε ένα νέο πεδίο δύναμης και, επομένως, ένα νέο πεδίο δυναμικού.
Με λίγη ανάλυση μπορεί κανείς να δείξει ότι η δύναμη αυτή δεν είναι συνάρτηση του y. Για την ακρίβεια είναι ανάλογη της δεύτερης μερικής παραγώγου του y ως προς x. Άρα δεν υπάρχει πεδίο δύναμης, ούτε πεδίο δυναμικού.
Στη μερική περίπτωση του αρμονικού κύματος όμως, η δεύτερη παράγωγος του y ως προς x είναι ανάλογη του y. Άρα εδώ υπάρχει πεδίο δύναμης παρόμοιο με αυτό του ελατηρίου. Υπάρχει επομένως και πεδίο δυναμικού της μορφής U=1/2 D y^2. Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο.
Αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πεδίο δυναμικού λόγω ελαστικών παραμορφώσεων των τμημάτων της χορδής. Το πεδίο αυτό περιγράφει τις δυνάμεις που ασκούνται στο κομματάκι από την υπόλοιπη χορδή.
" Υπάρχει επομένως και πεδίο δυναμικού της μορφής U=1/2 D y^2. Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο.
Αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πεδίο δυναμικού λόγω ελαστικών παραμορφώσεων των τμημάτων της χορδής. Το πεδίο αυτό περιγράφει τις δυνάμεις που ασκούνται στο κομματάκι από την υπόλοιπη χορδή."
Πειράζει που όλα αυτά τα βλέπω πολύ θολά που αντί να ξεκαθαρίζουν την κατάσταση την θολώνουν;
Πειράζει που το βιβλίο δεν λέει τίποτα περί "Προφανώς αυτό το πεδίο δυναμικού εννοεί το βιβλίο" παρά αναφέρει ΑΑΤ και δεν καταλαβαίνω αν εσύ συμφωνείς ή όχι;
Πειράζει να ζητήσω μια ξεκάθαρη απάντηση για το αν μια σημειακή μάζα της χορδής έχει δυναμική ενέργεια και αν ναι πόση είναι αυτή;
Πειράζει να ζητήσω μια ξεκάθαρη απάντηση στο ερώτημα, αν αυτή η δυναμική ενέργεια της σημειακής μάζας, μετά από λίγο θα γίνει κινητική ενέργεια της ίδιας σημειακής μάζας ή όχι;
Στη γενική περίπτωση αυτό που λέμε εγκάρσιο κύμα σε χορδή κατά τον x-άξονα είναι το άθροισμα δυο συναρτήσεων y+(vt-x) και y-(vt+x) που διαδίδονται προς τα +x και τα –x αντίστοιχα με την ίδια ταχύτητα v. Οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι κατ΄ ανάγκη ημίτονα και συνημίτονα. Γι΄ αυτό το λόγο οι κινήσεις των σημείων της χορδής στη γενική περίπτωση δεν είναι ΑΑΤ.
Ας εξηγήσουμε που οφείλεται η δύναμη επαναφοράς στα σημεία της χορδής: Αν Τ η τάση της χορδής, σε κάθε σημείο της ασκούνται δύο αντίθετες δυνάμεις: +Τ και –Τ. Αν όμως, αντί για σημείο, πάρεις ένα στοιχειώδες τμήμα που έχει μη μηδενική καμπυλότητα, οι δυνάμεις μέτρου Τ που ασκούνται στα άκρα του σχηματίζουν μια γωνία που διαφέρει ελάχιστα από 180ο και που είναι ανάλογη του μήκους του. Επομένως δίνουν μια μικρή συνισταμένη που είναι σχεδόν κάθετη στον x-άξονα. Αυτή δρα σαν δύναμη επαναφοράς για το στοιχειώδες τμήμα.
Άρα υπάρχει ένα «πεδίο δυνάμεων επαναφοράς» κατά μήκος της χορδής. Το ζήτημα τώρα είναι αν αυτό το πεδίο είναι συντηρητικό. Γιατί, αν δεν είναι, δεν μπορεί να οριστεί δυναμική ενέργεια.
Αναγκαία προϋπόθεση για να είναι το πεδίο συντηρητικό είναι η δύναμη επαναφοράς να είναι συνάρτηση της απομάκρυνσης, του y. Όταν στη χορδή διαδίδεται αρμονικό κύμα, τότε για τη δύναμη επαναφοράς F ισχύει: F=-Dy. Άρα η δύναμη είναι συντηρητική και ορίζεται δυναμική ενέργεια με τύπο παρόμοιο με αυτόν της ΑΑΤ.
Το πεδίο παύει να είναι συντηρητικό όταν το εγκάρσιο κύμα δεν είναι αρμονικό. Άρα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όσα ξέρουμε από τις ΑΑΤ, αρκεί το κύμα που διαδίδεται στη χορδή να δίνεται με τις γνωστές αρμονικές συναρτήσεις. Αλλά τα κύματα δεν δίνονται γενικά με αρμονικές συναρτήσεις.
Γεια σου και πάλι Νίκο. Νόμιζα ότι είχα διατυπώσει σοβαρές αντιρρήσεις στη συλλογιστική σου και ότι θα μπορούσες να το ξανασκεφτείς. Αλλά μάλλον δεν θα έπρεπε.
Κάνω μια τελευταία προσπάθεια, όχι τόσο για σένα, (δεν βλέπω να υπάρχουν ελπίδες να δεις τι υποστηρίζει η επίσημη βιβλιογραφία και όχι εγώ, έχοντας βαλθεί να αναθεωρήσεις θεωρίες…) αλλά για φίλους που τυχόν μας διαβάζουν…
Ας πάρουμε το παρακάτω σχήμα:
Στο πάνω σχήμα έχουμε διάδοση ενός ημιτονοειδούς παλμού, στο κάτω ενός τριγωνικού παλμού.
Δεν βλέπω καμιά διαφορά στα δύο σχήματα, ούτε διαφορετικές δυναμικές ενέργειες ανά περίπτωση και ανάλογα με τη μορφή των παλμών… Αλίμονο αν οι ενέργειες καθορίζονταν ανά περίπτωση! Αλίμονο αν είχαμε άλλες δυναμικές ενέργειες ανάλογα με το σχήμα της χορδής…
Οι δυο τάσεις και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσες!!! και δεν δίνουν καμιά κατακόρυφη συνισταμένη….
Αλλά επειδή επιμένεις εφευρίσκοντας «νέες θεωρίες» ας δούμε το τμήμα ΑΒ ενός αρμονικού τμήματος, όπως στο σχήμα, όπου το ΑΒ δε θα το θεωρήσουμε ευθύγραμμο.
Η κατάσταση είναι όπως στο σχήμα:
Οι δυο τάσεις από την υπόλοιπη χορδή είναι εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β και αν φέρουμε τις κάθετες στις δυνάμεις παίρνουμε το σημείο Ο. Η συνισταμένη ΣF των δύο τάσεων που σχηματίζουν γωνία 180°-dθ διχοτομεί τη γωνία τους και προφανώς δεν είναι στη διεύθυνση y. Για ποια δύναμη επαναφοράς συζητάμε;
Πρέπει ντε και καλά να βρούμε συνισταμένη στη διεύθυνση y; Αφού δεν υπάρχει…
Αλλά επιτέλους Φυσικοί είμαστε. Δεν υπάρχει και δεν βλέπουμε την δυναμική ενέργεια η οποία συνδέεται με το τέντωμα της χορδής και που οφείλεται στις τάσεις Τ και «εφευρίσκουμε» άλλη δυναμική ενέργεια που οφείλεται στη συνισταμένη τους;
Αν οι δυο δυνάμεις τεντώνουν τη χορδή και μέσω των έργων τους το τμήμα ΑΒ αποκτά κάποια δυναμική ενέργεια, η ΙΔΙΑ ενέργεια μπορεί να θεωρηθεί ότι μεταφέρθηκε στη χορδή μέσω του έργου της συνισταμένης τους… Χρειαζόμαστε πολλά μαθηματικά για να φτάσουμε στο συμπέρασμα αυτό και να μην διατυπώνουμε καινοφανείς θεωρίες, για μια άλλη δυναμική ενέργεια;
Άλλη δυναμική ενέργεια οι συνιστώσες και άλλη η συνισταμένη;
Γράφεις Διονύση:
Στο πάνω σχήμα έχουμε διάδοση ενός ημιτονοειδούς παλμού, στο κάτω ενός τριγωνικού παλμού.
Δεν βλέπω καμιά διαφορά στα δύο σχήματα, ούτε διαφορετικές δυναμικές ενέργειες ανά περίπτωση και ανάλογα με τη μορφή των παλμών… Αλίμονο αν οι ενέργειες καθορίζονταν ανά περίπτωση! Αλίμονο αν είχαμε άλλες δυναμικές ενέργειες ανάλογα με το σχήμα της χορδής…
Τις δυναμικές ενέργειες Διονύση ούτε και γω μπορώ να τις δω, αλλά μπορώ να τις υπολογίσω. Επαναλαμβάνω κάτι που έχω πει τουλάχιστον δυο φορές: Δυναμική ενέργεια δεν υφίσταται στη χορδή που διαδίδει εγκάρσιο κύμα. Όσοι την ορίζουν στα βιβλία τους το κάνουν μόνο για την περίπτωση του αρμονικού εγκάρσιου κύματος (αλλά στα άπειρα δυνατά εγκάρσια κύματα, το αρμονικό αποτελεί εξαίρεση).
Φαίνεται ότι δεν συμφωνείς με τον τρόπο που υπολογίζω τη συνισταμένη δύναμη σε στοιχειώδες τμήμα της χορδής (αν η θεωρία του Ευταξία είναι η επίσημη, τότε όντως αυτή είναι δική μου). Η αντίρρησή σου βασίζεται στο γεγονός ότι μια τέτοια συνισταμένη δεν είναι εγκάρσια. Όντως, δεν είναι εγκάρσια, αλλά η γωνία που σχηματίζει με την εγκάρσια κατεύθυνση είναι πολύ μικρή. Η δύναμη αυτή οδηγεί το τμήμα της χορδής στο οποίο ασκείται να κάνει μια περίπου (δηλ. όχι ακριβώς) εγκάρσια κίνηση. Πράγματι, κάθε σημείο της χορδής δεν κινείται σε ακριβώς παράλληλη κίνηση με τον y- άξονα. Αυτό δεν μας εμποδίζει να λέμε την κίνηση εγκάρσια.
Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι για να εφαρμόσουμε το Β΄ νόμο του Νεύτωνα σε διαφορική μορφή, δηλ. τη μια από τις δύο εξισώσεις κίνησης, πρέπει να υπάρχει συνισταμένη σε κάθε στοιχειώδες τμήμα. Από τα δύο σχήματα που μου έστειλες, δηλ. αυτό με την αρμονική και αυτό με την τριγωνική κυματομορφή, υπάρχει συνισταμένη λόγω ύπαρξης καμπυλότητας (μην αντιτείνης ότι η τριγωνική δεν έχει καμπυλότητα. Έχει απειριζόμενη καμπυλότητα στις γωνίες).
Νομίζω ότι δεν συνενοούμαστε γιατί μιλάμε διαφορετικές γλώσσες. Είμαι της μαθηματικής σχολής. Είσαι της σχηματικής. Γι΄ αυτό ας μπει κανένας άλλος στο παιγνίδι να μας πει ποιός έχει δίκιο (κι ο Ευταξίας, βέβαια, καλοδεχούμενος).
Καλημέρα Νίκο:
“Δεν είναι σωστό να κάνουμε τη δυναμική ενέργεια στοιχειωδών τμημάτων της χορδής να εξαρτάται από την κλίση (την παράγωγο dy/dx). ” και:
“Εμένα πράγματι μ΄ ενδιαφέρει η θεωρητική θεμελίωση γιατί είμαι σχολαστικός και άνθρωπος του “ορθού δρόμου” και:
“Φαίνεται ότι δεν συμφωνείς με τον τρόπο που υπολογίζω τη συνισταμένη δύναμη σε στοιχειώδες τμήμα της χορδής (αν η θεωρία του Ευταξία είναι η επίσημη, τότε όντως αυτή είναι δική μου).”
Λοιπόν, ο Ευταξίας γράφει τα παρακάτω. Στο αφιερώνω:
Εγώ που δεν είμαι “της μαθηματικής σχολής” αλλά είμαι της “σχηματικής” έγραψα δίπλα:
Αλήθεια, ποιος από τους δυο μας συμφωνεί με τον Κώστα Ευταξία;
“Τις δυναμικές ενέργειες Διονύση ούτε και γω μπορώ να τις δω, αλλά μπορώ να τις υπολογίσω.”
Μετά από αυτό:
“ισοπεδώθηκα”. Με έβγαλες νοκ-άουτ….
Φυσικοί της μαθηματικής σχολής
και φυσικοί της …σχηματικής σχολής…
Δεν ήξερα ότι υπάρχει αυτή η διάκριση…
Δεν προτίθεμαι βέβαια "να μπω στο …παιχνίδι, για να σας πω ποιος έχει δίκιο"…
Άλλωστε, ένα απλό ΑΠΘ τελείωσα…
Απορώ πάντως γιατί σε κάποιους υπάρχει τόσο έντονη η ανάγκη για δικαίωση ή, πιο ωμά, για "νίκη έναντι του αντιπάλου"…
Κάτι τέτοιες στιγμές, θυμάμαι τον Βαγγέλη…
Καλημέρα Ελευθερία
Και γω ένα απλό ΕΚΠΑ τελείωσα. Οι θεωρητικές γνώσεις που αναπτύσσω εδώ τις πήρα από κει, όχι από το Liverpool. Στη μαθηματική φυσική είχα τον Αντωνίου και είχα αρκετή επιρροή από το μάθημά του.
Εγώ ζήτησα να μπουν κι άλλοι στο παιγνίδι να πουν τη γνώμη τους. Μπορεί να έχω κάποια ανάγκη για δικαίωση,αλλά όχι τόσο μεγάλη ώστε να πω: "όποιος διαφωνεί με μένα να μην μπει στο παιγνίδι".
Την έννοια "μαθηματική σχολή" και "σχηματική σχολή" τη σχημάτισα σ΄ αυτό το δίκτυο. Κάποιοι αντιλαμβάνονται τον φυσικό κόσμο μέσω εξισώσεων και κάποιοι άλλοι μέσω σχημάτων.
Θα παρακαλούσα τον Διονύση να σταθεί πάλι στα πόδια του μέσα στο ring και να μου πει "με ποιόν τρόπο βλέπει τη δυναμική ενέργεια".
Επίσης, τον ευχαριστώ για τον Ευταξία, αλλά τον είχα ήδη διαβάσει. Συμπέρανα ότι μάλλον τον πήραν τα γεράματα.