Κέντρο Βάρους (ΚΒ) ενός σώματος

Συνηθίζουμε να λέμε στα παιδιά ότι «το ΚΒ ενός σώματος είναι το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης των στοιχειωδών βαρών των δομικών του λίθων».

Περιγράφουμε και πρακτικές μεθόδους με τις οποίες μπορούμε να προσδιορίσουμε το ΚΒ σε ένα ακανόνιστο σώμα, π.χ. κρεμώντας το διαδοχικά από διάφορα σημεία του.

Αναφερόμενοι στο κέντρο μάζας (CM) του σώματος, συνηθίζουμε επίσης να λέμε ότι «το CM συμπίπτει με το ΚΒ όταν το σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας».

Με την πιο πάνω πρόταση, αφήνουμε να εννοηθεί ότι, αν το σώμα βρίσκεται σε μη ομογενές πεδίο, το CM και το ΚΒ δεν συμπίπτουν «διότι το ΚΒ τότε βρίσκεται σε άλλη θέση λόγω της ανομοιογένειας του πεδίου».

Το ερώτημα λοιπόν που τίθεται είναι το εξής:

Όταν ένα σώμα βρίσκεται μέσα σε μη ομογενές πεδίο βαρύτητας, υπάρχει πράγματι ΚΒ και βρίσκεται σε διαφορετική θέση από το CM;

Ή μήπως τότε δεν υπάρχει καθόλου ΚΒ;

Εξηγώ πιο αναλυτικά τον συλλογισμό μου.

Οι δυνάμεις είναι ολισθαίνοντα διανύσματα, μπορούν να ασκούνται οπουδήποτε πάνω στο φορέα τους.

Μια «υπαρκτή» δύναμη έχει σημείο εφαρμογής, αφού κάποιος την ασκεί σε συγκεκριμένο σημείο.

Η «συνισταμένη δύναμη» όμως, η δύναμη που «μπορεί ισοδύναμα να αντικαταστήσει όλες τις άλλες», δεν έχει ορισμένο σημείο εφαρμογής, αλλά ορισμένο φορέα κατά μήκος του οποίου μπορεί να ολισθαίνει. Και μπορεί να εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε σημείο του φορέα της.

Αν το σώμα που μελετάμε είναι υλικό σημείο, τότε όλες οι δυνάμεις ασκούνται σ’ αυτό, είναι συντρέχουσες. Τότε κι ο φορέας της συνισταμένης διέρχεται από το υλικό σημείο, οπότε κατά σύμβαση θεωρούμε ότι και η συνισταμένη δύναμη «ασκείται σ’ αυτό».

Αν όμως πρόκειται για στερεό σώμα, τότε οι δυνάμεις που ασκούνται σ’ αυτό μπορεί να μην είναι συντρέχουσες σε κάποιο σημείο του.

Στη γενικότερη περίπτωση, ένα σύστημα δυνάμεων (F₁ , F₂ , …) δεν μπορεί να «αντικατασταθεί ισοδύναμα» με μία μόνο δύναμη, αλλά με ένα ζευγάρι μιας συνολικής δύναμης F_ολ και μιας συνολικής ροπής τ_Α ως προς κάποιο σημείο Α της επιλογής μας.

Θα ισχύει τότε F_ολ = F₁ + F₂ + … και τ_Α = τ_1Α + τ_2Α + … , ο δε φορέας της F_ολ θα διέρχεται από το Α, οπότε μπορούμε πάλι κατά σύμβαση αφού εμείς το επιλέξαμε να θεωρήσουμε το Α ως «το σημείο εφαρμογής» της F_ολ.

Στις ειδικές περιπτώσεις που οι δυνάμεις είναι συντρέχουσες ή ομοεπίπεδες, ή παράλληλες, μπορεί να βρεθεί σημείο Ο ως προς το οποίο η συνολική ροπή των δυνάμεων να είναι μηδενική, οπότε το σύστημα των δυνάμεων μπορεί τώρα να αντικατασταθεί ισοδύναμα με «μία μόνο συνισταμένη δύναμη F_ολ» που ο φορέας της θα διέρχεται από το Ο. Μπορεί όμως ο φορέας αυτός να μην τέμνει καν το στερεό.

Ποιο είναι την περίπτωση αυτή το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης; Το Ο πάλι κατά σύμβαση; Μα δεν είναι το μοναδικό. Η συνολική ροπή είναι μηδενική ως προς κάθε σημείο του φορέα της F_ολ.

Για να φτάσουμε και στην περίπτωση του ΚΒ τώρα, ας ξεκινήσουμε από τα στοιχειώδη βάρη. Το καθένα από αυτά εφαρμόζεται στον αντίστοιχο δομικό λίθο του στερεού που τον θεωρούμε υλικό σημείο.

Στην περίπτωση του ομογενούς πεδίου βαρύτητας τα στοιχειώδη βάρη είναι παράλληλα και ισχύει β₁/m₁ = β₂/m₂ = … = g , οπότε αποδεικνύεται κατ’ αρχήν εύκολα ότι ο φορέας της συνισταμένης τους διέρχεται από το CM του σώματος.

Επειδή αυτό συμβαίνει ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό του σώματος, μπορούμε να θεωρήσουμε κατά σύμβαση ότι το σημείο εφαρμογής του συνολικού βάρους του σώματος είναι το CM.

Για ποιο λόγο δώσαμε και δεύτερο όνομα στο σημείο αυτό; Γιατί το ονομάσαμε κέντρο βάρους; Μήπως επειδή αν το πεδίο δεν είναι ομογενές βρίσκεται σε άλλη θέση;

Ας θεωρήσουμε ένα ακτινικό πεδίο βαρύτητας, προερχόμενο από κάποια σημειακή μάζα – πηγή Μ_π και ένα τυχαίο σώμα μέσα του. Τα στοιχειώδη βάρη του σώματος δεν είναι τώρα παράλληλα αλλά συντρέχουν στη Μ_π. Ο φορέας της συνισταμένης τους διέρχεται κι αυτός από εκεί, αλλά γενικά όχι από το CM, και η διεύθυνσή του εξαρτάται μάλιστα από τον προσανατολισμό του σώματος. Υπάρχει τώρα ΚΒ; Το μόνο σταθερό σημείο, από το οποίο διέρχεται πάντα ο φορέας του συνολικού βάρους του σώματος, είναι το … κέντρο του πεδίου.

Τέλος, στη γενικότερη περίπτωση ενός τυχαίου πεδίου βαρύτητας, αν τα στοιχειώδη βάρη του σώματος δεν είναι παράλληλα – συντρέχοντα – ομοεπίπεδα, τότε δεν μπορούμε να τα αντικαταστήσουμε μόνο με μια συνισταμένη δύναμη χωρίς ροπή. Δεν έχει κανένα νόημα επομένως να μιλάμε για ΚΒ.

Επανέρχομαι λοιπόν στο ερώτημα:

Ποια η ανάγκη χρήσης της έννοιας «Κέντρο Βάρους»;

Νομίζω ότι μια αυστηρότερη τοποθέτηση θα ήταν:

Κάθε σώμα ή σύστημα έχει ένα Κέντρο Μάζας. Αν ένα σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας τότε η δύναμη του πεδίου, το βάρος του, διέρχεται πάντα από το CM και μπορούμε να θεωρούμε ότι εφαρμόζεται σ’ αυτό. Έτσι το CM συνηθίζεται να το ονομάζουμε και ΚΒ.

 Σε μη ομογενές πεδίο βαρύτητας, ο φορέας του βάρους μπορεί να διέρχεται ή όχι από το CM και η διεύθυνσή του εξαρτάται από τον προσανατολισμό του σώματος. Μπορεί ακόμα να μην υπάρχει μοναδικός φορέας, αλλά το σώμα να δέχεται και ροπή από το πεδίο. Δεν  μπορούμε επομένως να μιλάμε για «σημείο εφαρμογής» του βάρους, δεν υπάρχει KB.

Ποια η άποψή σας για τα παραπάνω συνάδελφοι;

Η συζήτηση στο φόρουμ έχει μεταφερθεί εδώ. Δείτε την.