by 
Αγαπητοί συνάδελφοι, καλησπέρα
Δεν ξέρω αν έχει γίνει ήδη αναφορά στο πρόβλημα 4.65 στη σελίδα 144 του σχολικού βιβλίου Φυσικής Κατεύθυνσης της Γ΄Λυκείου.
Το πρόβλημα αφορά έναν περιστρεφόμενο τροχό που στρέφει το επίπεδό του κατά 90 μοίρες. Ζητείται το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού ως προς τον άξονά του.
Είναι σωστή η λύση που δίνεται; Ποια είναι η γνώμη σας;
Απαντήσεις σε αυτή τη συζήτηση
Ρίξε μια ματιά εδώ
Απάντηση από τον/την Γιώργος Γεωργαντάς στις 25 Ιανουάριος 2012 στις 19:35
Σύμφωνοι Δημήτρη, αλλά δεν αναφέρομαι σε αυτό.
Η άποψή μου είναι ότι η λύση είναι σωστή μόνο αν αναφερόμαστε στη στροφορμή ως προς σημείο και όχι στη στροφορμή ως προς άξονα, όπως γίνεται στην εκφώνηση του σχολικού:
Ως προς κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, ο οριζόντιος τροχός έχει στροφορμή μέτρου L, ενώ ο κατακόρυφος τροχός έχει στροφορμή μηδέν.
Άρα, η μεταβολή έχει μέτρο L…
Αγαπητέ Γιώργο καλησπέρα.
Νομίζω κι εγώ ότι το θέμα που θίγεις έχει βάση και για ένα μαθητή που διδάσκεται σύμφωνα με το σχολικό, μπορούν να προκύψουν παρανοήσεις.
1) Στο study4exams επισημαίνεται όπως είδαμε και τις προηγούμενες μέρες ότι «Φυσικά οι δύο στροφορμές δεν προστίθενται γιατί αναφέρονται σε διαφορετικούς άξονες περιστροφής.»
2) Ο μαθητής μαθαίνει ότι όταν ο φορέας της δύναμης διέρχεται από τον άξονα, τότε η ροπή της ως προς αυτόν είναι μηδενική (μηδενικός «μοχλοβραχίονας»).
3) Μαθαίνει ακόμα ότι απαιτείται ροπή για να μεταβληθεί η στροφορμή ενός σώματος.
4) Όλες οι κινήσεις που μελετάμε σ’ αυτό το κεφάλαιο είναι επίπεδες κινήσεις. Πουθενά δηλαδή δεν έχουμε αναφερθεί σε «στροφή του άξονα».
5) Υπάρχει στην εκφώνηση της άσκησης η διατύπωση «ο τροχός …, ως προς τον άξονά του, …».
Τι σημαίνει «ως προς τον άξονά του»; Αποτελεί ο άξονας «ιδιοκτησία» του τροχού; Μήπως εννοεί τον … μεταλλικό άξονα με τα δύο ρουλεμάν; Όταν δηλαδή θα έχει στραφεί ο άξονας κατά 90º, ο τροχός θα στρέφεται πάλι «ως προς τον άξονά του»; Δηλαδή … ως προς τον ίδιο άξονα;
6) Εφόσον διδάσκουμε ότι όλα τα μεγέθη πάνω σ’ έναν άξονα τα χειριζόμαστε αλγεβρικά και ο μαθητής δεν έχει μάθει να χειρίζεται «στροφή άξονα», τί νόημα έχει ένα τέτοιο πρόβλημα;
Αλλά και το πιο σημαντικό:
Ποιες γνώσεις … φυσικής εξετάζουμε με αυτή την άσκηση;
Την ικανότητα του μαθητή να … αφαιρεί δύο κάθετα διανύσματα ίσου μέτρου;
Διονύση δεν είναι πρόβλημα. Δεν εξετάζουμε άν ξέρει ή μπορεί να χειριστεί κάτι. Είναι διδακτικό εργαλείο. Μόλις διδαχτεί η στροφορμή κάνεις την ερώτηση και σου απαντούν ότι η μεταβολή είναι η μεταβολή των μέτρων. Μετά την απάντηση ίσως μείνει σε κάποιους ότι η στροφορμή είναι διάνυσμα.
Το αντίστοιχο έχουμε όταν ζητάμε τη μεταβολή της ορμής ενός σώματος που κινείται ομαλά κυκλικά σε χρόνο Τ/4.
Για την συγκεκριμένη προβληματίζομαι αν πρέπει να διδαχτεί πριν ή μετά την περίπτωση του αναποδοφυρίσματος του τροχού.
Γιάννη δεν νομίζω ότι είναι τόσο απλό.
Πράγματι το κάνουμε αυτό στην κυκλική κίνηση, αλλά εκεί έχουμε ένα διάνυσμα που ήδη γνωρίζουν τα παιδιά ότι αλλάζει συνεχώς κατεύθυνση, ξέρουν και ποιός του την αλλάζει, έχουν απόκτήσει κάποια εμπειρία με την κεντρομόλο δύναμη …
Πράγματι υπάρχουν παιδιά που απαντούν ότι είναι η μεταβολή των μέτρων. (Αυτά τα παιδιά φοβάμαι ότι ακόμα και τώρα θα απαντούσαν το ίδιο και στην περίπτωση της κυκλικής κίνησης).
(Yπάρχουν επίσης και (λίγα) παιδιά που έχει εξοικειωθεί το μάτι τους με τα διανύσματα και απαντάνε χαμογελώντας “L√2”).
Πως προέκυψε όμως μια τέτοια μεταβολή; Ποιά ροπή την προκάλεσε; Πως γίνεται μια δύναμη που ασκείται στο σημείο Α του άξονα (σχ. 4.70) να έχει ροπή; Ζήτησε από τα παιδιά να ασκήσουν στο Α “κατάλληλη δύναμη“, ώστε ο άξονας να στραφεί προς τα επάνω. (Εγώ δεν έχω βρεί ούτε ένα μαθητή που να απαντήσει ότι πρέπει να τραβήξει το Α προς το μέρος του).
Στα περισότερα βιβλία Μηχανικής αφιερώνουν ξεχωριστό κεφάλαιο για τις επίπεδες κινήσεις και πολύ αργότερα πάνε στη μετάπτωση του άξονα περιστροφής.
Το σχολικό γράφει (σελ. 112) “Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε μόνο περιπτώσεις στις οποίες … Σε τέτοια προβλήματα … χρησιμοποιούμε την αλγεβρική τιμή της ροπής“.
Λίγο μετά (σελ. 123) γράφει “Tο αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν σε ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του“.
Δηλαδή ακόμα και την περίπτωση του “αναποδογυρίσματος” που αναφέρεις οι μαθητές είναι σε θέση να τη χειριστούν και να την κατανοήσουν σαν επιβράδυνση μέχρι μηδενισμού της L και επιτάχυνση κατά την αντίθετη φορά, αλλά … σαν “αναστροφή”;
Να συμπληρώσω στα προηγούμενα το εξής:
Πράγματι θα είχε νόημα μια τέτοια άσκηση, αν όμως είχε προετοιμαστεί προηγουμένως το έδαφος από τη θεωρία. Θα έπρεπε να έχει ορισθεί η στροφορμή ως προς σημείο, να έχουν γίνει μερικά παραδείγματα με ροπές ώς προς σημείο και ελεύθερο άξονα … κλπ.
Στο σχολικό, παρόλο που ορίζει τη ροπή ως προς σημείο, στην πράξη τη χρησιμοποιεί σαν ροπή ως προς άξονα. Πουθενά αλλού δεν έχει γίνει αναφορά σε στροφή του άξονα.
Διονύση το καταλαβαίνω. Δεν θα διαφωνήσω στο ότι υπάρχει πρόβλημα δομής στο βιβλίο.
Θέλω να πω το εξής. Δεν αρκεί να λες ότι κάτι είναι διάνυσμα. Πρέπει να ζητήσεις υπολογισμό της μεταβολής όταν το μέτρο μένει σταθερό. Να απαντήσουν “μηδέν” να ξαναρωτήσεις συμφωνούμε όλοι;” κ.λ.π.
Απάντηση από τον/την Γιώργος Γεωργαντάς στις 26 Ιανουάριος 2012 στις 20:59
Διονύση, καλησπέρα
Ευχαριστώ για την απάντησή σου. Συμφωνώ με όλες τις παρατηρήσεις σου.
Κατ’ αρχήν, γνωρίζουμε ότι η ροπή ή η στροφορμή ως προς άξονα είναι η προβολή του διανύσματος της ροπής ή της στροφορμής ως προς σημείο, σε ορισμένο άξονα που έχει ορισμένη διεύθυνση στο χώρο.
Έτσι, η λύση που δίνει το σχολικό βιβλίο στο παραπάνω πρόβλημα νομίζω ότι είναι σωστή μόνο όταν αναφερόμαστε στη στροφορμή ως προς σημείο. Αυτό το δικαίωμα όμως δεν το έχουμε, αφού ο ορισμός δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. Αν μείνουμε πιστοί στην εκφώνηση, νομίζω ότι η μεταβολή της στροφορμής έχει μέτρο L και όχι L sqrt2.
Τώρα, αν φτάσουμε να θεωρήσουμε τον άξονα «ιδιοκτησία» του τροχού, η μεταβολή της στροφορμής θα είναι βέβαια μηδέν…
Ειλικρινά δεν ξέρω πώς να καταλήξω στη λύση του σχολικού χωρίς να καταφύγω σε έννοιες εκτός ύλης και δεν ξέρω και κάποια οδηγία που να την εξαιρεί. Λέω στους μαθητές να γνωρίζουν την περίπτωση της αναστροφής του τροχού και ότι δεν πρέπει να ζητηθεί η στροφή κατά 90 μοίρες. Αλλά αν ζητηθεί…
Θα ήθελα, όμως, να παρατηρήσω και κάτι ακόμα:
Μιλάμε για τον «άξονα του τροχού» και συνήθως συγχέουμε το μαθηματικό άξονα ως προς τον οποίο υπολογίζουμε τις ροπές, τις στροφορμές κλπ, με τον «φυσικό», τον πραγματικό «άξονα» του τροχού, δηλαδή με έναν κύλινδρο που έχει διαστάσεις, ρουλεμάν κλπ. Η αντιμετώπιση αυτή δημιουργεί πρόβλημα σε ερωτήσεις όπως η παραπάνω, αλλά δημιουργεί και διδακτικές δυσκολίες. Για παράδειγμα, είναι δύσκολο να εξηγήσουμε ότι ο πραγματικός «άξονας» περιστροφής μιας τροχαλίας είναι δυνατό να ασκεί ροπή ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της που διέρχεται από το κέντρο της, είναι δύσκολο να εξηγήσουμε ότι στρέφοντας το επίπεδο του τροχού δεν μεταβάλλεται το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας κλπ. Είναι τόσο διαδεδομένη η σύγχυση που στην κλασσική άσκηση με την πλαστελίνη που κολλά στον περιστρεφόμενο οριζόντιο δίσκο, συνήθως αναφέρονται ως εξωτερικές δυνάμεις μόνο τα βάρη, λες και ο δίσκος συγκρατείται από δυνάμεις αντιβαρύτητας (δεν είναι αστείο, μου το είπε κάποτε μια μαθήτρια…)
Οσον αφορά το αποτέλεσμα της ροπής που είναι κάθετη στη στροφορμή, όλες οι απόπειρες διδασκαλίας που έκανα, στο συγκεκριμένο διδακτικό χρόνο και με δεδομένη την πίεση των εξετάσεων βέβαια, απέτυχαν. Μπορεί τα παιδιά να εντυπωσιαστούν από την απροσδόκητη συμπεριφορά του τροχού, μπορούν να παπαγαλίσουν μια άσκηση, αλλά δεν μπορούν να κατανοήσουν. Και είναι φυσικό, αφού δεν κατανοούν ούτε το αποτέλεσμα μιας δύναμης κάθετης στην ταχύτητα…
Τώρα, το θέμα της μεταβολής ενός διανύσματος είναι μια απόλυτα θλιβερή ιστορία, που όσο περνούν τα χρόνια γίνεται χειρότερη. Αν κάνουμε σε μαθητές της Β΄ Λυκείου (που μαθαίνουν διανύσματα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης) ερωτήσεις όπως:
«Αυτοκίνητο παίρνει στροφή και το κοντέρ δείχνει συνεχώς 50 Km/h, αλλάζει η ταχύτητά του; – εννοείται με σχήμα στον πίνακα όπου φαίνονται οι ταχύτητες» ή «οι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου είναι διανύσματα, τα διανύσματα αυτά είναι ίσα;» ή « κινείσαι από εδώ 100 Km ευθεία έχει σημασία το προς τα πού;» (το «εδώ» είναι το κέντρο της Πελοποννήσου και η θάλασσα απέχει λιγότερο από 100 Km…) ή …
οι απαντήσεις που θα πάρουμε είναι απογοητευτικές.
(Είναι ίσως πιο απογοητευτικό το ότι, αν τους ζητήσεις να διατυπώσουν την αρχή διατήρησης της ορμής, θα σου απαντήσουν «πε αρχικό ίσον πε τελικό», αλλά ας μην ανοίξουμε τέτοιο θέμα…)
Η γνώμη μου είναι ότι οι περισσότεροι νόμοι και τα φαινόμενα δεν είναι δυνατό να κατανοηθούν αν ο μαθητής δεν αντιλαμβάνεται την ιδιαίτερη φύση των διανυσματικών μεγεθών. Νομίζω όμως, ότι αν θέλαμε να διδάξουμε τη φύση των διανυσμάτων, έχουμε πιο απλά μεγέθη για να το κάνουμε, δεν θα επιλέγαμε τη στροφορμή που αλλάζει διεύθυνση. Και, κυρίως, δεν θα έπρεπε να το κάνουμε λύνοντας λανθασμένα ένα πρόβλημα…
Καλησπέρα κι από μένα Γιώργο,
Συμφωνώ από την αρχή μαζί σου σ’ αυτό που λες. Απλά νόμιζα ότι αναφερόσουν γενικότερα στο θέμα.
Σύμφωνα με τη θεωρία του σχολικού και τον τρόπο που ορίζει τη στροφορμή, η λύση είναι αυτή που προτείνεις (δηλαδή μεταβολή L είτε ως προς τον αρχικό, είτε ως προς τον τελικό άξονα περιστροφής).
Ακόμα και η … μηδενική μεταβολή ακούγεται σωστή αν μπορούμε να θεωρήσουμε τον στρεφόμενο άξονα ως σύστημα αναφοράς! (Οι … θεωρητικοί μας έχουν εδώ τον πρώτο λόγο :-)).
Για τη λύση L√2 έχουμε όλοι … σιωπηλά στο μυαλό μας τη στροφορμή ως προς σημείο.