by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 7 Απρίλιος 2012 και ώρα 23:30
- Η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς άξονα, ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα των βάσεών του, δίνεται από την εξίσωση Ι= ½ ΜR2.
Από ένα ομογενή κύλινδρο, έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος, με αποτέλεσμα να πάρουμε ένα κυλινδρικό κέλυφος. Η ροπή αδράνειας του κελύφους δίνεται από την εξίσωση:
i) Ι2= 1/3 mR2 ii) Ι2= ½ mR2 iii) Ι2= 2/3 mR2 iv) Ι2= mR2
2. Σε δύο κεκλιμένα επίπεδα αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος, ένας κύλινδρος Α και ένα κυλινδρικό κέλυφος της ίδιας μάζας και της ίδιας ακτίνας Β. Τα δύο σώματα κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος:
i) Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας παρουσιάζει το κέλυφος Β.
ii) Μεγαλύτερη επιτάχυνση αποκτά ο κύλινδρος Α.
iii) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη ταχύτητα από το Β.
iv) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια από το σώμα Β.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Απάντηση:
Πολύ καλή Διονύση.
Ο κοίλος κύλινδρος (το απομένον τμήμα αν από ομογενή συμπαγή κύλινδρο ακτίνας R αφαιρεθεί κυλινδρικό τμήμα, συμμετρικό περί τον άξονά του, ακτίνας r) είναι γενικότερη περίπτωση και από τον πλήρη και από τον κυλινδρικό φλοιό
Υπολογισμός της ροπής αδράνειας κοίλου κυλίνδρου ύψους υ:
Ικ=1/2mRR2-1/2mrr2=
1/2ρπR2υR2-1/2ρπr2υr2=
1/2ρπυ(R4-r4)=
=1/2ρπυ(R2-r2)(R2+r2)
Άρα Ικ=1/2m(R2+r2)
(και όμως άθροισμα, παρόλο που η διαίσθηση δείχνει διαφορά!)
α. αν r=0 ο κύλινδρος είναι πλήρης και (καλώς) προκύπτει
Ιπ=1/2mR2
β. αν r=R ο κύλινδρος είναι κυλινδρικός φλοιός και (καλώς) προκύπτει
Ιφ=mR2
Υπολογισμός της θεωρητικής τιμής του συντελεστή λ κοίλου κυλίνδρου:
λmR2 =1/2m(R2 +r2)
Άρα λ=1/2(1+(r/R)2)
(η τιμή δεν εξαρτάται από τη μάζα του κυλίνδρου, αλλά μόνο από το πηλίκο της εσωτερικής προς την εξωτερική του ακτίνα)
α. αν r=0 ο κύλινδρος είναι πλήρης και (καλώς) προκύπτει
λπ =1/2
β. αν r=R ο κύλινδρος είναι κυλινδρικός φλοιός και (καλώς) προκύπτει
λφ=1
Στη δικαιολόγηση για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας του κελύφους υποθέτουμε ότι ο κύλινδρος και το κέλυφος έχουν την ίδια μάζα;
Από την εκφώνηση θεωρώ ότι Μ είναι η μάζα του κυλίνδρου και m η μάζα του κελύφους
Αγαπητέ Θωμά. Στο 1ο ερώτημα ψάχνουμε απλά για μια εξίσωση που θα μπορούσε να μας επιτρέψει να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας του κελύφους.
Στο 2ο ερώτημα, τα δυο στερεά έχουν την ίδια μάζα.
Πολύ σωστοί οι υπολογισμοί σου Βαγγέλη, απλά δεν ήθελα το ερώτημα αυτό, το οποίο θα χαρακτηριζόταν 2ο θέμα, να έχει πολλούς μαθηματικούς υπολογισμούς.
Σαν ερώτημα του δευτέρου θέματος το πρώτο ζητούμενο είναι και για μένα το καλύτερα διατυπωμένο.Συμφωνώ απολύτως Διονύση ότι στο Β Θέμα των γενικών εξετάσεων, τα ερωτήματα πρέπει να απαντώνται με πολύ λίγες πράξεις και περισσότερο με φυσική σκέψη.
Με την ευκαιρία διατύπωσα και εγώ δυο ερωτήσεις που ανάρτησα προ ολίγου με αυτήν ακριβώς τη λογική.
Σωστά Διονύση
Πρόκειται για ένα καλό ποιοτικό θέμα
κατάλληλο για κάποιο υποερώτημα 2ου θέματος,
όπως αυτό είθισται να τίθεται και όχι όπως προβλέπεται
(υπενθυμίζω με την ευκαιρία ότι το 2ο θέμα, σύμφωνα με την αρχική προκήρυξη,
προβλέπεται πειραματικό)
Διονύση πολύ καλές ερωτήσεις που αναδεικνύουν αυτό που τόσο ο Μανώλης όσο και ο Βαγγέλης (και εγώ μαζί τους) διατείνονται για τη φύση του δεύτερου θέματος.
Μανώλη (Φραγκ) και Μανώλη (Λαμπ), σας ευχαριστώ για το σχολιασμό, συμφωνώντας με την άποψή σας για τη φύση του Β΄Θέματος.