by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την admin στις 27 Ιούνιος 2013 και ώρα 19:30
Μια νέα ανάρτηση από τον φίλο Πάνο Μουστάκα:
Μελετώντας πριν μερικές ημέρες την εξαιρετική εργασία του Φυσικού Γιάννη Κυριακόπουλου
“Αδρανειακές δυνάμεις επί στερεών σωμάτων’’
σκέφθηκα ότι, ενεργώντας ως μη αδρανειακός παρατηρητής, μπορώ να αναδείξω ποσοτικά, δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιήσω αναλυτική φυσική σκέψη, την εμφάνιση ροπής πακτώσεως σε στερεό σώμα που έχει εισχωρήσει σε κάποιο άλλο στερεό, ετσι ώστε να είναι απαγορευμένη κάθε σχετική κίνηση του
ενός ως προς το άλλο. Για τον σκοπό αυτόν διάλεξα ένα παράδειγμα πακτωμένης ράβδου εντός μιας βαρειάς πλάκας που ολισθαίνει προς τα κάτω επί κεκλιμένου επιπέδου, όπου προσπαθώ να αποδείξω ότι η αντίδραση που δέχεται η ράβδος από την πλάκα στην περιοχή της πακτώσεως δεν εκφράζεται με μια δύναμη, αλλά εμπλέκεται και μηχανική ροπή επί της ράβδου, η λεγόμενη ροπή πακτώσεως. Η προσπάθειά μου ολοκληρώνεται με μια σύντομη περιγ ραφή του φαινομένου της πακτώσεως στερεού, όπου με φυσική πλέον σκέψη περιγ ράφω γιατί η αντίδραση επί του στερεού λόγω της πακτώσεώς έχει δυικό χαρακτήρα, δηλαδή εκδηλώνεται με την εμφάνιση δύναμης και ροπής. Όλα τα παραπάνω περιέχονται στο άρχείο pdf που φέρει τον τίτλο:
Μια διαφορετική άσκηση στο στερεό σώμα
P.M. fysikos
Αγαπητέ admin ίσως κάνω λάθος, αλλά κάτι δε μου πάει καλά στην ανάπτυξη της παραπάνω άσκησης.
Εχω μόνιμα στο μυαλό μου την ανάρτηση αυτή του Βαγγέλη Κορφιάτη.
Όσο διαβάζω την άσκηση τόσο μεγαλώνει η ένστασή μου.
Όταν μπορέσω να τακτοποιήσω στο μυαλό μου τί μου δημιουργεί αυτή την ανησυχία ή δε με προλάβει κάποιος άλλος συνάδελφος, θα επανέλθω.
Επειδή μπορεί και να κάνω λάθος, ζητώ εκ των προτέρων συγγνώμη…
Συγχαρητήρια στον Πάνο Μουστάκα και για το παρόν πρόβλημα.
Ευχαριστώ για τα καλά λόγια.
Θρασύβουλε εγώ δεν διαπιστώνω πρόβλημα. Αυτό βεβαιώνεται διότι δύο δρόμοι οδηγούν στο ίδιο τέρμα.
Μπορεί Γιάννη να είναι έτσι όπως τα λες και μακάρι το σωστό να κατέχεις.
Αλλά οι δυο δρόμοι δεν είναι, δυστυχώς, όλοι οι δρόμοι.
Και η ανάρτηση του Κορφιάτη στην οποία επιμένω δεν είναι μια τυχαία ανάρτηση.
Έχει τινάξει στον αέρα ήδη πολλές αναρτήσεις, αρκεί να μην αρνηθούμε στον εαυτό μας να τις μετρήσουμε…
…………………
Ίσως Γιάννη τινάξει και όλη την κύλιση στον αέρα γιατί είναι από τις πιο δυνατές εννοιολογικά αναρτήσεις στο στερεό!
Μπορεί να κάνω λάθος φίλε. Θα δούμε…
Να είσαι καλά
Συγχαρητήρια και από μένα στον Πάνο Μουστάκα.
Με παρόμοιο θέμα είχα ασχοληθεί στην ανάρτησή μου “Η βαριά και η αβαρής ράβδος”καταλήγοντας στο ίδιο συμπέρασμα με τον Πάνο.
Ο τρόπος παρουσίασης του Πάνου είναι καλύτερος και πιο αναλυτικός.
Φυσικά δεν διεκδικώ το αλάθητο και είμαι ανοικτός και σε άλλες απόψεις.
Συνάδελφοι καλημέρα,
Προσθέτω κι εγώ τα συγχαρητήριά μου προς τον αγαπητό συνάδελφο Πάνο Μουστάκα για το θέμα που αναδεικνύει και τον πολύ ωραίο τρόπο που το διαπραγματεύεται.
Καθοριστική σημασία στην κατανόηση του μηχανισμού με τον οποίο μεταφέρεται ροπή από το ένα στερεό στο άλλο μέσω του «σημείου» στερέωσής τους, είναι το γεγονός ότι δεν πρόκειται για σημείο αλλά για περιοχή.
Έτσι τα δύο στερεά ασκούν το ένα στο άλλο όχι μια μόνο δύναμη αλλά ένα πλήθος, μια κατανομή δυνάμεων.
Θυμίζω μερικές ακόμα αναρτήσεις με παρόμοιο θέμα:
Αλληλεπίδραση μεταξύ σταθερά συνδεδεμένων ράβδων
Η δύναμη και η επιπλέον ροπή ζεύγους
Ο ρόλος του μοχλοβραχίονα στη ροπή
Αβαρής ράβδος που στο άκρο της έχει μικρό σώμα ή δίσκο ελεύθερο ή δ…
Πλαστική κρούση δύο ράβδων. Τι σημαίνει «συσσωμάτωμα» σε μια τέτοια…
Η βαριά και η αβαρής ράβδος
όπου υπάρχουν και άλλοι σύνδεσμοι.
Θρασύβουλε, αναφερόμενος στην ανάρτηση του Βαγγέλη:
Όταν δεν υπάρχουν τριβές, η δύναμη επαφής είναι πάντα κάθετη στην ε…
γράφεις:
«Έχει τινάξει στον αέρα ήδη πολλές αναρτήσεις, αρκεί να μην αρνηθούμε στον εαυτό μας να τις μετρήσουμε.. Ίσως τινάξει και όλη την κύλιση στον αέρα γιατί είναι από τις πιο δυνατές εννοιολογικά αναρτήσεις στο στερεό!»
Η αίσθηση που έμεινε σε μένα από την (εξαιρετική) ανάρτηση του Βαγγέλη ήταν ότι δεν νοείται μονοδιάστατο στερεό σε χώρο τριών διαστάσεων. Αλλά ας μην εισέλθουμε εδώ στα επί της ουσίας της.
Δεν καταλαβαίνω με ποιο τρόπο συσχετίζεις με αυτή την ανάρτηση το γεγονός ότι δύο πακτωμένα στερεά αλληλεπιδρούν και με ροπή και με δύναμη.
Τις ίδιες αντιρρήσεις είχες διατυπώσει και στη δική μου ανάρτηση (1η από τις πιο πάνω), αλλά είχα μείνει με την εντύπωση ότι σε ενοχλούσε ο όρος «αλληλεπιδράσεις» για τις δυνάμεις – ροπές που ασκεί το ένα στερεό στο άλλο.
Ποιες αναρτήσεις έχουν τιναχτεί στον αέρα και γιατί; Εξήγησέ το αν θέλεις λίγο πιο αναλυτικά.
Θρασύβουλε τώρα είδα και το νέο σου σχόλιο.
Νομίζω ότι η υπόθεση της καθετότητας είναι ανεξάρτητη από το γεγονός ότι μέσα από την πάκτωση μεταφέρεται και δύναμη και ροπή.
Δεν ξέρω αν ο συνάδελφος Πάνος τις υπέθεσε κάθετες για να τις σχεδιάσει πιο εύκολα, συνήθως στις πακτώσεις υπάρχει και τριβή, αλλά η ουσία είναι ίδια:
Δεν έχουμε μία μόνο δύναμη, αλλά κατανομή δυνάμεων που ισοδυναμεί με δύναμη και ροπή ζεύγους.
… Να συμπληρώσω με την ευκαιρία στο προηγούμενο σχόλιο, ότι από μηχανική άποψη, μια ιδανική στερέωση ή πάκτωση επιτυγχάνεται με κατάλληλη σχεδίαση ώστε οι δυνάμεις στήριξης να είναι κάθετες στις επιφάνειες επαφής, για να έχει μηχανική αντοχή.
Μια στερέωση που βασίζεται κυρίως σε δυνάμεις στατικής τριβής κάποια στιγμή θα καταρρεύσει.
Καλημέρα Πάνο
Εξαιρετική δουλειά που με δυσκόλεψε αρκετά
(διότι πρώτη φορά είδα τέτοια προσέγγιση).
Και για να …σιγουρευτώ ότι κατάλαβα σωστά:
αν η ράβδος βάρους w και μήκους L
έχει πακτωθεί απ’ ευθείας στο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ,
και άρα ούτε μεταφέρεται ούτε περιστρέφεται,
δέχεται από την πάκτωση:
δύναμη R μέτρου w (αντίθετης φοράς του βάρους) και
ροπή τ μέτρου wLημφ/2 (αντίθετης φοράς με την του ζεύγους R, w);
Μια απάντηση από τον Πάνο Μουστάκα:
Oι κριτικές των συναδέλφων μου είναι για μένα μέσα στα πλαίσια της ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ παροιμίας “και τα καλά δεχούμενα και τα κακά δεχούμενα ” αρκεί οι κακές κριτικές τελικώς να μην αποσύρονται.
Θα ήθελα να επικροτήσω την έξοχη επισήμανση του Διονύση Μητρόπουλου:
Μια στερέωση που βασίζεται κυρίως σε δυνάμεις στατικής τριβής κάποια στιγμή θα καταρρεύσει.
Όσον αφορά το πρόβλημα που έθεσε ο Βαγγέλης Κουντούρης η λύση που έδωσε είναι
ακριβής και μέσα στα πλαίσια του φαινομένου της πακτώσεως.
Αν η πάκτωση γίνει με δύο καρφάκια τα οποία όμως δεν παρουσιάζουν τριβές.
Προσομοίωση.
Τελικά παρόλες τις γκρίνιες μου και τα ανάποδά μου είχα λάθος. Τα σχόλια των Γιάννη, Νίκου, Διονύση και Βαγγέλη πολύ καλά και πειστικότατα.
Έτσι προσθέτω και εγώ τα συγχαρητήριά μου στην άσκηση του Πάνου.
Πρωτότυπη και άξια. Μπράβο!
Καλησπέρα και από εμένα.
Πολύ ενδιαφέρουσα αντιμετώπιση του θέματος.
Καλημέρα Πάνο
Και για να …ξανασιγουρευτώ ότι κατάλαβα σωστά:
αν στη συνήθη περίπτωση, όπου από το άκρο μιας οριζόντιας πρόκας ,
καρφωμένης σε κατακόρυφο τοίχο
(μήκους L και βάρους w το εκτός τοίχου τμήμα της),
κρέμεται αντικείμενο βάρους W,
τότε η πρόκα δέχεται από τον τοίχο
δύναμη R μέτρου w+W (αντίθετης φοράς του βάρους) και
ροπή τ μέτρου wL/2+WL (αντίθετης φοράς με την του βάρους)
(Δηλαδή, μεταφέρουμε τη δύναμη, που κανονικά ασκείται στο δεξιό άκρο,
στο κέντρο μάζας με τη βοήθεια του “κόλπου” των δύο ίσων και αντίθετων με την αρχική,
οπότε έχουμε δύναμη στο κέντρο μάζας, άρα στο στερεό και όχι σε κάποιο σημείο του
στερεού και ζεύγος δυνάμεων).
Τότε, στην ακρογιαλιά της ενηλικίωσης
Στα χρόνια της αθωότητας, πολύ πριν από την εμφάνιση των υπολογιστών, τότε που καθένας από μας έχει τελειώσει το φυσικό και μόνος του πια στην ακρογιαλιά της ενηλικίωσης
αναζητεί πηγές προκειμένου να σταθεί στα πόδια του είτε ως φυσικός είτε ως δάσκαλος της φυσικής είτε ως « αν είναι δυνατόν και το ένα και το άλλο »,
όσοι κάτι κατάφερναν από «αγγλικά» συναντούσαν έναν στην κυριολεξία δάσκαλο, τον Richard Feynmann, οι λιγότεροι έβρισκαν καταφύγιο στα βιβλία του Ευτύχη Μπιτσάκη αντιμετωπίζοντας μεγάλες δυσκολίες, κάποιοι συναντούσαν το βιβλίο με τα πειράματα του Ιωάννου Μπουρούτη, τη μετάφραση σε γλώσσα ελληνική των Halliday Resnick και οι περισσότεροι έβρισκαν καταφύγιο στα λεγόμενα «φροντιστηριακά» που είχαν ελάχιστη σχέση με τα «φροντιστηριακά» του σήμερα – χωρίς γι αυτό να ευθύνονται οι γράφοντες της εποχής μας αλλά περισσότερο η «συρρικνωμένη σε ταλαντώσεις, κύματα και μηχανικό στερεό εξεταστέα ύλη της τελευταίας δεκαετίας».
Και εκεί στη γειτονιά των «φροντιστηριακών» συναντούσες, ανάμεσα σε άλλα, τη φυσική του Γιάννη Αθανασάκη, τη φυσική του Γούναρη, την εξαιρετικής ποιότητας φυσική του μαθηματικού
Σπύρου Κανέλλου, τα βιβλία του Αντώνη Βολάνη , αλλά και βιβλία των σχετικά νεώτερων που έλεγαν τέλος πάντων κάτι διαφορετικό. Ανάμεσα σε αυτούς ξεχώριζε ο Παναγιώτης Μουστάκας .
Πολλά χρόνια αργότερα . . . .
Αγαπητέ Πάνο Μουστάκα
Η ανάρτηση σου, εκτός του ότι είναι άψογη θέτει και ζητήματα καθόλου τετριμμένα που δεν τα έχουμε συζητήσει όσο τους αξίζουν .
Ένα από αυτά είναι η διδακτική αξιοποίηση της έννοιας «ζεύγος δυνάμεων» η οποία στο ισχύον Αναλυτικό Πρόγραμμα εμφανίζεται ιδιαίτερα συρρικνωμένη . Η ανάρτησή σου μου φέρνει επίσης στη σκέψη το ότι απουσιάζει ουσιαστικά από τη διδασκαλία μας το θεώρημα των ροπών, – αποδεικνύεται με βάση τον κανόνα του παραλληλογράμμου και με ευκλείδεια γεωμετρία – σύμφωνα με το οποίο «Για ένα σύνολο δυνάμεων ασκουμένων στο ίδιο σώμα , η ολική ροπή ως προς κάποιο σημείο Α είναι ίση με την, ως προς Α, ροπή της συνισταμένης».
Επειδή έχω διαπιστώσει ότι μας παρακολουθούν και μαθητές, θυμίζω ότι :
Ένα σύνολο δυνάμεων ασκουμένων στο ίδιο σώμα μπορεί να αναχθεί
α. σε μία και μόνο δύναμη –συνισταμένη- β. σε μηδενική δύναμη
γ. σε δύο αντιπαράλληλες δυνάμεις ίσων μέτρων, στο λεγόμενο ζεύγος .
Ας δούμε το ζήτημα «ολική ροπή ως προς σημείο Α» ενός συστήματος δυνάμεων. Ας τις θεωρήσουμε για λόγους ευκολότερης κατανόησης ομοεπίπεδες και το Α σημείο του επιπέδου . .
Εφόσον για τις δυνάμεις αυτές υφίσταται συνισταμένη «η ολική ροπή ως προς Α είναι ίση με την, ως προς Α, ροπή της συνισταμένης». Η τιμή συνεπώς της ολικής ροπής ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ Α και δεν μπορούμε να μιλάμε για «ροπή» αλλά για «ροπή ως προς συγκεκριμένο σημείο Α». Κατά την άποψή μου, σε αυτή την περίπτωση, η έννοια έργο ροπής δεν παρουσιάζει κάποιο ειδικό ενδιαφέρον. Δεν είναι τίποτα περισσότερο ή τίποτα λιγότερο από την έννοια έργο δύναμης και η διδασκαλία της έννοιας προκειμένου για μία δύναμη είναι περιττή, εκτός του ότι στα μάτια των διδασκομένων αυτό μεταφράζεται ότι έχουμε δύο ειδών έργα: έργο δύναμης και ειδικά στη στροφική κίνηση κάποιο «έργο ροπής».
Εάν όμως η σύνθεση των ασκουμένων αυτών δυνάμεων οδηγεί σε ΖΕΥΓΟΣ , η ολική ροπή ως προς οποιοδήποτε σημείο έχει την ίδια τιμή, ανεξάρτητα από τη θέση του σημείου . Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να μιλάμε για «ροπή» χωρίς καμία αναφορά σε σημείο ή – ισοδύναμα – για ροπή ζεύγους. Ειδικά στην περίπτωση αυτή έχει κάποιο σχετικό ενδιαφέρον και η έννοια έργο της ροπής ή ακόμα καλύτερα η έννοια «έργο ροπής ζεύγους».
H έννοια «ζεύγος δυνάμεων» έχει εντελώς διαφορετικό ρόλο από την έννοια «συνισταμένη μηδέν» , όχι μόνο διότι μπορεί να αξιοποιηθεί για να εξηγήσει καταστάσεις ισορροπίας που είναι αδύνατον να εξηγηθούν με το «συνισταμένη μηδέν» αλλά και κυρίως διότι η δράση ενός ζεύγους συνεπάγεται μεταβίβαση ενέργειας κάτι που δεν συμβαίνει με το «συνισταμένη μηδέν».
Οι αλγεβρικές δομές ΣFx = 0 και ΣFy = 0 εξασφαλίζουν τη μηδενική επιτάχυνση του κέντρου μάζας γεγονός που σημαίνει ότι το σύνολο των ασκουμένων στο σώμα δυνάμεων ισοδυναμεί είτε με «συνισταμένη μηδέν» είτε με «ζεύγος». Αν το αντικείμενο είναι υλικό σημείο θα διατηρήσει την ταχύτητά του.
Αν όμως είναι μηχανικό στερεό για να περιγραφεί η «διατήρηση της κινητικής του κατάστασης ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς»- μηδενική ταχύτητα για κάθε σημείο του, μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτητα του κέντρου μάζας, στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, κύλιση με σταθερή ταχύτητα του κέντρου μάζας – απαιτείται και μία ακόμα αλγεβρική σχέση. Αυτή είναι η σχέση που καταγράφει ότι η ολική ροπή είναι ίση με μηδέν, σχέση που η οποία αποκλείει την ισοδυναμία με ζεύγος. Και όλα αυτά για δυνάμεις ομοεπίπεδες.
Ας έρθουμε στην περιγραφή της ισορροπίας μιας ράβδου πακτωμένης στο ένα μικρό τμήμα της.
Κατ΄ αρχήν η πάκτωση δεν μπορεί να αποδοθεί σε ένα γεωμετρικό σημείο .
Η δράση, λόγου χάρη, του στηρίγματος στην πακτωμένη ακίνητη οριζόντια ομογενή ράβδο του σχήματος δεν μπορεί να περιγραφεί με ΜΙΑ δύναμη. Και αυτό επειδή δεν υπάρχει η μία εκείνη δύναμη η οποία ασκούμενη στην περιοχή της πάκτωσης θα μπορούσε να εξισορροπεί την ασκούμενη στο κέντρο μάζας δύναμη βάρος mg.
Η συνολική δράση του στηρίγματος στην πακτωμένη ράβδο μπορεί να περιγραφεί ως δράση τριών κατακόρυφων δυνάμεων η συνισταμένη των οποίων έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο μάζας της ράβδου και κατεύθυνση προς τα άνω. Οι δύο από αυτές τις δυνάμεις συνιστούν ζεύγος, με μέτρα ας πούμε F1 και F1 και η τρίτη έχει φορά προς τα άνω και μέτρο mg. Βέβαια η αναζήτηση της συνισταμένης παραλλήλων δυνάμεων δεν είναι κάτι οικείο στους διδασκόμενους δεδομένου ότι δεν έχουν εξοικειωθεί με το να αξιοποιούν το θεώρημα των ροπών
Μπορούμε επίσης να περιγράψουμε τη συνολική δράση του περιβάλλοντος στη ράβδο ως δράση του ζεύγους των δύο δυνάμεων μέτρου mg και του ζεύγους δύο δυνάμεων μέτρου F1.
Μπορούμε ισοδύναμα να πούμε ότι η δράση του στηρίγματος στη ράβδο περιγράφεται με μία δύναμη μέτρου mg προς τα άνω και με ένα ζεύγος δυνάμεων καθεμιά μέτρου F1. Βέβαια οι θεωρητικοί της Μηχανικής την ίδια αυτή δράση την περιγράφουν
α. με μια δύναμη και β. με μια ροπή, εννοώντας ροπή ζεύγους.
Η επιλογή μιας τέτοιου είδους περιγραφής βασίζεται στο γεγονός ότι το προσδιορίσιμο δεν
είναι ούτε η τιμή κάθε δύναμης ούτε η μεταξύ των φορέων απόσταση ούτε και η θέση του φορέα της άλλης δύναμης . Το προσδιορίσιμο είναι «η τιμή της ροπής του ζεύγους».
Γι αυτό και οι μηχανικοί αλλά και οι φυσικοί μιλούν για «δύναμη και ροπή»
Για τη διδασκαλία στη Δευτεροβάθμια θα προτιμούσα και την περιγραφή μέσα από τις ασκούμενες δυνάμεις. διότι εκείνο που πρέπει να επισημαίνεται είναι ότι για να δημιουργηθεί το ζεύγος των F1 είναι αναγκαίο η επαφή να περιλαμβάνει ένα τμήμα της ράβδου μη μηδενικό.
Ας έρθουμε στην άσκηση που προτείνεται μαζί με τη λύση της.
Κατ΄αρχήν η πρόταση να ερευνηθεί το ζητούμενο και με μεταφορικά κινούμενο (με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας) παρατηρητή είναι εύστοχη. Θα έλεγα η καλύτερη. Χρειάζεται ίσως στις συζητήσεις που πιθανόν να ακολουθήσουν για ένα Αναλυτικό Πρόγραμμα του μέλλοντος να τεθεί προς συζήτηση το «εάν γνωστικά αντικείμενα αυτού του χαρακτήρα είναι δεοντολογικά σωστό να εμφανίζονται στα νέα Προγράμματα».
Η γνώμη μου είναι ότι είναι σωστό αλλά και αναγκαίο αν και στην απόφανσή μου αυτή δεν είμαι σίγουρος ότι απαντώ ως φυσικός ή ως διδάσκων φυσική.
Η όλη παρουσίαση του ζητήματος οδηγεί τον διδασκόμενο σε «ερώτημα» και αυτό είναι σημαντικό για μια διδασκαλία . Η προτεινόμενη περιγραφή της δράσης «με μία δύναμη και με μία ροπή» δεν παρουσιάζει κανένα επιστημονικό πρόβλημα αλλά -σε επίπεδο διδασκαλίας στη Δευτεροβάθμια – την περιγραφή με δυνάμεις ή τουλάχιστον «την περιγραφή και με δυνάμεις» θα την προτιμούσα.
Και η περιγραφή της δράσης της πλάκας στο τμήμα της ράβδου που έχει διεισδύσει σε αυτήν γίνεται με δύο αντιπαράλληλες δυνάμεις ίσων μέτρων που συνιστούν ζεύγος και με μία δύναμη μέτρου nm2gσυνφ αντίθετη σε κατεύθυνση από εκείνη της επιτάχυνσης, έτσι ώστε
ΣFx = 0 ΣFx = 0 Στ = 0
Θα επέλεγα επίσης για τη διατύπωση της άσκησης να γίνεται αναφορά στο γεγονός ότι η ράβδος διεισδύει στη βαριά πλάκα , στο ότι υπάρχει δηλαδή χώρος ώστε να εκδηλωθούν οι παράλληλες δυνάμεις.
Βέβαια την αναφορά σε ζεύγος δυνάμεων την κάνεις στο κλείσιμο της παρουσίασης καθαρά και χωρίς περιστροφές , συνεπώς η δική μου παρέμβαση θέτει το ζήτημα από τη σκοπιά και μόνο της διδακτικής παρουσίασης, ενώ ταυτόχρονα εκθέτει και τα εναύσματα που προκλήθηκαν σε μένα με αφορμή τη συγκεκριμένη ανάρτησή σου
Με ιδιαίτερη εκτίμηση
Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας
Μια ανάρτηση, σαν μια πρακτική εφαρμογή των παραπάνω ιδεών, με κλικ εδώ.