Μέσα – έξω κύλινδρος με λιπαντικό, αλλά όχι ομοαξονικοί

Δημοσιεύτηκε από το χρήστη Διονύσης Μητρόπουλος στις 31 Δεκέμβριος 2013 στις 3:37 στην κατηγορία Θέματα Φυσικής

Το θέμα προέκυψε από ερώτημα ενός μαθητή «αστέρι», του Κωστή, και το θέτω για συζήτηση.

Με αφορμή το περσινό 4^ο θέμα ο Κωστής θέτει το εξής ερώτημα:

─ Έστω συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R με κέντρο βάσης Κ.

Αφαιρούμε από το εσωτερικό του ένα (ισοϋψή) κύλινδρο ακτίνας r με κέντρο βάσης Ο, ώστε οι (παράλληλοι) άξονες των δύο κυλίνδρων να μην συμπίπτουν, αλλά να απέχουν απόσταση (ΟΚ) = d.

Τότε για να βρούμε τη ροπή αδράνειας Ι (ως προς τον άξονα Κ) του στερεού μάζας Μ-m που απομένει, δεν πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και το θεώρημα του Steiner;

Δηλαδή:

Ι = ½∙Μ∙R² – (½∙m∙r² + m∙d²)   όπου   m = M∙(r/R)²

─ Σωστά.

─ Κι αν τώρα ξαναβάλουμε πίσω το τμήμα που αφαιρέσαμε, προσθέτοντας και λιπαντικό για να μην υπάρχουν τριβές, πόση γίνεται η νέα ροπή αδράνειας Ιʹ του συστήματος;

Ο εσωτερικός κύλινδρος λόγω του λιπαντικού δεν μπορεί να στρέφεται αλλά, αφού κατά την κύλιση στο κεκλιμένο γυρνάει γύρω – γύρω από το Κ, δεν πρέπει να τον θεωρήσουμε σαν σημειακή μάζα m που απέχει απόσταση d από τον άξονα και να προσθέσουμε πάλι τον όρο m∙d² που είχαμε προηγουμένως αφαιρέσει λόγω Steiner; (!!)

Δηλαδή:

Ιʹ = Ι + m∙d²

Ομολογώ ότι η οξύτητα του συλλογισμού του με άφησε έκπληκτο.

Και πιστεύω ότι είναι σωστό, παρόλο που φαίνεται ανορθόδοξο, αφού δεν έχουμε ένα μοναδικό στερεό που στρέφεται.

Μπορώ να το φανταστώ σαν μια διαδικασία «ζυγοστάθμισης», όπου η σημειακή μάζα m παίζει το ρόλο του «αντίβαρου» που τοποθετήσαμε στο κοίλο στερεό με σκοπό να φέρουμε το κέντρο μάζας του πάνω στον άξονα περιστροφής Κ.

Ποιά είναι η γνώμη σας γι’ αυτό συνάδελφοι;