by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 6 Φεβρουάριος 2014 και ώρα 14:00
Σφαίρα μάζας m και ακτίνας R εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα υο και ωο=0 σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ.
Α. Να υπολογίσετε την αρχική και την τελική στροφορμή της σφαίρας, ως προς σημείο Σ του εδάφους. Ποιά είναι η τελική ταχύτητα υ του κέντρου μάζας της;
Β. Να επαναλάβετε το (Α) για ορθογώνιο σώμα μάζας m και ύψους 2∙h που δεν στρέφεται. Είναι το σώμα αυτό στροφικά μονωμένο ως προς το Σ; Δώστε εξηγήσεις.
(Δίνονται g και Ιcm = 2/5∙m∙R²)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
A. Η αρχική στροφορμή της σφαίρας ως προς Σ είναι μόνο τροχιακή, αφού αυτή δεν στρέφεται (κάθετη προς τη σελίδα με φορά προς αυτήν):
Lαρχ = m∙υο∙R
Η σφαίρα επιβραδύνεται μεταφορικά λόγω της τριβής ολίσθησης Τ και επιταχύνεται στροφικά από τη ροπή της, μέχρι να αρχίσει να κυλίεται, να ισχύει δηλαδή υ = ω∙R.
Η ροπή της τριβής ως προς Σ είναι μηδέν. Επομένως η στροφορμή της σφαίρας ως προς Σ διατηρείται και ισχύει:
Lτελ = Lαρχ = m∙υο∙R
Από τη σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε και την τελική ταχύτητα υ:
m∙υο∙R = Ιcm∙ω + m∙υ∙R → m∙υο∙R = 2/5∙m∙R²∙(υ/R) + m∙υ∙R → υ = 5/7∙υο
B. Το σώμα αυτό έχει μόνο τροχιακή στροφορμή ως προς Σ που αρχικά είναι όπως πριν:
Lαρχ = m∙υο∙h
Λόγω της τριβής ολίσθησης επιβραδύνεται μέχρι που τελικά σταματάει. Επομένως:
Lτελ = 0 και υ = 0
Είναι προφανές ότι στην περίπτωση αυτή η στροφορμή ως προς Σ δεν διατηρήθηκε, παρόλο που η τριβή διέρχεται από το Σ. Ο λόγος είναι ο εξής:
Κατά την κίνηση του σώματος αναπτύσσεται από την τριβή T ροπή ως προς το CM που τείνει να περιστρέψει το σώμα κατά τη φορά του ρολογιού, με αποτέλεσμα να μετατοπίζεται το σημείο εφαρμογής της κάθετης στήριξης N κατά d πιο μπροστά ώστε να εμποδίζεται η ανατροπή.
Αν τώρα εξετάσουμε τις ροπές ως προς το σημείο Σ, η τριβή δεν έχει ροπή, υπάρχει όμως το ζεύγος των mg και Ν που προκαλεί ροπή κάθετη προς τη σελίδα και προς εμάς, με μέτρο τ = m∙g∙d, η οποία μειώνει την τροχιακή στροφορμή του σώματος.
Δεδομένου ότι ο χρόνος μέχρι το μηδενισμό της ταχύτητας είναι Δt = υο/α = υο/(μ∙g), μπορούμε να υπολογίσουμε και την απόσταση d:
Στ(Σ) = |ΔL|/Δt → m∙g∙d = m∙υο∙h / [υο/(μ∙g)] → d = μ∙h
Τα σχόλια
