by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 5 Φεβρουάριος 2014 και ώρα 14:30
Δίσκος μάζας Μ = 3 kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένος στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς K = 100 N/m που το άλλο του άκρο είναι ακλόνητο.
Πάνω στο δίσκο τοποθετούμε κύβο μάζας m = 2 kg που ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής του με το δίσκο είναι μ = 1,2. Εκτρέπουμε το σύστημα δίσκου – κύβου, ώστε να επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά Δℓ, και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει ΓΑΤ.
Να βρεθεί το μέγιστο επιτρεπτό Δℓ ώστε ο κύβος να παραμένει στη θέση του ως προς το δίσκο.
(g = 10 m/s²)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
Σιγά τ’ αυγά …
Η k του ελατηρίου παίζει το ρόλο του D, οπότε ω² = k/(M+m).
Η στατική τριβή στον κύβο παίζει ρόλο δύναμης επαναφοράς, οπότε:
Τστ = – m∙ω²∙x → |Τστ| = m∙ω²∙|x|
Υπάρχει ο περιορισμός
|Τστ| ≤ μ∙Ν → |Τστ| ≤ μ∙m∙g
και συνδυάζοντας:
m∙ω²∙|x| ≤ μ∙m∙g → |x| ≤ μ∙g/ω² → |x| ≤ μ∙(Μ+m)∙g/k
Άρα και για το πλάτος Δℓ της ταλάντωσης ισχύει:
Δℓ ≤ μ∙(Μ+m)∙g/k και Δℓmax = μ∙(Μ+m)∙g/k = 0,6 m
Μήπως μου … ξέφυγε τίποτα;
Γιατί ειδικά «κύβος»;
Και ο συντελεστής τριβής; Δεν είναι κάπως … μεγάλος;
Για κάτσε …
Μήπως ο κύβος, εκτός από το να γλιστρήσει, κινδυνεύει και να … ανατραπεί;
Η ροπή της τριβής ως προς το CM του κύβου είναι Τστ∙α/2 όπου α η ακμή του.
Ποια ροπή αντιστέκεται; Εντάξει, μετατοπίζεται το σημείο εφαρμογής της Ν πιο έξω, οπότε προκαλεί αντίθετη ροπή που μπορεί να φτάσει μέχρι … Ν∙α/2 κι αυτή;
Κι αν τον έχουμε βάλει λοξά πάνω στο δίσκο; Η μισή διαγώνιος … άρα μέχρι Ν∙α√2/2. Δεν λέει πως τον βάλαμε, άρα η χειρότερη περίπτωση είναι Ν∙α/2, οπότε για να μην ανατρέπεται θα πρέπει:
Τστ∙α/2 ≤ Ν∙α/2 → Τστ ≤ Ν → Τστ ≤ m∙g
Πω – πω τι πήγε να μου κάνει το μεγάλο μ,
αυτός ο περιορισμός είναι πιο ισχυρός από τον |Τστ| ≤ μ∙m∙g !
Οπότε … άκυρη η προηγούμενη λύση. Ισχύει:
|Τστ| ≤ m∙g
και συνδυάζοντας:
m∙ω²∙|x| ≤ m∙g → |x| ≤ g/ω² → |x| ≤ (Μ+m)∙g/k
Άρα και για το πλάτος Δℓ της ταλάντωσης:
Δℓ ≤ (Μ+m)∙g/k και Δℓmax = (Μ+m)∙g/k = 0,5 m
(Ουφφ !!)
