Περί κύλισης…

Έστω ένας τροχός ο οποίος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει και στο εξής αυτό δεν θα το επαναλάβω, αφού το θεωρώ πλεονασμό. Ή κυλίεται ο τροχός ή όχι. Και τα δύο δεν μπορεί να ισχύουν) με ταχύτητα κέντρου μάζας υ_cm . Στην πορεία του συναντά μια μικρή περιοχή όπου έχει χυθεί λίγο κόκκινο χρώμα σε μήκος x=20cm, την οποία διασχίζει.

Μετά από λίγο σταματάμε τον τροχό θα διαπιστώσουμε ότι έχει βαφτεί κόκκινο ένα μέρος της περιφέρειάς του. Μετράμε το μήκος του κόκκινου τόξου και το βρίσκουμε Δs=20cm.

Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι ο τροχός καθώς περνούσε από την περιοχή με το χρώμα, κυλίεται.

Συμφωνείς Θρασύβουλε;

Αν συμφωνείς τότε κάνουμε την μαθηματική επεξεργασία:

Το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε να κινηθεί ο τροχός για να περάσει πάνω από το κόκκινο χρώμα είναι:

x=υ_cm∙Δt

Αλλά στο ίδιο χρονικό διάστημα ο τροχός έχει περιστραφεί κατά γωνία Δθ, όπου:

Δθ=ω∙Δt → Δs/R=ω∙Δt → Δs=ωR∙Δt

Αλλά Δs=x οπότε… υ_cm=ω∙R

Έτσι προέκυψε ο συγκεκριμένος «μαθηματικός σύνδεσμος».

Συμφωνείς Θρασύβουλε μέχρι εδώ;

Αλλά τότε πάμε σε μια οριζόντια σανίδα, η οποία κινείται με ταχύτητα v, όπως στο σχήμα. Πάνω της αφήνεται να κινηθεί ένας τροχός με ταχύτητα κέντρου μάζας υ_cm και γωνιακή ταχύτητα ω, τέτοια, ώστε ο τροχός να κυλίεται πάνω στη σανίδα. Έστω υ_cm>v και ότι ο τροχός φτάνει τη στιγμή t=0 στην κόκκινη περιοχή και εξέρχεται τη στιγμή t. Τι έχουμε;

x₁=υ_cm∙t,    ενώ x₂=v∙t

Όπου x₁ η μετατόπιση του τροχού και x₂ η μετατόπιση της σανίδας.

Με βάση το σχήμα:

x₁=x₂+x ή υ_cm∙t=v∙t+x ή

υ_cm∙t=v∙t+Δs  → υ_cm∙t=v∙t+Δθ∙R → υ_cm∙t=v∙t+ω∙R∙t →

υ_cm=v+ω∙R  (1)

Η σχέση (1) είναι «ο μαθηματικός σύνδεσμος» που περιγράφει την παραπάνω κύλιση!

Αλλά πώς μπορεί να γραφεί η παραπάνω εξίσωση; Μπορώ να γράψω:

υ_cm-ωR =v

Η οποία τι μας λέει;

Ας πάρουμε το σημείο επαφής Α του τροχού με τη σανίδα. Για να υπάρξει κύλιση θα πρέπει η ταχύτητα του σημείου Α, (η συνισταμένη της υ_cm και της υ_γρ=ωR), να είναι ίση με την αντίστοιχη ταχύτητα του σημείου Β, με το οποίο έρχεται σε επαφή.

Συνεπώς αν η γωνιακή ταχύτητα του τροχού, συνδέεται με την ταχύτητα του κέντρου μάζας του με την εξίσωση ( με τον «μαθηματικό σύνδεσμο») υ_cm=ω∙R, προφανώς δεν θα κυλίεται, αλλά θα ολισθαίνει…

(Είναι πολλά τα σχόλια Άρη)

Διαβάστε τα σχόλια από εδώ.