by 
Μια μόνιμη και στρωτή ροή πραγματικού ρευστού.
Έστω σε ένα οριζόντιο σωλήνα, κυλινδρικού σχήματος, ακτίνας R και μήκους , έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή, ενός πραγματικού ρευστού με συντελεστή ιξώδους n.
Η ροή ονομάζεται μόνιμη, αφού σε κάθε σημείο, η ταχύτητα έχει μια συγκεκριμένη τιμή ανεξάρτητη του χρόνου και στρωτή, αφού ναι μεν η ταχύτητα είναι διαφορετική στα διάφορα σημεία μιας τομής, αλλά μπορούμε να διακρίνουμε στρώματα με μια ορισμένη ταχύτητα, όπου το ένα κινείται παράλληλα στο άλλο.
Θα μελετήσουμε την δυναμική της ποσότητας του ρευστού που περικλείεται σε ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r. Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις F1 και F2, λόγω πίεσης από τις διπλανές ποσότητες ρευστού και η δύναμη εσωτερικής τριβής Τ, η οποία ασκείται σε όλη την παράπλευρη επιφάνεια του μικρού κυλίνδρου. Για τα μέτρα των δυνάμεων έχουμε:
Η συνέχεια στο Blogspot.
Νόμος του Poiseuille για σωλήνα.
Νόμος του Poiseuille για σωλήνα.
Η ανάρτηση αφιερώνεται στους συναδέλφους, που θα ήθελαν να διαβάσουν κάτι, πέρα από το απολύτως απαραίτητο, πάνω στα υγρά, μια βροχερή μέρα, που δεν θα πάνε σχολείο. (Οι συνάδελφοι των φροντιστηρίων ελπίζω να βρουν λόγο χρόνο αργότερα….)
Προφανώς η ανάρτηση δεν απευθύνεται σε μαθητές.
Καλημέρα Διονύση.
Πολύ χρήσιμη.
Καλημέρα Γιάννη.
Ευχαριστώ.
Καλημέρα Διονύση.
Θα πρέπει να ομολογήσω ότι με τον γνωστό αριστοτεχνικό σου τρόπο παρακάμπτεις τις εξισώσεις Navier – Stokes και μόνο με τα μαθηματικά εργαλεία ενός πρωτοετούς φοιτητή αναλύεις πλήρως την ροή Poiseuille.
Δύο παρατηρήσεις: Η μία αναφερόμενη στον γνωστό δαίμονα και η άλλη ουσιαστικότερη.
1) Στην πρώτη σελίδα και στη πρώτη γραμμή μαθηματικών εξισώσεων γράφεις ότι
F2=p2∙Α= p1∙πr2
Προφανώς εννοείς p2∙πr2
2) Μελετώντας την δυναμική του επιλεγμένου τμήματος υγρού γράφεις ότι:
«Επειδή η ροή είναι μόνιμη, για την ποσότητα αυτή του ρευστού, ΣF=0»
Με την διατύπωση αυτή δίνεται η ψευδής εντύπωση ότι η μοναδική αιτία μηδενισμού της επιτάχυνσης είναι η μονιμότητα της ροής.
Στην πραγματικότητα αυτή δεν είναι η μοναδική αιτία:
Γνωρίζουμε ότι η επιτάχυνση ενός στοιχειώδους τμήματος ρευστού δίνεται από την σχέση
( τα κεφαλαία είναι διανύσματα)
a (r,t) = ∂t v + (v∙∇)v = ∂t v + (vx∂x + vy ∂y + vz ∂z )v
Επειδή η ροή είναι μόνιμη ισχύει ότι ∂t v =0.
Επειδή η ροή γίνεται μόνο κατά την διεύθυνση του άξονα x ισχύει ότι vy = vz=0
Επομένως,
a = vx∂x v
ay = vx∂x vy =0
az = vx∂x vz =0
ax = vx∂x vx
Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι:
div v =0 ⇒ ∂x vx +∂y vy +∂z vz =0 ⇒ ∂x vx =0
Άρα ax =0
Επομένως, για κάθε στοιχειώδες τμήμα του ρευστού ισχύει ότι
a= 0 ⇒ ΣF =0
Ολοκληρώνοντας στα στοιχειώδη τμήματα του επιλεγμένου μέρους προκύπτει ότι για το επιλεγμένο μέρος
ΣFεξ =0 ⇒ F1-F2-Τ=0
Επομένως η συνθήκη ΣF=0 για το επιλεγμένο τμήμα είναι αποτέλεσμα των
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Σε βλέπω σε πολύ σταθερή Μαθηματική στάση!!!
Προφανώς έχεις δίκιο στις μαθηματικές σου «περιπλανήσεις» αλλά γράφοντας:
«σε ένα οριζόντιο σωλήνα, κυλινδρικού σχήματος, ακτίνας R και μήκους , έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή, ενός πραγματικού ρευστού με συντελεστή ιξώδους n.»
και δίνοντας το σχήμα:
νομίζω ότι γίνεται σαφές ότι αναφέρομαι σε μόνιμη ροή όπου η ταχύτητας ροής, σε κάθε σημείο είναι παράλληλη στον άξονα του σωλήνα (ας πούμε στον άξονα x), ίσως δεν τόνισα ότι θεωρώ το υγρό ασυμπίεστο, οπότε η εξίσωση συνέχειας είναι αυτονόητη.