by 
Δημοσιεύτηκε από το χρήστη Διονύσης Μάργαρης στις 13 Απρίλιος 2011 στις 12:47 στην ομάδα Φυσική Β΄Λυκείου
Δίνω παρακάτω τη λύση της άσκησης 5.55 της Φυσικής κατεύθυνσης.
Πηνίο έχει Ν=400σπ. Όταν διαρρέεται από ρεύμα Ι=5Α, τότε η ροή είναι Φ=0,001Wb. Να υπολογιστεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου.
Λύση:
Τι λέτε συνάδελφοι, είναι σωστή λύση;
Ας γράψω λοιπόν ότι αυτή την στιγμή στο εργαστήριο του σχολείου μου υπάρχουν δύο πηνία στον πάγκο που δεν διαρρέονται από ρεύμα διότι έχω κλείσει τον γενικό διακόπτη φεύγοντας. Η ροή όμως που τα διαρρέει δεν είναι μηδέν , ποικίλει μάλιστα κάθε μέρα διότι δεν φροντίζω να΄έχουν τον ίδιο προσανατολισμό στο μαγνητικό πεδίο της Γης.
Ίσως εσύ εννοείς κάτι διαφορετικό από το να εξασφαλίζαμε ότι με ρεύμα μηδέν έχουμε ροή μηδέν ή ότι η μεταβολή είναι ….
Πάντως η άσκηση συχνάζει σε πολλά βιβλία.
………………….
Η άσκηση Γιάννη υπάρχει παντού (σχεδόν) και, τουλάχιστον εγώ, συναντώ πάντα αυτή τη λύση.
Αυτή την λύση μου έδωσαν σήμερα και οι μαθητές μου στο σχολείο.
Δεν θα ήθελα να πω την θέση μου (πάντως η αλήθεια είναι ότι είσαι πάντα ετοιμοπόλεμος…) πριν τοποθετηθούν και άλλοι συνάδελφοι.
………………….
Ως γνωστόν στα μαθηματικά οι αόριστες εξισώσεις δεν επιδέχονται την παρακάτω λύση: L*5*0=0,4*0 συνεπάγεται L*5=0,4 και άρα L=0,08.
Θα ήταν ωραία να απλοποιούσαμε μηδενικά.
Ωστόσο και στη κύλιση έχω συναντήσει ω*R=u άρα θ*R=s ( ποιος σκέφτηκε ποτέ την σχέση για ακίνητη σφαίρα ; )
…………………
ότι αποτελεί “συμπληρωματικό” ή “ανεξάρτητο” νόμο από το νόμο της επαγωγής.
Έτσι ορίζουν το συντελεστή αυτεπαγωγής L μέσα από το “νόμο της αυτεπαγωγής”,
με αποτέλεσμα να υπολογίζουν το L με τον τρόπο που υποδείχθηκε.
Ορθότερο θα ήταν να φαίνεται ότι ο νόμος της αυτεπαγωγής προκύπτει από τον νόμο
της επαγωγής. Πραγματικά, στην περίπτωση ενός πηνίου που διαρρεέται από ρεύμα, η ροή
του μαγνητικού πεδίου (το οφειλόμενο στο ρεύμα που το διαρρεέει) είναι ανάλογη
του ρεύματος που το διαρρέει διότι: η ροή είναι ανάλογη του μέτρου της έντασης
του μαγνητικού πεδίου Β (από τον ορισμό της ροής) το οποίο με τη σειρά του
(μαγνητικό πεδίο) είναι ανάλογο της έντασης του ρεύματος που το παράγει (από το νόμο Biot-Savart).Και αν ακόμα δεν ίσχυε ο νόμος της επαγωγής (μία από τις τέσσερις εξισώσεις του Maxwell)
η σχέση Φ Ν = LI (όπου Φ η ροή που περνά από μία σπείρα) εξακολουθεί να ισχύει διότι
προκύπτει από την άλλη εξίσωση του Maxwell (νόμος του Ampere).
Και πολύ σωστά Δέσποινα τα λες.
Η σχέση Φ=Li εσάγεται και αναλύεται στο Βιβλίο Ανδρακάκου…Δρυ..Κρίκου (ΟΕΔΒ 2000 αποσύρθηκε μετά το τέλος της ευρωπαϊκής επιδότησης ). Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι η αναλογία είναι ίδια ( L ) και για τους ρυθμούς μεταβολής.
Το αντίστροφον όμως στην άσκηση κολλάει στην παραδοχή ότι το ρεύμα και η ροή είναι σταθερά. Έτσι οι ρυθμοι μεταβολής είναι 0. Αν ήταν μεταβαλλόμενα η λύση θα ήταν ορθή (με ολοκληρώματα ή χωρίς).
Το Ν στο νόμο του Faraday έχει νόημα μόνο αν από όλες τις σπείρες περνάει η ίδια μαγνητική ροή πράγμα όχι αυτονόητο .
Η εκφώνηση της άσκησης δεν λέει ότι το Φ είναι η μαγνητική ροή σε μια σπείρα οπότε κατά τη γνώμη μου η λύση δίνεται από την L = Φ/i (Θεωρώ ότι το “όταν … τότε … “ σημαίνει ότι το Φ οφείλεται μόνο στο i ).
Πρώτον καλωσορίζω τον απωλεσθέντα Νίκο.
Δεύτερον ο Διονύσης δεν ρώτησε αν η σχέση είναι σωστή αλλά αν η λύση είναι σωστή.
Στη λύση βλέπουμε ότι ξεκινώντας από την ισότητα δύο παραγώγων (;;) καταλήγουμε στην ισότητα δύο συναρτήσεων κάτι που γενικά δεν ισχύει. Το ορθόν του συμπεράσματος δεν καθιστά ορθή την λύση.
………………
Γεια σου Γιάννη ! (ευχαριστώ για το καλωσόρισμα)
Στην τελευταία μου πρόταση, ήθελα να επισημάνω ότι η σχέση αυτή δεν προκύπτει εξαιτίας του φαινομένου της επαγωγής.
Είναι λοιπόν κατά τη γνώμη μου “άστοχο” να υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο.
Όπως ανέφερε η Δέσποινα και ο Δημήτρης, επειδή η ροή είναι ανάλογη του ρεύματος, έχουμε το νόμο της αυτεπαγωγής ως απόρροια του νόμου της επαγωγής και όχι το “αντίστροφο“: ” επειδή ισχύουν οι νόμοι της αυτεπαγωγής και της επαγωγής => Φ=LI “
…………………..
Κατάλαβα από την αρχή την αντιστροφή που παρουσίασες αλλά το βλέπω ως πρόβλημα “βαθμολόγησης”. Σου γράφουν ένα τέτοιο σε γραπτό. Θα το θεωρήσεις άψογο; Θα βάλεις και που το σύμβολο της ασάφειας ή τον σταυρό ή και τα δύο ;
Φαντάζομαι ότι εκεί το πάει ο Διονύσης. Βρείτε την αστοχία και όχι γράψτε μου την ορθή λύση. Εκτός φυσικά αν εννοεί ότι και εσύ δηλαδή ότι η παρουσίαση είναι αντεστραμμένη. Μάλλον όμως θέλει το πρώτο.
Κοντός ψαλμός….
………………
Στην εκφώνηση δεν είναι ξεκάθαρο αν η ροή Φ είναι η ολική ή αυτή που διέρχεται από μία σπείρα.
Αναμένοντας λοιπόν το … αλληλούια !!
………………
Νομίζω όχι Διονύση.
Κατά την άποψή μου, δεν μπορούν να “απλοποιηθούν” τα Δt,
διότι, παρ’ όλο που φαίνονται σαν παρονομαστές δύο κλασμάτων,
στην πραγματικότητα είναι τμήματα δύο “πακέτων”, των ρυθμών μεταβολής της ροής και της έντασης του ρεύματος.
(θα έλυνα την άσκηση ως εξής: …
Φ=ΒS=μμοΙ(Ν/l)S
L= μμοΝ2S/l
και από διαίρεση κατά μέλη: L/Φ=Ν/Ι
άρα L=ΦΝ/Ι)
……………………
Αγαπητοί φίλοι, σας ευχαριστώ που μπήκατε στον κόπο της απάντησης.
Ήθελα να ξανα- καλωσορίσω το Νίκο στην παρέα μας. Ελπίζω να τέλειωσαν τα προβλήματα με τους δίσκους και να έχεις τώρα περισσότερο χρόνο…
Να σας πω λοιπόν γιατί έβαλα το ερώτημα.
Διδάσκουμε επαγωγή και προσπαθούμε να περάσουμε στους μαθητές μας την διαφορά μεταξύ στιγμιαίας και μέσης ΗΕΔ από επαγωγή. Πράγμα όχι και τόσο εύκολο, όσο και αν προσπαθούμε να το συνδέσουμε με τις αντίστοιχες τιμές για την ταχύτητα. Πάμε στο Ε.Ρ. και άντε να πείσεις για αυτό το dΦ/dt και γιατί δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε με τα Μαθηματικά της Β΄ Λυκείου.
Και ερχόμαστε τώρα στην παραπάνω άσκηση. μιλάει για τη ροή που περνάει από μια σπείραόταν το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο είναι Ι. Αναφέρεται σε μια στιγμή. Δεν αναφέρει τίποτα για μεταβολή. Συνεπώς νομίζω ότι δεν πρέπει να χρησιμοποιηθούν οι παραπάνω εξισώσεις αφού η λύση που δίνεται δεν πατάει πουθενά. Μετατρέπει το διαφορικό σε μεταβολή, την οποία θεωρεί ότι πραγματοποιείται με σταθερό ρυθμό. Αυτά πώς περνάνε στους μαθητές; Είναι σαν να τους λέμε ότι το ρεύμα αυξάνεται γραμμικά σε συνάρτηση με το χρόνο. Ακόμη και αν ολοκληρώναμε, θα είχαμε μια σταθερά στη λύση, που με βάση την υπόθεση ότι όταν i=0, Φ=0 θα μηδενίζαμε….
Έχετε δίκιο φίλοι μου που υποστηρίζετε την άποψη να ξεκινήσουμε από την εξίσωση Φ=LI, αλλά δεν είναι αυτή η λογική του σχολικού βιβλίου…
Θα πρότεινα λοιπόν ξεκινώντας τη μελέτη μας από το σωληνοειδές (αυτό μελετά και το βιβλίο) πηνίο να γράψουμε:
Φ=ΒΑ=μ∙μ0∙i∙Ν/ℓ∙Α και
L=μ∙μ0∙Ν2/ℓ
Από όπου L=ΦΝ/i.
Οι τύποι που χρησιμοποιεί ο συνάδελφος Βαγγέλης Κουντούρης νομίζω πως δεν ισχύουν για κάθε πηνίο , μόνο για το σωληνοειδές
…………………
Δάσκαλε Βαγγέλη καλησπέρα. Θα συμφωνήσω με την ορθότητα της λύσης που προτείνεις…αλλά
θα μου επιτρέψεις να διαφωνήσω με την απαγόρευση της απλοποίησης.
1. Οι σχέσεις με την λύση που ανάρτησε ο Διονύσης είναι γραμμένες ως πηλίκο μεταβολών (ΔΦ/Δt, Δι/Δt) και όχι διαφορικών ( dΦ/dt, di/dt). Αν αποδεχτούμε ως σωστό τον τύπο (περιέχεται στο σχολικό βιβλίο ) αποδεχόμεθα σιωπηρώς ότι ο ρυθμός μεταβολής είναι σταθερός. Αν είναι σταθερός τα Δt μπορούν να θεωρηθούν ίσα και διάφορα του μηδενός ή και να απλοποιηθούν.
2. Όμως η εκφώνηση δεν δίνει δεδομένο κάποια μεταβολή να συμβαίνει μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα Δt.
Η αντικατάσταση του ΔΦ με (Φ-0) δεν προκύπτει απο κάπου και είναι αυθαίρετη. Αντίθετα συνηθίζεται η έκφραση “…η ένταση του ρεύματος είναι 5Α…” να εκλαμβάνεται ως σιωπηλό δεδομένο “…σταθερό 5 Α… . Τότε όμως η εξίσωση γίνεται αόριστη αφού Δι=0 και ΔΦ=0.
3. Αντίθετα η προτάσεις (Δέσποινας, Νίκου, Δημήτρη Β και εμού ) που αναφέρονται στην Φ(ολ)=LΙ δίνουν μια σωστή διάσταση αλλά …. η σχέση δεν περιέχεται στο σχολικό βιβλίο. Η πρόταση σου να ξεκινήσουμε από τον τύπο υπολογισμού του L και την ροή εντόςσωληνοειδούς πλεονεκτεί ως προς αυτό, και είναι η ενδεδειγμένη.
………………..
Πραγματικά στο σωληνοειδές όπου η διάμετρος της σπείρας R είναι πολύ μικρότερη από το μήκος του L, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να θεωρηθεί ομογενές οπότε η ροή είναι Φ=ΒΑ.
Για το πηνίο δεν ισχύει η προηγούμενη σχέση επειδή το μαγνητικό πεδίο μεταβάλλεται με την απόσταση r από τον άξονα του πηνίου. Τότε Φ=Σ Β(r). 2πrΔr
Όμως, επειδή το Β(r) είναι ανάλογο του Ι => η ροή Φ είναι είναι ανάλογη του Ι με συντελεστή αναλογίας L (χωρίς να ισχύει : L=μ∙μ0∙Ν2/ℓ)
……………….
Νίκο καλώς επανήλθες !! 🙂
Συνάδελφοι δυο σκέψεις κι από μένα.
Να πω αρχικά ότι με βρίσκουν κι εμένα σύμφωνο οι επισημάνσεις των συναδέλφων ότι ο “νόμος” της αυτεπαγωγής προκύπτει από το νόμο του Faraday, καθώς και ότι ο συντελεστής L θα έπρεπε να ορίζεται ως ο συντελεστής αναλογίας μεταξύ Φ και Ι σε ένα κύκλωμα. Εξ’ άλλου συναντάμε στη βιβλιογραφία συχνά παρόμοιο ορισμό.
Θα ήθελα μόνο να σταθώ λίγο πάνω σ’ αυτό το τελευταίο.
Μια καλή πιστεύω αιτιολόγηση για την αναλογία μεταξύ των Φ και Ι είναι η γραμμικότητα των νόμων του ηλεκτρομαγνητισμού ως προς το ρεύμα.
Σε οποιοδήποτε κύκλωμα η ένταση του πεδίου είναι ανάλογη του Ι και η μαγνητική ροή που διέρχεται από αυτό, ακόμα και με ολοκλήρωση θα βγει κι αυτή ανάλογη του Ι, οπότε L = Φ/Ι = σταθ.
Στα πηνία όμως ισχύει τελικά L = Ν·Φ/Ι κι έτσι αναγκαζόμαστε να μιλάμε για ροή που διέρχεται από μία σπείρα ή για ροή που διέρχεται από όλες τις σπείρες.
Είναι όμως αυτό σωστό;
Στον ορισμό της μαγνητικής ροής δεν υπάρχει αναφορά σε σπείρες. Εξάλλου … «η μαγνητική ροή εκφράζει το πλήθος των δυναμικών γραμμών του πεδίου που διέρχονται από μια επιφάνεια …». Οι ίδιες γραμμές δεν είναι που διέρχονται από κάθε σπείρα σε ένα σωληνοειδές;
Στην ξένη βιβλιογραφία έχουν διαχωρίσει τη ροή στο χώρο (magnetic flux) από τη ροή μέσα από τις σπείρες ενός πηνίου, που την ονομάζουν magnetic flux linkage και την ορίζουν ως λ = Ν·Φ, με μονάδα την 1 Βεμπεροστροφή!
Ρίξτε αν θέλετε μια ματιά στους πιο κάτω συνδέσμους:
http://www.saburchill.com/physics/chapters/0056.html
http://www.vias.org/matsch_capmag/matsch_caps_magnetics_chap4_02.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Flux_linkage
……………….
Δίκιο έχεις Νίκο (αλλά και η Δέσποινα, Ο Δημήτρης Β και ο Δημήτρης Γκ.) για τη γενική εξίσωση Φ=LΙ, αλλά η εξίσωση δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, όπου λέγοντας πηνίο, χρησιμοποιεί στη θεωρία, μόνο το σωληνοειδές.
Διονύση Μητ., η επιφάνεια “κανονικά” είναι όλων των σπειρών όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα που σκανάρισα. Σύμφωνα με τον ορισμό της ροής (ως επιφανειακό ολκλήρωμα …. ) για την παρακάτω επιφάνεια που έχει ως σύνορο τον αγωγό λαμβάνονται ξανά και ξανά οι συνεισφορές από την ίδια δυναμική γραμμή που τέμνει πολλές φορές τη “μία” επιφάνεια.
Διονύση Μαρ. , και συ δίκιο έχεις γιατί με αυτό το βιβλίο πρέπει να “πορευτούμε”. Τα πράγματα είναι ακόμα χειρότερα στην αμοιβαία επαγωγή που δεν τονίζεται η “αμοιβαιότητα” του Μ.
……………….
Με “κάλυψε” ο Διονύσης
για τις έννοιες πηνίο και σωληνοειδές.
(κανονικά ο νόμος Faraday απαιτεί επιφανειακή, “κυκλική”, συμμετρία,
που διαθέτει το σωληνοειδές και όχι το πηνίο,
για το οποίο και ισχύει “καταχρηστικά”)
Δημήτρη
ευχαριστώ για την πρώτη λέξη,
δεν υπάρχει ανώτερος τίτλος!
(αλλά θα επιμείνω στην απαγόρευση απλοποίησης,
διότι το Δ δεν είναι παρά η “εκλαΐκευση” του d …)
………………..
Πολύ μου άρεσε αυτό Νίκο!
Δεν το είχα σκεφτεί ποτέ έτσι.
………………..
Χαίρομαι Διονύση μου!
Είναι από το βιβλίο “Electromagnetic Fields and waves” των Paul Lorrain & Dale Corson.
(την ινδική έκδοση έχω φυσικά :-))
…………………..
Το βρήκα!
Υπάρχει μέσα στο torrent “Physics complete” που κυκλοφορεί.
Νίκο, κι αυτός χρησιμοποιεί τον όρο flux linkage Λ=ΝΦ (σελ. 421)
Υπάρχει αντίστοιχος όρος στα ελληνικά;
……………
Διονύση, από τη δεύτερη στην τρίτη έκδοση, δεν έχει αλλάξει μόνο τα σχήματα αλλά και τα κείμενα.
Στη δεύτερη έκδοση δεν χρησιμοποιεί τον “ειδικό” συμβολισμό Λ , αλλά την Φ την ονομάζει και
flux linkage. Μοιάζει με άλλο βιβλίο !
………………
Διονύση είναι γεγονός ότι στη Φυσική «κλέβουμε» λίγο με τις απλοποιήσεις των διαφορικών, αλλά αν υποθέσουμε ότι θεωρούμε «πολύ μικρές» μεταβολές και χωρίς διαφορικό λογισμό, θα ήταν αποδεκτή η πιο κάτω λύση;
Αν ανοίξουμε το διακόπτη του κυκλώματος τη στιγμή μηδέν, τότε το ρεύμα θα μεταβληθεί από Ισε 0 μέσα σε χρονικό διάστημα έστω t – 0, συντηρούμενο για λίγο από την ΗΕΔ που αναπτύσσεται λόγω αυτεπαγωγής.
Θεωρούμε πολύ μικρά τμήματα Δt1, Δt2, … του χρόνου t – 0, κατά τη διάρκεια των οποίων το ρεύμα μεταβλήθηκε κατά ΔΙ1, ΔΙ2, … και η ροή κατά ΔΦ1, ΔΦ2, …
Για την αντίστοιχη Ε(αυτ) ισχύει:
Ε1 = L·ΔΙ1/Δt1 = Ν·ΔΦ1/Δt1 → L·ΔΙ1 = Ν·ΔΦ1
Ε2 = L·ΔΙ2/Δt2 = Ν·ΔΦ2/Δt2 → L·ΔΙ2 = Ν·ΔΦ2
…
και με πρόσθεση κατά μέλη:
L·ΣΔΙi = Ν·ΣΔΦi → L·Ι = N·Φ
κλπ.
…………….
Καλημέρα Διονύση. Έχεις την εντύπωση ότι αν μου έδινε κάποιος την παραπάνω λύση θα είχα αντίρρηση; Πιστεύω να καταλαβαίνεις την ουσία της διαφωνίας μου με την λύση που έδωσα αρχικά.
……………
Καλημέρα κι από μένα Διονύση.
Κακώς το διατύπωσα κι εγώ.Ήθελα να πω απλώς ότι ίσως ο πιο πάνω είναι ένας τρόπος να αποφύγουμε την ισοπέδωση της διαφοράς μεταξύ μέσης και στιγμιαίας ΗΕΔ, παρόλο που τα παιδιά δεν έχουν κάνει ακόμα παραγώγους, κλπ.