by 
Έστω ένα σώμα π.χ. ένας πλανήτης που κινείται με ταχύτητα υ, δεχόμενος δύναμη F που κατευθύνεται προς ένα σταθερό σημείο Η (κεντρική δύναμη). Δεν μας ενδιαφέρει πόσο είναι το μέτρο της, απλά να έχει κατεύθυνση προς ένα κέντρο..
Έστω ότι σε μια στιγμή βρίσκεται στο σημείο Α και μετά από χρόνο dt στη θέση Β.
Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Η παραμένει σταθερή, αφού η δύναμη F δεν έχει ροπή ως προς το Η. Έτσι έχουμε:
Αλλά επειδή dt→0, η χορδή ΑΒ=dr μπορεί να ταυτισθεί με το αντίστοιχο τόξο που διαγράφει το σώμα και το διάνυσμα dr είναι κάθετο στο διάνυσμα r αφού dθ→0 και η σχέση (1) δίνει:
r∙(dr/dt)∙ημ90° =σταθ. (2)
Όμως το γινόμενο r∙dr είναι ίσο με το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου ΗΑΒ, συνεπώς:
«Ο ρυθμός με τον οποίο η επιβατική ακτίνα ΗΑ διαγράφει εμβαδά είναι σταθερός»
Ή με άλλα λόγια:
«Σε ίσους χρόνους το σώμα διαγράφει ίσα εμβαδά.»
Τι μας θυμίζει; Μα, το δεύτερο νόμο του Keppler, για την κίνηση των πλανητών!!!
Συμπέρασμα:
Ο νόμος των εμβαδών είναι ισοδύναμος με την αρχή διατήρησης της στροφορμής και αυτό ανεξάρτητα από την τροχιά του σώματος, η οποία μπορεί να είναι κύκλος, έλλειψη, ή παραβολή, π.χ. ένας μη περιοδικός κομήτης.
Ας σημειωθεί ακόμη ότι αυτό θα συνέβαινε ακόμη και αν ο νόμος της Παγκόσμιος έλξης ήταν διαφορετικός π.χ.:
F=G m1∙m2/r !!!
Το ίδιο συμβαίνει ακόμη και αν δεν ασκείται δύναμη!! Πράγματι:
Έστω ότι το σώμα βρίσκεται στη θέση Α και αφού δεν δέχεται δύναμη, κινείται με σταθερή ταχύτητα και μετά από χρόνο t φτάνει στη θέση Β και μετά από χρόνο ξανά t στη θέση Γ. Προφανώς ΑΒ=ΑΓ=υ∙t.
Τα αντίστοιχα εμβαδά των τριγώνων ΗΑΒ και ΗΒΓ είναι:
Ε= ½ β∙υ = ½ (ΑΒ)∙d = ½ (ΒΓ)∙d.
Και τώρα λίγη …. Ιστορία!
Πώς απέδειξε ο Νεύτωνας τον 2° νόμο του Keppler;
Από το principia:
Αν δεν ασκείται δύναμη ο πλανήτης θα πήγαινε σε 1s από το Α στο Β και στο επόμενο δευτερόλεπτο από το Β στο Γ, όπου (ΑΒ)=(ΑΓ) και τα τρίγωνα ΗΑΒ και ΗΒΓ θα είχαν ίσα εμβαδά.
Επειδή όμως δέχεται δύναμη από τον Ήλιο, ο πλανήτης αλλάζει διεύθυνση σιγά-σιγά και φτάνει στο σημείο Δ, όπου η ευθεία ε είναι παράλληλη στην ΗΒ. Αλλά τα τρίγωνα ΗΒΓ και ΗΒΔ έχουν ίσα εμβαδά, αφού έχουν την ίδια βάση ΗΒ και ίσα ύψη x (η απόσταση μεταξύ των δύο παραλλήλων). Συνεπώς και τα τρίγωνα ΗΑΒ και ΗΒΔ έχουν ίσα εμβαδά..
Η παραπάνω απόδειξη του Νεύτωνα αναφέρεται στο θαυμάσιο βιβλίο του Richard Feynman: «Ο χαρακτήρας του Φυσικού Νόμου», Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, που περιέχει 7 διαλέξεις που έδωσε ο Νομπελίστας Φυσικός το 1964.
Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.
Εναλλακτικά εδώ.
Καλησπέρα,
Να αφήσω ακόμα 2 πληροφορίες ( έστω και ετεροχρονισμένα):
α) Σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων, η στροφορμή $latex \displaystyle \vec{L}$είναι σταθερή ( το αναφέρεις Διονύση στην αρχή της ανάρτησης), ως προς το ελκτικό κέντρο ( ή το απωστικό ). Λόγω του ορισμού $latex \displaystyle \vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=m.(\vec{r}\times \vec{u})$, η $latex \displaystyle \vec{L}$ είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν το διάνυσμα θέσης $latex \displaystyle \vec{r}$ και η ταχύτητα $latex \displaystyle \vec{u}$. Από τα προηγούμενα συνάγεται ότι η κίνηση είναι επίπεδη.
β) Σε κάτι που ανάφερε ο Δημήτρης ( Γκε) . Αν έχουμε ελκτική κεντρική δύναμη της μορφής $latex \displaystyle F=-\frac{\sigma \tau \alpha \theta \varepsilon \rho }{{{r}^{n}}}$ και η μάζα εκτελεί στο πεδίο αυτό κυκλική κίνηση ( ή και περίπου κυκλική ) τότε όταν n=2 ή n = 1 η κίνηση είναι ευσταθής, δηλαδή αν απομακρυνθεί η μάζα ελαφρώς από την ακτίνα R της κυκλικής της τροχιάς θα κάνει μικρές ταλαντώσεις γύρω από την βασική κυκλική τροχιά, ενώ αν n = 3 ή n = 4 η τροχιά είναι ασταθής!