Κεντρική δύναμη και στροφορμή.

Έστω ένα σώμα π.χ. ένας πλανήτης που κινείται με ταχύτητα υ, δεχόμενος δύναμη F που κατευθύνεται προς ένα σταθερό σημείο Η (κεντρική δύναμη).  Δεν μας ενδιαφέρει πόσο είναι το μέτρο της, απλά να έχει κατεύθυνση προς ένα κέντρο..

Έστω ότι σε μια στιγμή βρίσκεται στο σημείο Α και μετά από χρόνο dt στη θέση Β.

Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Η παραμένει σταθερή, αφού η δύναμη F δεν έχει ροπή ως προς το Η. Έτσι έχουμε:

Αλλά επειδή dt→0, η χορδή ΑΒ=dr μπορεί να ταυτισθεί με το αντίστοιχο τόξο που διαγράφει το σώμα και το διάνυσμα dr είναι κάθετο στο διάνυσμα r αφού dθ→0 και η σχέση (1) δίνει:

r∙(dr/dt)∙ημ90° =σταθ. (2)

Όμως το γινόμενο r∙dr  είναι ίσο με το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου ΗΑΒ, συνεπώς:

«Ο ρυθμός με τον οποίο η επιβατική ακτίνα ΗΑ διαγράφει εμβαδά είναι σταθερός»

Ή με άλλα λόγια:

«Σε ίσους χρόνους το σώμα διαγράφει ίσα εμβαδά.»

Τι μας θυμίζει; Μα, το δεύτερο νόμο του Keppler, για την κίνηση των πλανητών!!!

Συμπέρασμα:

Ο νόμος των εμβαδών είναι ισοδύναμος με την αρχή διατήρησης της στροφορμής και αυτό ανεξάρτητα από την τροχιά του σώματος, η οποία μπορεί να είναι κύκλος, έλλειψη, ή παραβολή, π.χ. ένας μη περιοδικός κομήτης.

Ας σημειωθεί ακόμη ότι αυτό θα συνέβαινε ακόμη και αν ο νόμος της Παγκόσμιος έλξης ήταν διαφορετικός π.χ.:

F=G m₁∙m₂/r !!!

Το ίδιο συμβαίνει ακόμη και αν δεν ασκείται δύναμη!! Πράγματι:

Έστω ότι το σώμα βρίσκεται στη θέση Α και αφού δεν δέχεται δύναμη, κινείται με σταθερή ταχύτητα και μετά από χρόνο t φτάνει στη θέση Β και μετά από χρόνο ξανά t στη θέση Γ. Προφανώς ΑΒ=ΑΓ=υ∙t.

Τα αντίστοιχα εμβαδά των τριγώνων ΗΑΒ και ΗΒΓ είναι:

Ε= ½ β∙υ = ½ (ΑΒ)∙d = ½ (ΒΓ)∙d.

Και τώρα λίγη …. Ιστορία!

Πώς απέδειξε ο Νεύτωνας τον 2° νόμο του Keppler;

Από το principia:

Αν δεν ασκείται δύναμη ο πλανήτης θα πήγαινε σε 1s από το Α στο Β και στο επόμενο δευτερόλεπτο από το Β στο Γ, όπου (ΑΒ)=(ΑΓ) και τα τρίγωνα ΗΑΒ και ΗΒΓ θα είχαν ίσα εμβαδά.

Επειδή όμως δέχεται δύναμη από τον Ήλιο, ο πλανήτης αλλάζει διεύθυνση σιγά-σιγά και φτάνει στο σημείο Δ, όπου η ευθεία ε είναι παράλληλη στην ΗΒ. Αλλά τα τρίγωνα ΗΒΓ και ΗΒΔ έχουν ίσα εμβαδά, αφού έχουν την ίδια βάση ΗΒ και ίσα ύψη x (η απόσταση μεταξύ των δύο παραλλήλων). Συνεπώς και τα τρίγωνα ΗΑΒ και ΗΒΔ έχουν ίσα εμβαδά..

Η παραπάνω απόδειξη του Νεύτωνα αναφέρεται στο θαυμάσιο βιβλίο του Richard Feynman: «Ο χαρακτήρας του Φυσικού Νόμου», Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, που περιέχει 7 διαλέξεις που έδωσε ο Νομπελίστας Φυσικός το 1964.

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Εναλλακτικά εδώ.