by 
Μία άσκηση αφιερωμένη εξαιρετικά σε αυτούς που έδωσαν Πανελλήνιες το 1974. Σε ένα οριζόντιο τραπέζι υπάρχουν τρεις όμοιες σφαίρες φορτισμένες η κάθε μία με φορτίο q. Συνδέονται μεταξύ τους με τρία ίδια ελατήρια τα οποία στην άλλη άκρη τους συνδέονται από σταθερό σημείο Ο. Ν’ αποδειχθεί ότι στη θέση ισορροπίας θα σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Τριβές δεν υπάρχουν.
Σημ1. Κάποιος υποψήφιος στην προσπάθειά του να αποδείξει την παραπάνω πρόταση και όχι να γράψει απλά “λόγω συμμετρίας….” έγραψε 12 σελίδες και δεν πρόλαβε ούτε να διαβάσει το τέταρτο θέμα. Τελικά πήρε 32/40 μονάδες και πέρασε 10ος στο Φυσικό Αθηνών. Άλλα ήθη και άλλα έθιμα….
Σημ2. Μία ερώτηση για τα ανίψια μας. Ένα διαφανές μπουκάλι νερό περιέχει μία ποσότητα νερού. Πως μπορούμε να διαπιστώσουμε αν περιέχει τη μισή ακριβώς ποσότητα από αυτή που χωράει. Σημειωτέο ότι δεν διαθέτουμε κανένα βοηθητικό μέσο. “Η απάντηση είναι τρεις λέξεις”
Μία λύση που προτείνω είναι η παρακάτω. Περιμένω παρατηρήσεις σας.
Η ακριβής εκφώνηση και η προτεινόμενη λυση (σε real time) στο
https://drive.google.com/file/d/0B2qYu535vGeQQ2pKdFhfSUFTVEE/view
Στην σελίδα 96 /173, (σελ. 93 του εγγράφου).
Πρόκειται για τα περίφημα Δελτία Αριστειδη Παλλα της εποχής
Αγαπητέ Πάνο.
Καταλήγεις σε μια ισότητα r2(2/a+1/b+k)=r3(1/a+2/b+k) για τα διανύσματα r2 και r3. Καταρχήν το πρόσημο πριν το k εμένα μου βγαίνει – αντί για +. Άλλωστε, αν ήταν + οι συντελεστές θα ήταν θετικοί και δεν θα μπορούσες να τους μηδενίσεις.
Μην επικαλείσαι τη γραμμική ανεξαρτησία των r2 και r3. Γιατί αυτά τα δυο διανύσματα θα μπορούσαν να είναι το ένα πολλαπλάσιο του άλλου, αν η ευθεία που έχει τις αντίστοιχες κορυφές του τριγώνου έχει επίσης και την αρχή Ο.
Υπάρχουν λοιπόν δυο περιπτώσεις: 1. Οι συντελεστές των r2 και r3 είναι μη μηδενικοί, και 2. Οι συντελεστές των r2 και r3 είναι μηδενικοί. Τις εξετάζεις και τις δυο.
Στη περίπτωση που είναι μηδενικοί, έχουμε: 2/a+1/b-k=1/a+2/b-k=0, απ΄ όπου εύκολα καταλήγουμε στην a=b. Με μια ανάλογη διαδικασία καταλήγουμε a=c, άρα αποδείξαμε ότι οι πλευρές είναι ίσες.
Συμφωνώ με την απόδειξη της σχέσης r1=r2=r3. Έχω και γω μια αντίστοιχη απόδειξη. Η απόδειξη εδώ.
Καλησπέρα Άρη.
Η λύση που δίνει ο Πάλλας είναι:
για να μην ψάχνουμε…
Εγείρονται βέβαια κάποια ερωτήματα:
-Πολύ εύκολα ξεπερνά το ισόπλευρο τρίγωνο. Δεν κάνει καν επίκληση της συμμετρίας.
-Τι σημαίνει ότι όταν οι σφαίρες είναι αφόρτιστες τα ελατήρια είναι συσπειρωμένα στο Ο;
-Τι ακριβώς είναι το χ; Είναι το μήκος του ελατηρίου ή η επιμήκυνσή του; Με βάση το σχήμα αυτό είναι το μήκος του ελατηρίου. Με βάση τη λύση, είναι παραμόρφωση αφού το χ αυτό βάζει στο νόμο του Hooke…
Καλησπέρα
Νομίζω πως με την αρχική διατύπωση θεωρεί ότι στο φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίο βρίσκεται κάτω από το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο βρίκονται και τα 3 φορτισμένι σφαιρίδια και είναι κάθετα στο σημείο Ο. Έτσι μηδενίζει το αρχικό φυσικό μήκος "επί της οριζοντίου τραπέζης" (!)
Μόλις φορτιστούν τα σφαιρίδια επιμηκύνονται οπότε η απόσταση κάθε φορτίου από το Ο είναι και επιμήκυνση . Και μόνον αυτό καθιστά το πρόβλημα απλούστερο διότι η απόδειξη πως ΑΟ=ΒΟ=ΓΟ είναι απλούστερη αν οι αποστάσεις αυτές είναι επιμηκύνσεις και όχι τελικά μήκη ελατηρίων.
Διονύση νομίζω πως για την λύση ο Πάλλας αξιοποιεί την συμμετρία ( γράφει απωθούνται ομοιόμόρφως και άρα …ισόπλευρο τρίγωνο …οπότε ότι φ=60 μοίρες … χωρίς να αποδεικνύει )
Νομίζω πως η άσκηση του Πάνου είναι διαφορετική και πιο δύσκολη … αλλά το σκεπτικό της λύσης του θεωρώ ότι είναι σωστό . Δεν είχα σκεφτεί την αξιοποίηση της ανεξαρτησίας των αποστάσεων αν και είχα φθάσει στις αντίστοιχες σχέσεις.
και νομίζω και η λύση του Νίκου Παναγιωτίδη είναι παρόμοια και ορθή.
Μου άρεσε το σκάλισμα σε αυτό το θέμα της ιστορίας των Εισαγωγικών εξετασεων .
Είναι πολύ σαφές αυτό που θέλει να πεί Διονύση: το φυσικό μήκος των ελατηρίων είναι 0. Και επειδή οι αφόρτιστες σφαίρες δεν ασκούν δυνάμεις, το ελατήριο δεν θα τεντώσει και θα παραμείνει στο φυσικό του μήκος που είναι το 0. Άρα οι τρεις σφαίρες θα πέσουν ταυτόχρονα στο 0 καταβροχθίζοντας η μία την άλλη όπως οι γαλαξίες.
Άρα δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ επιμήκυνσης και μήκους.
Καλησπέρα Νίκο και Μήτσο.
Το ότι το πρόβλημα γίνεται ευκολότερο αν θεωρήσουμε μηδενικό το φυσικό μήκος του ελατηρίου, ούτε λόγος!
Πρέπει να το υποθέσουμε;
Εγώ νομίζω, πώς όχι, δεν πρέπει…
Νικόλα όπως πρόσεξες ως αρχή των αξόνων Ο πήρα εκεί που συνδέονται τα ελατήρια. Άρα αν τα δύο φορτία βρίσκονταν στην ίδια ευθεία θα πρέπει και το τρίτο να είναι στην ίδια ευθεία όπερ άτοπο. Το θεώρησα αυτονόητο γιαυτό δεν το εξέτασα. Η απόδειξή σου δεν με ικανοποιεί γιατί ξεκινάς με ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Πάνο, τον συνευθειακό σχηματισμό των τριών φορτίων να μην τον θεωρείς άτοπο. Το ένα φορτίο είναι στην αρχή Ο. Αυτό δέχεται μηδενική δύναμη από το ελατήριο που το συνδέει με το Ο γιατί το ελατήριο αυτό έχει μηδενικό μήκος. Τα άλλα δυο φορτία ισαπέχουν από αυτό στην ευθεία, άρα οι απώσεις τους εξουδετερώνονται.
Το καθένα από αυτά τα δύο φορτία έλκεται προς το Ο από το ελατήριό του, αλλά τα άλλα δυο φορτία το απωθούν. Αν επομένως έχει την κατάλληλη απόσταση από το Ο, η συνισταμένη δύναμη θα είναι 0. Άρα στο καθένα από τα τρία φορτία η συνισταμένη είναι 0 και ισορροπούν πάνω στην ίδια ευθεία. Σου ξαναστέλνω την διαπραγμάτευσή μου εδώ για να δείς ότι το έχω λάβει υπόψιν μου.
Λες ότι δεν συμφωνείς με την απόδειξή μου αφού δεν απέδειξα ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Φαίνεται δεν διάβασες την διαπραγμάτευσή μου.
Συγνώμη για την καθυστέρηση Διονύση αλλά καλοκαίρι κοιμόμαστε λίγο παραπάνω και κάνουμε και μπάνιο το απόγευμα.
Προφανώς τα ελατήρια έχουν μηδενικό φυσικό μηκος και αυτό προκύπτει:
* Από την σαφή εκφώνηση των εξετάσεων .
* Από τις εξισώσεις της λύσης Μουρουζη που χρονολογείται, κατά δήλωσή του, από όταν ήταν τεταρτοετης άρα θυμόταν καλά τι ακριβώς είχε συζητηθεί για τα θέματα. Εκει λοιπόν ή δύναμη από τα ελατήρια είναι kr και όχι kdr θεωρείται δηλαδή σαφώς ότι το μήκος των ελατηρίων στη θέση ισορροπίας του συστήματος είναι και η ίδια ή επιμηκυνση τους.
* Από αυτό που γράφει στην εισαγωγή της λύσης του (εγώ δεν το βρήκα πουθενά αλλού στα κείμενα του, στην κουβέντα)” Από σημείο Ο ενός τραπεζιού στερεώνονται τρία ίδια ελατήρια σταθεράς k και μηδενικού φυσικού μήκους. Στα άκρα των ελατηρίων δένονται τρεις ίδιες σφαίρες ακτίνας r η κάθε μία, φορτισμένες με φορτίο q. Ζητάμε την επιμήκυνση των ελατηρίων στη θέση ισορροπίας του συστήματος. Τριβές αμελητέες. Δίνονται τα k, r, q, και Kηλ. ”
Από όσο γνωρίζω αντίστοιχες ασκήσεις, με φορτία και ελατήρια, ακόμη και απλούστερες, για προπτυχιακους έχουν αυτή την προϋπόθεση, αρχικό μηκος ελατηρίου μηδέν, για να βγαίνουν οι εξισώσεις. Έτσι μου γεννήθηκε η απορία και εψαξα για την αυθεντική εκφώνηση.
Θα με ενδιέφερε να δω λύση χωρίς αυτόν τον περιορισμό.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Υπάρχει μια στάση των "μεγαλυτέρων" ηλικιακά (όπως εμείς καλή ώρα…) να ωραιοποιούν το παρελθόν. Ίσως επειδή συνδέεται με τα νιάτα τους…
Ας δούμε την εκφώνηση:
Είναι σωστή διατύπωση; Τι σημαίνει ότι ένα ελατήριο "συσπειρούται"; Νομίζω ότι το ρήμα δεν παραπέμπει σε φυσικό μήκος, αλλά σε μείωση του μήκους του ελατηρίου.
Αν έπεφτε κάτι αντίστοιχο σήμερα, θα το θεωρούσαμε σαφές;
Παραπάνω όμως διατύπωσα την θέση ότι "Εγώ νομίζω, πώς όχι, δεν πρέπει…" Ας το δικαιολογήσω λίγο.
Η ταύτιση του μήκους του ελατηρίου με την επιμήκυνσή του, νομίζω ότι δημιουργεί σύγχυση και πρέπει να αποφεύγεται, ακόμα και αν διευκολύνεται η εγγραφή των όποιων εξισώσεων…
Αρχικά το φιλολογικόν του θέματος. Και οι αδιάφοροι στα μαθηματικά ήξεραν τω καιρώ εκείνο, αλλά νομίζω και σήμερα ότι το γεωμετρικό σημείο (εδώ το Ο) είναι αδιάστατον και ότι ή πρόθεση εις μεταφράζεται στο. Πως να μεταφράσουν "τα ελατήρια σεισπειρουνται εις το σημείο Ο"; Ότι απλά εχουν αρχή το σημείο Ο; Γιατί όταν είναι τεντωμένα το ίδιο σημείο δεν έχουν αρχή; Τι νόημα είχε η επισήμανση.
Στη φυσική τώρα. Πιστεύω συμφωνείς σήμερα η φραση θα ήταν: "το φυσικό μήκος των ελατηρίων μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο". Ούτε το πρώτο ούτε το τελευταίο αμελητέο που χρησιμοποιούμε, έτσι δεν είναι; Το πότε ή προσέγγιση είναι κοντά στην πραγματικότητα, παίζει. Αλλά άγνωστο εργαλείο δεν μας είναι, και έχει βοηθήσει στην προσέγγιση πολλών προβληματων.
Σε ένα συμφωνούμε πιστεύω. Αν το έβαζαν τώρα οι σελιδες με τις παρατηρήσεις και τα σχόλια στο ylikonet θα έφταναν τις ……….. σελίδες.
Αγαπητέ Νίκο. Το άτοπο προκύπτει όχι από το γεγονός ότι τα τρία φορτία ισορροπούν, αλλά ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία οπότε δεν σχηματίζουν τρίγωνο όπως ζητάει η άσκηση. Για την τελευταία απόδειξή σου θα συμφωνήσω απόλυτα.
Αγαπητέ Διονύση. Είναι νομίζω προφανές ότι θεωρεί το φυσικό μήκος των ελατηρίων μηδέν, αφού σε διαφορετική περίπτωση θα καταλήγαμε σε τριτοβάθμια εξίσωση της μορφής αχ^3+βχ^2+γ=0 που δεν μπορεί να λυθεί σε επίπεδο Λύκείου. Αν όμως το φυσικό μήκος είναι μηδέν τότε μηδενίζεται ο δευτεροβάθμιος όρος και η εξίσωση μπορεί πλέον να λυθεί. Δεν αναφέρθηκα σε αυτή την άσκηση γιατί θεωρώ ότι είναι μία πετυχημένη και δύσκολη άσκηση. Αναφέρθηκα γιατί θεωρώ ότι είναι δύσκολο να αποδείξει κάποιος ότι στη θέση ισορροπίας το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, πράγμα που σε όλες τις λύσεις το παίρναμε αυθαίρετα, καθώς και για το σκεπτικό της βαθμολόγησης των βαθμολογητών εκείνης της εποχής.
Παρεμπιπτόντως αν τα ελατήρια έχουν φυσικό μήκος Lo η απόδειξη ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο είναι ακριβώς η ίδια με αυτή που προτείνω, αφού η δύναμη Χουκ θα δίνεται πάλι από τη σχέση F=kΔχ=λr όπου F, Δχ και r διανύσματα.
Αγαπητέ φίλε και συνάδελφε Πάνο, αυτό που προσπαθώ να σε πείσω τόση ώρα είναι ότι τα τρία φορτία μπορεί να ισορροπήσουν μια χαρά σε μια ευθεία. Ποιός διέταξε να είναι σε τρίγωνο; Άλλωστε ο μόνος λόγος που στην ανάλυσή μου προσέθεσα την παράγραφο μοναδικότητα ήταν για να δείξω ότι η λύση του ισοπλεύρου τριγώνου είναι μοναδική, αλλά στην πορεία προέκυψε και η ευθεία γι΄ αυτό ονόμασα την παράγραφο μοναδικότητα (;). Το ; σήμαινε: υπάρχει άραγε μοναδικότητα; (δηλ. σήμαινε ότι δεν υπάρχει μοναδικότητα).
Νομίζω ότι ήρθε καιρός να μελετήσουμε το πρόβλημα των τεσσάρων φορτίων-τεσσάρων ελατηρίων.