Ο τύπος των παραβολικών κατόπτρων.

Ένα σημαντικό θεώρημα στα παραβολικά κάτοπτρα, που το παρέλειψα, είναι το εξής: Ο κύριος άξονας και οι δευτερεύοντες άξονες τέμνονται σε κοινό σημείο.

Θα δείξω αυτό το θεώρημα με την εις άτοπο απαγωγή. Πριν την απόδειξη θα επισημάνω ότι, όπως προκύπτει από τον τύπο των φακών, υπάρχει ένα σημείο σε κάθε άξονα, κύριο ή δευτερεύοντα, στο οποίο το είδωλο συμπίπτει με το αντικείμενο: είναι το σημείο που απέχει 2f από την κορυφή. Στο εξής αυτό το σημείο θα το αποκαλούμε Κ (είναι το «κέντρο καμπυλότητας» των σφαιρικών κατόπτρων).

Έστω λοιπόν ένας Δ.Α τέμνει τον Κ.Α σε ένα σημείο. Αν το σημείο αυτό δεν είναι το Κ ούτε του Κ.Α ούτε το Κ του Δ.Α, τότε μια σημειακή φωτεινή πηγή σ΄ αυτό το σημείο σχηματίζει δυο είδωλα: ένα στον Κ. Α και ένα στον Δ.Α, πράγμα άτοπο. Αν το σημείο αυτό είναι το Κ του Κ.Α, αλλά δεν είναι το Κ του Δ.Α, τότε σχηματίζεται είδωλο στον Δ.Α. Κι αυτό είναι άτοπο γιατί, όταν ένα φωτεινό σημείο είναι στο Κ του Κ.Α, το μόνο είδωλο που σχηματίζεται είναι αυτό του Κ του Κ.Α, δηλ. δεν σχηματίζεται άλλο είδωλο σε άλλο σημείο. Για ανάλογη αιτία το σημείο τομής δεν μπορεί να είναι το Κ του Δ.Α, αλλά όχι το Κ του Κ.Α.

Η μόνη περίπτωση που απομένει είναι το σημείο τομής του Κ.Α με τον Δ.Α να είναι το Κ τόσο του Κ.Α όσο του Δ.Α. Το συμπέρασμα είναι ότι ο Κ.Α και όλοι οι Δ.Α τέμνονται σε ένα σημείο που απέχει 2f από το κάτοπτρο.