Δ-5i ξανά … Τελικά 7 στροφές ή 6,75;

Σε μια προσπάθεια να διευκολύνω την κατανόηση των διαφορετικών συστημάτων αναφοράς που οδήγησαν στις δύο διαφορετικές λύσεις του Δ-5i, δηλαδή στην Ν = 7 στροφές και Ν = 6,75 στροφές έφτιαξα ένα σχήμα όσο πιο ακριβές μπόρεσα, σχεδιάζοντας σε κάθε περίπτωση το αντίστοιχο σύστημα αναφοράς.

Επισημαίνω ότι δεν υπάρχει «λάθος» απάντηση. Όλες οι κινήσεις είναι σχετικές και η μετρούμενη τιμή από ένα παρατηρητή είναι σωστή για τον ίδιο, αλλά λάθος για κάποιο άλλο παρατηρητή.

Όταν π.χ. ένας παρατηρητής, έχοντας ως σύστημα αναφοράς την στρεφόμενη γύρω από τον άξονά της Γη, λέει ότι «ο Ήλιος περιστρέφεται γύρω από τη Γη» δεν κάνει λάθος! Ούτε ο επιβάτης του τραίνου κάνει λάθος όταν λέει ότι «τα δέντρα κινούνται προς τα πίσω μου».

Στο σχολείο όμως δεν διδάσκονται ούτε τα στρεφόμενα συστήματα αναφοράς, ούτε καν η σχετική ταχύτητα, γραμμική ή γωνιακή.

Η προτεινόμενη επομένως από την ΚΕΕ απάντηση δεν μπορεί να είναι ως προς ένα στρεφόμενο σύστημα αναφοράς.

Για διευκόλυνση στη σχεδίαση του πιο πάνω σχήματος, άλλαξα τη σχέση των ακτινών σε: R = 6∙r.

Και στα δύο σχήματα, θεώρησα ότι η επιβατική ακτίνα ΟC, έχει στραφεί αντιωρολογιακά κατά Δφ = π/6. Επομένως το τόξο ΣΣʹ του τεταρτοκυκλίου έχει μήκος:

τόξο(ΣΣʹ) = Δφ∙R = (π/6)(6∙r) = π∙r

Δηλαδή, έχουν «πατήσει» διαδοχικά στο δάπεδο όλα τα σημεία της κάτω μισής περιφέρειας του δίσκου (το μπλε τμήμα του δίσκου).

Ας θεωρήσουμε τώρα ως «ακτίνα αναφοράς» στο δίσκο την ακτίνα CΑ₀ που συμπίπτει αρχικά με τον x άξονα του συστήματος αναφοράς μας. Η ακτίνα αυτή τελικά θα συμπέσει με την CΣʹ.

1) Στην περίπτωση του στρεφόμενου συστήματος και λόγω της στροφής του κατά Δφ, το σημείο αναφοράς Α₀ του x άξονα θα είναι αντιδιαμετρικό του Σʹ. Έτσι, ο στρεφόμενος παρατηρητής θα μετρήσει ωρολογιακή γωνία στροφής του δίσκου:

Δθ₁ = π.

2) Ο μη στρεφόμενος όμως εξακολουθεί να έχει τον δικό του x άξονα οριζόντιο. Η ωρολογιακή γωνία Δθ₂ επομένως που θα μετρήσει αυτός, θα είναι μικρότερη από την προηγούμενη κατά Δφ:

Δθ₂ = Δθ₁ – Δφ

Και μέχρι να φτάσει κάτω ο δίσκος (Δφ =π/2) η διαφορά των δύο μετρήσεων θα έχει φτάσει την τιμή π/2. Δηλαδή, διαφορά σε στροφές ¼ ή  0,25 στροφές.

Αν θέλουμε να είμαστε λίγο πιο τυπικοί και ονομάσουμε:
Ω τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στρεφόμενου συστήματος αναφοράς (δηλαδή της επιβατικής ακτίνας ΟC), με φορά από την σελίδα προς τον αναγνώστη (αρνητική),
ω₁ τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου στο στρεφόμενο σύστημα, με φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα (θετική) και
ω₂ τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου στο μη στρεφόμενο σύστημα, με φορά επίσης από τον αναγνώστη προς τη σελίδα (θετική),
τότε ισχύει:   Ω = ω₂ – ω₁   ή αλλιώς:   ω₂ = ω₁ + Ω