by 
Με αφορμή το «εκκρεμές του Newton» ας μελετήσουμε το παρακάτω φαινόμενο κρούσεων. Διευκρινίζω πως δεν αναφέρομαι σε πραγματική κατάσταση αλλά στο γνωστό μοντέλο ελαστικής κρούσης μεταξύ στερεών σωμάτων.
Τα σώματα Σ1, Σ2, Σ3 έχουν ίση μάζα. Τα Σ2 και Σ3 είναι ακίνητα και σε επαφή ενώ το Σ1 κινείται εναντίον τους. Πως θα κινούνται τα σώματα μετά τις ελαστικές κρούσεις;
1η άποψη:
Το Σ1 προσκρούει στο Σ2 (με το Σ3 να μην εμπλέκεται στην μεταξύ τους κρούση). Τα δύο σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες, συνεπώς, το Σ1 σταματά και το Σ2 αποκτά ταχύτητα. Αμέσως μετά πραγματοποιείται η κρούση μεταξύ των Σ2 και Σ3, οπότε το Σ2 σταματά και το Σ3 αρχίζει να κινείται.
Τελικά τα Σ1 και Σ2 είναι ακίνητα ενώ το Σ3 κινείται με την ταχύτητα που είχε αρχικά το Σ1.
2η άποψη:
Πριν μελετήσουμε την κρούση ας δούμε πως συμπεριφέρεται το σύστημα των σωμάτων Σ2-Σ3 όταν σπρώξουμε το Σ2 προς τα δεξιά με δύναμη F.
Οποιοδήποτε μέτρο (σταθερό ή μεταβλητό) κι αν έχει η F, δεν μπορεί να προκαλέσει απώλεια επαφής μεταξύ των σωμάτων. Μάλιστα όσο μεγαλύτερο είναι το μέτρο της F τόσο ισχυρότερες είναι οι δυνάμεις επαφή Ν και Ν΄. Συνεπώς, όταν σπρώχνουμε το Σ2 προς τα δεξιά, είναι σαν να σπρώχνουμε ένα ενιαίο σώμα Σ23 μάζας 2m.
Ερχόμαστε τώρα στην κρούση του Σ1 με το Σ2. Κατά την κρούση αυτή το Σ1 ασκεί στο Σ2 δύναμη μεταβλητού μέτρου αλλά φοράς συνεχώς προς τα δεξιά. Όπως είπαμε πριν, το σύστημα των Σ2 – Σ3 θα συμπεριφερθεί ως ενιαίο σώμα μάζας 2m. Έτσι, μετά την κρούση το Σ1 θα έχει ταχύτητα μέτρου 1/3u1 προς τα αριστερά και το σύστημα των Σ2 – Σ3 θα αποκτήσει ταχύτητα 2/3u1 προς τα δεξιά.
3η άποψη:
Μετά την κρούση, τα σώματα μπορούν να έχουν οποιεσδήποτε ταχύτητες u1΄, u2΄, u3΄, αρκεί να ικανοποιείται η ΑΔΕ, η ΑΔΟ και η συνθήκη u1΄<u2΄<u3΄.
Γιάννη ποια η αντίρρησή σου με όσα έγραψα;
Που κάνω λάθος;
Γιάννη, κάποια σχόλια για το κείμενό σου “Κάποιες σκέψεις” που έγραψες σήμερα το πρωίΔεν έχω καμία αντίρρηση στη μαθηματική περιγραφή που κάνεις.Όμως, μετά τη μαθηματική περιγραφή λες “Μου φαίνεται περίεργο αυτό και πιστεύω πως δεν στέκει”. Εμένα μου φαίνεται πως στέκει.Τροποποίησα την εικόνα σου, βάζοντας συγκεκριμένες τιμές ταχυτήτων (συγκεκριμένα έβαλα τιμές συμβατές με την άποψη2)
Δύο σώματα συνολικής μάζας 2m κινούνται (ουσιαστικά σαν ένα σώμα) εναντίον σώματος μάζας m που κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση. Τα δύο σώματα ακινητοποιούνται και το τρίτο αλλάζει φορά κίνησης. Μια χαρά δεν στέκει;
Να σου πω ένα ομορφότερο παράδειγμα. Η λευκή μπάλα του μπιλιάρδου πέφτει με μεγάλη ταχύτητα στις υπόλοιπες ακίνητες 15 οπότε αυτές αποκτούν διάφορες ορμές με συνιστώσες κυρίως προς τα δεξιά. Εντωμεταξύ η λευκή μπάλα ίσως και να ακινητοποιηθεί.
Αν δούμε το φιλμάκι ανάποδα (έστω πως δεν έχουμε τριβές) μας φαίνεται ότι δεν στέκει, αφού σκεφτόμαστε “πως είναι δυνατόν η ακίνητη λευκή μπάλα να ακινητοποιεί 15 μπάλες που έρχονται καταπάνω της, όλες σχεδόν από τη δεξιά πλευρά;”. Το ότι μας φαίνεται πως δεν στέκει το ανάποδο φιλμάκι, δεν σημαίνει πως το ορθό φιλμάκι είναι λάθος.
Γιάννη η κατάληξη σ’ αυτό που προτείνεις είναι άλλη:
Έπειτα δεν μου φαίνεται λογικό να υπάρχουν δύο λύσεις.
Αυτό που λες με το φιλμάκι δεν μου φαίνεται περίεργο.
Γιάννη, σε προηγούμενο σχόλιό σου “ανέβασες” ένα ip αρχείο όπου φαινόταν οι κρούσεις μεταξύ τριών σφαιρών
Στο δικό σου ip αρχείο, αναπαράστησα το φαινόμενο όχι με σφαίρες αλλά με κύβους. Θα περιμέναμε όπως συμπεριφέρονται οι σφαίρες να συμπεριφερθούν και οι κύβοι. Όμως οι κύβοι υποστηρίζουν την άποψη2 δες εδω
Δεν είναι καλή ιδέα να χρησιμοποιούμε το ip όταν υποψιαζόμαστε πως το μοντέλο μας έχει φτάσει στα όριά του. Εξηγώ:
Τα μοντέλα περιέχουν απειρισμούς ή μηδενισμούς φυσικών μεγεθών που στην πραγματικότητα δεν ισχύουν. πχ σε κάποιο μοντέλο έχουμε υποθέσει πως ένα σώμα έχει άπειρη πυκνότητα (πχ υλικό σημείο) και ένα άλλο έχει άπειρη σκληρότητα (πχ στερεό σώμα) και ένα άλλο μηδενική μάζα (πχ ελατήριο). Συνήθως αυτοί οι απειρισμοί ή οι μηδενισμοί δεν μας ενοχλούν, το αντίθετο μάλιστα μας διευκολύνουν. Όμως, σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις-φαινόμενα οι απειρισμοί “αντιπαλεύουν” ο ένας τον άλλον. (πχ για την περίπτωση των κρούσεων που συζητάμε, ο μηδενισμός του χρονικού διαστήματος κρούσης αντιπαλεύει τον μηδενισμό χρονικού διαστήματος διάδοσης κρουστικού κύματος)
Όταν συμβεί το παραπάνω, το μοντέλο παύει να είναι αυτοσυνεπές και καταρρέει. Αυτό έχει ως συνέπεια να ακολουθείς την σωστή λογική Α να καταλήγεις στο Χ συμπέρασμα ενώ αν ακολουθήσεις την επίσης σωστή λογική Β να καταλήγεις στο συμπέρασμα Ψ (<>Χ)
Το ip εσωτερικά έχει κάποιους αλγορίθμους που έστω ακολουθούν τη Α λογική οπότε το λογισμικό καταλήγει στο Χ συμπέρασμα και στο παρουσιάζει. Όπως είπαμε όμως, σε ένα καταρρέων μοντέλο μπορεί να υπάρχει και η Β λογική που οδηγεί στο Ψ συμπέρασμα. Ένα άλλο λογισμικό θα σου έδινε το Ψ συμπέρασμα αν ήταν φτιαγμένο να ακολουθεί την Β λογική.
Καλησπέρα παιδιά.
Γιάννη Μήτση έχω μπερδευτεί. Το επιχείρημα υπέρ της 3ης άποψης είναι ποιό; Για συγκεκριμένες αρχική ταχύτητα της m1, το ίδιο μοντέλο μπορεί να δώσει περισσότερες από μία λύσεις, αρκεί να ικανοποιείται η ΑΔΟ και η ΑΔΕ; Ποιο μοντέλο είναι αυτό συγκεκριμένα και ποιες οι, έστω δύο, λύσεις του;
Και αν ένα μοντέλο δώσει περισσοτερες από μία λύσεις, δεν πρέπει ή να το απορρίψουμε ή τουλάχιστον να το τροποποιήσουμε (αυτό κατάλαβα στην τελευταία σου απάντηση στον Γιάννη);
Μου κάνει εντύπωση αυτό που συνέβη με τους κύβους.
Κύβοι και σφαίρες νο 2.
Έβαλα μεταξύ τους μικρότατες αποστάσεις. Η συμπεριφορά φαίνεται.
Ταιριάζει με την άποψη 1, κάτι στο οποίο συμφώνησες από την αρχή.
Οι εξισώσεις Δ.Ο. και Δ.Ε. είναι πανομοιότυπες με την περίπτωση που υπάρχει επαφή. Στην περίπτωση επαφής το σύστημα δεν έχει μόνο μία λύση. Όμως η πραγματικότητα δεν μπορεί να έχει δύο λύσεις. Πιστεύω ότι θα συμβεί ότι συμβαίνει στην περίπτωση της ελάχιστης απόστασης.
Ναι βέβαια, αν βάλεις μακρότατη αλλά μη μηδενική απόσταση, προφανώς ισχύει η άποψη 1, καμία αντίρρηση.
Για την περίπτωση της επαφής όπου έχουμε πολλές λύσεις, το ip διαλέγει μία από αυτές. Για καλή μου τύχη άλλη διαλέγει όταν έχεις σφαίρες και άλλη όταν έχει κύβους.
Το ip γενικά το εμπιστεύομαι αλλά όχι σε περιπτώσεις που το μοντέλο καταρρέει. Τι να σου κάνει και αυτό τότε;
Στάθη, μου ζήτησες να σου παρουσιάσω πολλαπλές λύσεις συμβατές με την άποψη3.
Το Σ1 αρχικά έχει ταχύτητα 21m/s και τα άλλα δύο είναι ακίνητα.
Η άποψη3 αποδέχεται την άποψη1 (u1=0 u2=0 u3=21) καθώς και την άποψη3 (u1=-7 u2=14 u3=14)
Επιπλέον η άποψη3 αποδέχεται ως ορθές τις λύσεις u1=-4 u2=5 u3=20 καθώς και u1=-6 u2=9 u3=18
Η άποψη3 αποδέχεται άπειρες λύσεις (εγώ έψαξα και σου βρήκα ακέραιες τιμές) αρκεί να είναι συμβατές με ΑΔΟ και ΑΔΕ [Επίσης το Σ2 δεν μπορεί προσπεράσει το Σ3 (άρα u3>=u2) και το Σ1 δεν μπορεί να προσπεράσει το Σ2 (u2>=u1)]
Αν ένα μοντέλο σου δίνει πολλαπλές λύσεις πράγματι δεν είναι κατάλληλο να περιγράψει ένα φαινόμενο κλασικής μηχανικής. Ουσιαστικά η άποψη3 μας λέει πως το μοντέλο που συνήθως χρησιμοποιούμε στις κρούσεις, στο συγκεκριμένο φαινόμενο καταρρέει και επομένως είναι ακατάλληλο για την περιγραφή του συγκεκριμένου φαινομένου. Όπως έγραψε και ο Γιάννης σε προηγούμενα μηνύματα, αυτό το έχουμε δει αρκετές φορές όταν χειριζόμαστε μοντέλα.
Γιάννη, αυτό που βλέπω στους αριθμούς που έστειλες, είναι οι λύσεις ενός συστήματος δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους, οπότε λογικό το άπειρον του πλήθους των λύσεων. Αλλά δεν βλέπω φυσικό σύστημα, παρά μόνον μία λύση σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, ενώ καλούμαστε στα πλαίσια της κλασσικής φυσικής να περιγράψουμε ένα φυσικό φαινόμενο. Το όποιο μοντέλο φτιάξουμε θα πρέπει να ικανοποιεί τις βασικές αρχές της κλασσικής φυσικής: 3 νόμους του Νεύτωνα και την αρχή διατήρησης της ενέργειας.
Υπόθεση: Μοντέλο Ι
Το μοντέλο Ι έχει μία λύση, αυτή της άποψης 1. Και στην συνθήκη 1 βρίσκεται κατά την γνώμη μου το λάθος στην ανάλυσή σου.
Αν παρ’ όλα αυτά σε ένα πείραμα βρούμε ότι δεν ικανοποιείται η λύση 1, προσωπικά θα κοιτούσα ποια από τις παραπάνω συνθήκες παραβιάζεται. Μήπως δεν είναι απείρως σκληρά, μήπως υπάρχουν απώλειες ενέργειας, μήπως ασκούνται και άλλες δυνάμεις;
Αν τώρα θέλουμε να υιοθετήσουμε ένα διαφορετικό μοντέλο από το Ι, πρέπει να το ορίσουμε αυστηρά, διαφορετικά είναι λογικό να υποπέσουμε σε ασάφειες (το ίδιο ισχύει και στα παραδείγματα/παράδοξα του ετέρου Γιάννη). Για παράδειγμα αν χαλαρώσουμε την συνθήκη 3 και θεωρήσουμε τα σώματα ελαστικά, τότε καταλήγουμε στα διαγράμματα που έδωσα παραπάνω. Φαίνεται ότι και τότε οι λύσεις τείνουν προς την άποψη 1, ειδικά όσα αυξάνουμε την σκληρότητα των ελατηρίων (παρατήρησε ότι εκεί η αλληλεπίδραση 1-2 σταματά πριν την αλληλεπίδραση 2-3, ενώ ξεκινούν ταυτόχρονα).
Το να επικαλούμαστε «κρουστικά κύματα» στα σώματα για να απαντήσουμε, νομίζω ότι είναι τραβηγμένο.
Καταλήγω και πάλι με την ερώτηση (γιατί μπορεί κάτι να μην βλέπω και να κάνω λάθος που επιμένω): ποιο είναι το φυσικό μοντέλο που επιδέχεται άπειρες λύσεις;
Καλό βράδυ, τα λέμε και αύριο.
Γεια σου Στάθη
Ας έρθουμε στην απαίτηση Β του “Μοντέλο Ι” που αναφέρεις και ειδικότερα στο απόσπασμα “… και ακαριαίες (οπότε όταν ξεκινά η κρούση 2-3 δεν έχει νόημα να ρωτήσουμε αν ολοκληρώθηκε η κρούση 1-2).”
Αν καταλαβαίνω καλά, υποστηρίζεις πως οι κρούσεις 1-2 και 2-3 γίνονται ταυτόχρονα και όχι διαδοχικά. Αφού λοιπόν δεν έχουμε διαδοχικές κρούσεις πως καταλήγεις στην άποψη1; Η άποψη1 προϋποθέτει διαδοχικές κρούσεις.
Γιάννη καλησπέρα.
Όχι δεν εννοώ αυτό, μάλλον δεν το διατύπωσα σωστά. Για την άποψη 1, οι κρούσεις είναι ακαριαίες και διαδοχικές. Αλλά το ακαριαίον των κρούσεων τις καθιστά οριακά (από τα «κάτω») διαδοχικές ακόμη και αν τα σώματα 2 και 3 είναι τόσο κοντά, που τείνει να μην υπάρχει κενό μεταξύ τους. Αυτό εννοώ με την έκφραση «δεν έχει νόημα».
Παρατήρησε όμως ότι καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα και στο μοντέλο με τα ελατήρια, αν αυξήσουμε πολύ την σκληρότητά τους, αν και εκεί οι κρούσεις δεν είναι διαδοχικές, όπως φαίνεται από τα διαγράμματα των παραμορφώσεων που έδωσα χθες.
Στάθη, δες το παρακάτω σύνολο παραδοχών
1) η κρούση Σ1-Σ2 είναι ακαριαία, δηλαδή δεν έχει χρονική διάρκεια. Συμβαίνει έστω τη χρονική στιγμή t1
2) η κρούση Σ2-Σ3 είναι ακαριαία, δηλαδή δεν έχει χρονική διάρκεια. Συμβαίνει έστω τη χρονική στιγμή t2
3) το κρουστικό κύμα διαδίδεται ακαριαία.
4) Η χρονική στιγμή t2 είναι μεταγενέστερη της t1
Κάθε μία από τις παραπάνω παραδοχές στέκει από μόνη της, αλλά ως πακέτο παραδοχών είναι αντιφατικό. Είναι σαν να λέμε πως ο επόμενος πραγματικός αριθμός του t1 είναι ο t2.
Γιάννη δυστυχως δεν καταλαβαίνω το επιχείρημά σου.
Ένας τρόπος: Η κρούση 1-2 είναι ακαριαία σε μία χρονική στιγμή t, και η επίσης ακαριαία κρούση 2-3 συμβαίνει σε μια επόμενη χρονική στιγμή με απειροστή διαφορά μεταξύ τους. Γιατί είναι σαν να λέμε “πως ο επόμενος πραγματικός αριθμός του t1 είναι ο t2”;
Διαφορετικά: Οι χρονικά πεπερασμένες κρούσεις ξεκινούν μαζί την χρονική στιγμή t αλλά η δεύτερη κρατά περισσότερο από την πρώτη, όλα τα σώματα έχουν τις ίδιες ελαστικές ιδιότητες (σκληρότητες ελατηρίων) και για μεγάλες τιμές σκληρότητας προκύπτει με πολύ καλή προσέγγιση η άποψη 1.
Ρωτώ από την αρχή: πώς εφαρμόζεται ο 2ος νόμος στα σώματα 2 και 3 αν ασκούνται δυνάμεις επαφής μεταξύ τους;
Επειδή όμως βλέπω ότι κάνουμε κύκλους, πρότεινε εσύ το μοντέλο που οδηγεί στην άποψη 3: “Μετά την κρούση, τα σώματα μπορούν να έχουν οποιεσδήποτε ταχύτητες u1΄, u2΄, u3΄, αρκεί να ικανοποιείται η ΑΔΕ, η ΑΔΟ και η συνθήκη u1΄<u2΄<u3΄”.
Τι ξεχωρίζει την κάθε δυνατή από τις άπειρες λύσεις;
Πώς είναι δυαντόν να δεχτούμε άπειρες φυσικά υλοποιήσιμες λύσεις από τις ίδιες αρχικές συνθήκες;
Αυτά είναι τα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν ακόμη και αν εγώ κάνω λάθος σε ότι προτείνω.
Στάθη
α) Λες: “Ρωτώ από την αρχή: πώς εφαρμόζεται ο 2ος νόμος στα σώματα 2 και 3 αν ασκούνται δυνάμεις επαφής μεταξύ τους;”
Εννοείς πριν την κρούση;. Το έχω απαντήσει, δεν ασκούντε μεταξύ τους δυνάμεις επαφής. Το ένα σώμα είναι ακριβώς δίπλα στο άλλο χωρίς υπάρχει κενό μεταξύ τους. Αν θες μην το ονομάζεις επαφή, δεν έχει σημασία το όνομα.
β) Λες: “πρότεινε εσύ το μοντέλο που οδηγεί στην άποψη 3”.
Και η άποψη3 στο ίδιο μοντέλο αναφέρεται.
γ) Λες: “Τι ξεχωρίζει την κάθε δυνατή από τις άπειρες λύσεις;”
Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς
δ) Λες: “Πώς είναι δυαντόν να δεχτούμε άπειρες φυσικά υλοποιήσιμες λύσεις από τις ίδιες αρχικές συνθήκες;”
Έχω ξαναγράψει πως συμφωνώ. Δεν είναι φυσικά αποδεκτό να έχεις πολλαπλές τελικές καταστάσεις με δεδομένη αρχική. Το μαθηματικό αυτό μοντέλο δεν είναι κατάλληλο για την μελέτη του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου.