Γιο – γιο (κύλινδρος) , νήμα και επαγωγή

(Αφιερωμένη στον Γιάννη Κυριακόπουλο , οι προσομοιώσεις του οποίου επιβεβαίωσαν τις θεωρητικές προβλέψεις)

Ο ομογενής αγωγός ΚΛ του σχήματος μάζας m = 0,2 kg, μήκους ℓ = 1m και αμελητέας αντίστασης , είναι οριζόντιος και αρχικά ηρεμεί. Ο ΚΛ είναι τοποθετημένος κάθετα προς τους παράλληλους αγωγούς Αx και Γy , πολύ μεγάλου μήκους και αμελητέας αντίστασης. Οι Ax και Γy, συνδέονται στα άκρα τους Α , Γ με αντιστάτη αντίστασης R = 3 Ω. Ο αγωγός μπορεί να ολισθαίνει κατά μήκος των Αx και Γy, χωρίς τριβές. Στο μέσο του αγωγού δένουμε ακλόνητα αβαρές και μη εκτατό νήμα. Το νήμα είναι πολύ μεγάλου μήκους και είναι τυλιγμένο πολλές φορές στην περιφέρεια ομογενούς κυλίνδρου (Κ). Ο κύλινδρος έχει επίσης μάζα m = 0,2 kg ,και ακτίνα r = 0,1m. Ο κύλινδρος και οι αγωγοί είναι στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, το οποίο είναι κάθετο προς τις μαγνητικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου μέτρου έντασης Β = 1Τ. Το σύστημα ΚΛ , νήματος και κυλίνδρου αρχικά συγκρατείται με το νήμα κατακόρυφο και ευθύγραμμο, χωρίς να είναι τεντωμένο. Την χρονική στιγμή t₀=0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Το νήμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου.

1. Να περιγράψετε τις κινήσεις ΚΛ και κυλίνδρου Κ.
2. Όταν ο ΚΛ αποκτήσει ταχύτητα μέτρου ίσου με το μισό της μέγιστης δυνατής, να βρεθεί το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητάς του , όπως και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας του Κ.
3. Την στιγμή t₁ που ο ΚΛ αποκτά την μέγιστη ταχύτητά του , η γωνιακή ταχύτητα του Κ έχει μέτρο ω₁ = 800/3 (rad/s), ενώ κατά την διάρκεια της κίνησής του από την t₀=0 μέχρι την στιγμή αυτή, στον αντιστάτη R , έχουν εκλυθεί προς το περιβάλλον 76,8 J με τη μορφή θερμότητας. Να υπολογίσετε το επαγωγικό φορτίο που θα κινηθεί στο κλειστό κύκλωμα κατά την χρονική διάρκεια t₀=0 ως t₁.

Από την στιγμή t₁ μέχρι κάποια στιγμή t₂, εκλύονται στον αντιστάτη 64 J με τη μορφή θερμότητας.

4. Να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών που θα εκτελέσει ο κύλινδρος σ’ αυτό το χρονικό διάστημα.
5. Να υπολογίσετε την μεταβολή της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του, στο χρονικό διάστημα από την χρονική στιγμή t₁ μέχρι κάποια χρονική στιγμή t₃ κατά την διάρκεια του οποίου θα έχει μετατοπιστεί φορτίο Δq_επ=2 C, στο κλειστό κύκλωμα.
6. Να σχεδιαστούν ποιοτικά οι γραφικές παραστάσεις: επιταχύνσεων – χρόνου, δυνάμεων – χρόνου και ταχυτήτων –χρόνου.

Δίνονται : επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s². Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που είναι κάθετος προς το επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του είναι  Ι_cm=mr²/2.Το νήμα έχει ικανό όριο θραύσης ώστε να μην κόβεται κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστήματος. Οι Αx και Γy έχουν πολύ μεγάλο μήκος.

Απάντηση: