by 
Καλησπέρα.
Όπως ξέρουμε η ταχύτητα ορίζεται ως η παράγωγος της θέσης dx/dt, όπου το x συνάρτηση του t, δηλαδή συνάρτηση 1 μεταβλητής.
Ωστόσο η πυκνότητα ρ = ρ(x,y,z), δηλαδή πρόκειται για μια συνάρτηση 3 μεταβλητών. Ο ορισμός dm/dV εδώ τι νόημα έχει; Το dV είναι το dxdydz; Κι αν ναι τι νόημα έχει μια παράγωγος ως προς 3 μεταβλητές (δεν μου φαίνεται ότι πρόκειται για μερικές παραγώγους); Είναι όντως σωστός σαν ορισμός ή είναι καταχρηστικός;
Ανάλογη απορία έχω και στον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας σ = dm/dS. Πάλι τι εννοούμε dS;
Καλημέρα Σάκη.
Από ό,τι διαβάζω, η πυκνότητα δεν ορίζεται με τη λογική της παραγώγου κάποιας συνάρτησης μάζας, αλλά μάλλον το αντίστροφο συμβαίνει.
Αλλά και από σημειώσεις του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, διαβάζω:
Στη συνέχεια αφού ορισθεί η συνάρτηση της πυκνότητας, με ολοκλήρωση υπολογίζουμε την μάζα που βρίσκεται σε ορισμένο όγκο:
Ο Διονύσης έδωσε τον Πανεπιστημιακό ορισμό. Σε επίπεδο Λύκειου όλα τα κακά ξεκινάνε από το γεγονός ότι με dA εννοούμε τρία διαφορετικά πράγματα. Τη μεταβολή ενός μεγέθους, την πολύ μικρή μεταβολή καθώς και το πολύ μικρό μέγεθος. Έτσι πχ τα dW ή dQ εκφράζουν μικρά έργα ή θερμότητες και όχι μεταβολές που δεν έχουν νόημα. Έτσι και στην πυκνότητα το dm/dV εκφράζει πολύ μικρά μεγέθη και όχι μεταβολές και χρησιμοποιείται σε υγρά και αέρια αφού σε αυτά η πυκνότητα μπορεί να ορισθεί σε κάθε σημείο του χώρου. Στα στερεά ο όγκος και επομένως και η πυκνότητα αναφέρεται σε όλο το σώμα.
Συνάδελφε Σάκη εδώ και συγκεκριμένα στην σελίδα 13 στην ενότητα 8 ο Γιάννης ο Δογραματζάκης δίνει πολύ όμορφα αυτά που ο Διονύσης εξηγεί ακαδημαϊκά στην ανάρτηση του.