Στην φυσική χωρίζουμε τις δυνάμεις, σε διατηρητικές και μη διατηρητικές ανάλογα με το αν το πεδίο στο οποίο ανήκουν είναι διατηρητικό ή όχι. Ο γνωστός ορισμός μιας διατηρητικής δύναμης είναι πως ο στροβιλισμός της πρέπει να είναι μηδενικός. Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει μια συνάρτηση δυναμικού, τέτοια ώστε το αρνητικό grad της να δίνει την ίδια την δύναμη. Αν η δύναμη εξαρτάται μόνο από τις γενικευμένες χωρικές συντεταγμένες και τον χρόνο, τότε η συνάρτηση δυναμικού μπορεί να βρεθεί ολοκληρώνοντας τον ορισμό. Αν όμως έχουμε μια δύναμη που εξαρτάται από την ταχύτητα (όπως για παράδειγμα μια αποσβεστική δύναμη), τότε υπό προϋποθέσεις, πάλι μπορεί να οριστεί δυναμικό. Το πρόβλημα όμως είναι ότι αν κάποια δύναμη δεν μπορεί να περιγράφει από δυναμικό, τότε οι συνηθισμένες εξισώσεις Euler-Lagrange, δίνουν λάθος διαφορικές. Παρακάτω εξετάζω περιπτώσεις που το δυναμικό εξαρτάται από τον χρόνο και την ταχύτητα, και επιδιώκω να διαμορφώσω μια ίσως πιο γενική μορφή των Euler-Lagrange.
Σπύρο συγχαρητήρια.
Ποιο θα ήταν το δυναμικό αυτό στην περίπτωση ομογενούς βαρυτικού πεδίου και αντίστασης -b.υ ;
Ευχαριστώ κ. Γιάννη.
Στην περίπτωση που λέτε, όπου η δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας, δεν έχει νόημα να χρησιμοποιήσουμε την σχέση εύρεσης δυναμικού. Δηλαδή παίρνουμε τις Euler-Lagrange πρώτου είδους χρησιμοποιώντας την συνάρτηση του Rayleigh.
Με άλλα λόγια ορίζουμε την δύναμη απόσβεσης ως την παράγωγο ενός δυναμικού (Rayleigh), ως προς την παράγωγο της γενικευμένης συντεταγμένης. Δηλαδή αν ορίσουμε για Rayleigh την R=(1/2).b.u^2, τότε έχουμε:
F=-dR/du, οπότε οι εξισώσεις Euler-Lagrange έχουν τον επιπλέον όρο dR/du.
Άρα πάλι το πρόβλημα ξεπερνιέται.
Σπύρο η ερώτησή μου είναι για να καταλάβω το φυσικό περιεχόμενο ενός τέτοιου δυναμικού. Για να δω τις ιδιότητές του.
Δεν ρωτώ για τη μορφή που θα πάρουν οι εξισώσεις, ούτε πως επιλύεται το πρόβλημα. Λύνεται και από F=m.α με Δ.Ε. Δεν με απασχολεί αυτό όμως.
Θέλω να δω το φυσικό περιεχόμενο μιας μαθηματικής οντότητας.
Κατάλαβα. Το φυσικό περιεχόμενο κρύβεται στον ηλεκτρομαγνητισμό. Τέτοιου είδους δυναμικό χρησιμοποιείται ώστε να βρεθεί η Lagragian ενός σωματιδίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, εκφράζοντας την δύναμη Lorentz με την βοήθεια ενός διανυσματικού και ενός βαθμωτού δυναμικού.