by 
100 Λαμπες ειναι συνδεδεμενες με 100 διακοπτες. O καθε διακοπτης ειναι ενα απλο κουμπακι που οταν το παταμε η λαμπα αναβει. Οταν το ξαναπαταμε η λαμπα σβηνει. Δεν ειναι διακοπτης on-off με δυο θεσεις. Οι 100 αυτοι διακοπτες εχουν τοποθετηθει με την σειρα πανω σε ευθεια ο ενας πισω απο τον αλλον σε ισες αποστασεις ο καθενας απο τον επομενο και ειναι αριθμημενοι απο το 1 εως το 100. Ο καθε διακοπτης εχει την λαμπα του.Αρχικα ολες οι λαμπες ειναι σβηστες. Ενας βατραχος ερχεται και πηδαει με την σειρα πανω σε ολους τους διακοπτες και αναβει ολες τις λαμπες.Ο επομενος βατραχος κανει αλματα διπλασιου μηκους και πηδαει μονο πανω σε ολους τους διακοπτες που ειναι πολλαπλασια του 2 οποτε ολες αυτες τις λαμπες τις σβηνει.Ο τριτος βατραχος κανει ακομα μεγαλυτερα αλματα και πηδαει μονο πανω σε ολες τις λαμπες που ειναι πολλαπλασια του 3 οποτε αν καποια λαμπα ηταν αναμμενη την σβηνει,ενω αν ηταν σβηστη την αναβει. Ο τεταρτος βατραχος πηδαει μονο στα πολλαπλασια του 4, ο πεμπτος μονο στα πολλαπλασια του 5 κλπ…. Ο εκατοστος βατραχος πηδαει μονο στα πολλαπλασια του 100 δηλαδη προφανως πηδαει μονο στον 100στο διακοπτη και φευγει.Ερωτηση:Οταν θα εχουν περασει απο τους διακοπτες και οι 100 βατραχοι ποιες λαμπες θα ειναι αναμμενες?
Καλησπερα Συναδελφοι .Αυτο το προβλημα μου το εδωσε ενας φιλος μου Σλοβενος Φυσικος στην Κερκυρα σε ενα συνεδριο condensed matter physics οταν ημουνα μεταπτυχιακος φοιτητης. Ειχε σχεση με καποια ακολουθια παλμων που ψαχναμε να βρουμε σε ενα πειραμα NMR. Ειναι ωραιο προβλημα,καθαρα μαθηματικο, και εχει τυχει να το πω στα παιδια στην ταξη,οταν θελω να αλλαξω λιγο το κλιμα. Οποιος θελει μπορει να το σκεφτει πινοντας καφεδακι.
καλησπέρα σε όλους
Κωνσταντίνε από πού ξεκινάει κάθε βάτραχος;
από ένα “κλικ” πριν τον διακόπτη 1;
η απόσταση π.χ. 3-6 είναι τρία “κλικ” ενώ η 1-3 είναι δύο
Καλησπερα Βαγγελη.Ο πρωτος πηδαει σε ολους τους διακοπτες. Ο δευτερος πηδαει στους διακοπτες 2,4,6,….
Ο τριτος στους 3,6,9,…. Στον διακοπτη νουμερο 1 θα πηδηξει μονο ο πρωτος βατραχος .
Ο καθε βατραχος ξεκιναει απο ενα καταλληλο σημειο πριν τους διακοπτες ωστε να πηδηξει πανω στα νουμερα που πρεπει.Οπως το λες ενα κλικ πριν τον διακοπτη 1
Ακριβως απο ενα “κλικ” πριν απο τον διακοπτη 1
Καλησπέρα παιδιά.
Κάθε αριθμός έχει ένα πλήθος διαιρετών.
Π.χ. το 3 έχει διαιρέτες μόνο το 1 και το 3.
Το πλήθος των διαιρετών του είναι ζυγό. Θα πατηθεί δύο φορές και θα είναι τελικά σβησμένη η λάμπα του.
Θα συμβεί το ίδιο με όλους τους πρώτους αριθμούς.
Από την άλλη διαιρέτες του 100 είναι:
100 50 25 20 10 5 4 2 1, δηλαδή 9. Θα είναι αναμμένος.
Αυτή είναι η πρώτη ιδέα που σκέφτομαι. Όμως είναι μεγάλη η λύση και δεν μου αρέσει. Θα το σκεφτώ.
Η λάμπα 1 θα μείνει αναμμένη διότι διαιρέτης είναι μόνο το 1.
Η λάμπα 2 σβηστή (δύο διαιρέτες).
Η 3 το ίδιο.
Η 4 αναμμένη (1,2,4 τρεις).
Η 5 σβηστή (1,5 δύο )
Η 6 σβηστή (1.2,3,6 τέσσερις)
Η 7 αναμμένη (1,7 δύο)
κ.λ.π.
Μόνο οι τετράγωνοι άχουν μονό πλήθος διαιρέτες
1 4 9 16 25 … 81.
9 λάμπες αναμένες
Ευχαριστω για τα σχολια.To λυσατε !..Αυτο που μου αρεσει πολυ εκτος απο την τελικη λυση του προβληματος, ειναι οι σκεψεις για την αναγωγη του σε ενα ισοδυναμο καθαρα μαθηματικο προβλημα .Το προβλημα αυτο οπως αρχικα διατυπωθηκε ειναι ισοδυναμο με το: “ποιοι αριθμοι απο το 1 εως το 100 εχουν περιττο πληθος διαιρετων?”
Βεβαια η τελικη λυση ειναι αυτο που ειπε ο Δημητρης Γκενές διοτι αν εδινα 1000 λαμπες δεν θα μπορουσαμε να μετραμε τους διαιρετες καθε αριθμου απο το 1 εως το 1000
και η 100
κάθε αριθμός διαιρείται με τη μονάδα και τον εαυτόν του, τουλάχιστον,
αν διαιρείται και με άλλον αριθμό θα διαιρείται και με το πηλίκον αυτής της διαίρεσης
άρα συνολικά θα διαιρείται με ζυγό πλήθος διαιρετών
εκτός και αν είναι τέλειο τετράγωνο
οπότε διαιρείται με τη μονάδα και τον εαυτόν του, ναι,
αλλά και ο διαιρέτης, η ρίζα του, δίνει πηλίκο τον εαυτόν του
άρα συνολικά διαιρείται με μονό πλήθος, 3, αριθμών
ανάβω-σβήνω-ανάβω
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 τα τέλεια τετράγωνα
άρα θα είναι αναμμένες αυτές οι 9 λάμπες
Αναγκαία και Ικανή συνθήκη στην θεωρία αριθμών: Κάθε αριθμός με περιττό πλήθος διαιρέτες είναι τετράγωνος και αντίστροφα.
Έστω ότι αριθμός ν έχει 2κ+1 πλήθος διαιρέτες τους α(1) , α(2) …α(2κ), α(2κ+1) τότε τα γινόμενα : α(1)*α(2κ+1) = α(2)*α(2κ)= … a(k+1)*a(k+1)= ν
Αλλά ο μέσος α(κ+1) διαιρέτης είναι ακέραιος και το τετράγωνό του ισούται με τον ν δηλαδή ο ν είναι τετράγωνος.
Αντίθετα αν έχει ο ν άρτιο πλήθος διαιρέτες τότε μεταξύ των δυο μέσων από τους διαιρέτες α(κ) και α(κ+1) που έχουν γινόμενο α(κ)*α(κ+1)=ν δεν υπάρχει ακέραιος διαιρέτης άρα ο ν δεν είναι τετράγωνος
Ναι έχεις δίκιο δεν πρόσεξα καλά την εκφώνηση …και η 100
Είναι δέκα οι αναμένες
Σωστα. Αυτες και η νουμερο 1
Σωστα.