by Καλημέρα φίλοι
Καθώς υπολόγιζα διάφορες ροπές αδράνειας (ράβδου, σφαίρας,…) με ολοκληρώματα, στο σφαιρικό φλοιό αρχικά έκανα λάθος. Συμβουλεύτηκα το υλικό και έπεσα πάνω στις καταπληκτικές εργασίες των Μάργαρη Διονύση, Μπατσαούρα Γιάννη, Κυριακόπουλου Γιάννη, Φιορεντίνου Γιάννη, Παπάζογλου Αποστόλη, Γκενέ Δημήτρη, Κορφιάτη Βαγγέλη. (Η σειρά είναι απολύτως τυχαία και συγγνώμη αν ξέχασα κάποιον)
Ερώτημα:
στην ανάρτηση:
Ροπή αδράνειας κωνικού κελύφους.
Γιάννης Κυριακόπουλος 24/03/2018
Ποια να είναι η ροπή αδράνειας ενός κωνικού κελύφους, μάζας m ως προς τον άξονα συμμετρίας του;
ερώτημα για ροπή αδράνειας σφαιρικού φλοιού
Γεια σου Βασίλη.
Στην περίπτωση του κωνικού φλοιού όλα τα δακτυλίδια έχουν ίδια κλίση ως προς το επίπεδο της βασης. Έτσι η προβολή είναι ένας δίσκος ομογενής.
Στην περίπτωση του σφαιρικού φλοιού η κλίση αυξάνεται όσο πηγαίνουμε προς την περιφέρεια και επομένως η “προβολή” δεν είναι ομογενής δίσκος. Έχει αυξανόμενη επιφανειακή πυκνότητα όσο πηγαίνουμε προς την περιφέρεια.
Το κόλπο δεν δουλεύει με σφαιρικό φλοιό.
Δες προφίλ την περίπτωση:
Το πράσινο δαχτυλίδι έχει πιο απότομα τοιχώματα. Ο δίσκος που θα προκύψει θα έχει μεγαλύτερο πάχος εκεί.
Αν ειχαμε συμπαγη κωνο μπορει αυτο το τεχνασμα να φανει χρησιμο?
Καλησπέρα Βασίλη
Έγραψα κάποια πράγματα στον σύνδεσμο εδώ.
Λίγο βιαστικά όμως . . . 🙂
Ελπίζω να’ναι χρήσιμα.
Φιλικά,
Θ.Π.
Δύσκολα χωρίς ολοκλήρωμα.
Καλύτερα να γίνει η συνηθισμένη πορεία.
Υπέροχο Θρασύβουλε!!
Ευχαριστώ Γιάννη
Τώρα θα πρέπει να ξενυχτίσω
για να βγάλω θέματα για διαγώνισμα αύριο . . . 🙁
Καλά που υπάρχει και το ylikonet ! 🙂 🙂
Καλή σου νύχτα
Γεια σου Βασίλη.
Αφού βρήκες τις ροπές και άλλων σχημάτων-σωμάτων “με ολοκληρώματα” όπως λες γιατί δεν μας κάνει η απόδειξη για τον σφαιρικό φλοιό από την wikipedia
εδώ
Καλησπέρα φίλοι
Γιάννη σε ευχαριστώ για την απάντηση. Χρωστάω να πω κάτι
ακόμα (αύριο)
Κωνσταντίνε σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Θρασύβουλε εξαιρετική απόδειξη. Αυτά που πήρα από εσένα
(εικόνα) τα είχα κάνει κι εγώ. Μετά συνέχισα αλλιώς.
Άρη σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Ήθελα να κάνω μεν τις
αποδείξεις με ολοκληρώματα, αλλά να φαίνεται ότι χτίζονται πάνω σε πιο
“φυσικές”, χειροπιαστές δομήσεις και όχι τόσο αφημημένα μαθηματικά
όπως το διπλό ολοκλήρωμα, που αναφέραμε κι οι δυο, ώστε να είναι πιο εύπεπτα σε
ένα πρωτοετή φοιτητή.
Καλημέρα σε όλους.
Λόγω χθεσινής κόπωσης, να συνεχίσω σήμερα αυτό που υποσχέθηκα στο Γιάννη.
Από ότι φαίνεται από τις παλιές αναρτήσεις στη ροπή αδράνειας των φίλων και από την απάντηση του Γιάννη στο ερώτημά μου, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε για υπολογισμό ροπής αδράνειας την παραγωγή – δημιουργία στερεού από επίπεδο σχήμα στις εξής περιπτώσεις:
Όταν το σχήμα παραμένει σταθερό σε μέγεθος (μηδενική μεταβολή στην κλίση),όπως όταν παράγουμε κύλινδρο από κύκλο.
Όταν το σχήμα μικραίνει ή μεγαλώνει σε μέγεθος με σταθερή κλίση, όπως στην περίπτωση του κώνου που υπολόγισε ο Γιάννης.
Φαντάζομαι ότι θα συμβαίνουν και με πυραμίδες αυτά.
Ομολογώ ότι δεν τα είχα έτσι στο κεφάλι μου και χάρη στο υλικό (ξανά) ωφελήθηκα.
Τώρα ο προβληματισμός του Κωνσταντίνου είναι στο κεφάλι μου:
Αν ειχαμε συμπαγη κωνο μπορει αυτο το τεχνασμα να φανει χρησιμο?
Σε κάποια άλλη δεδομένη στιγμή θα το ξαναδώ
Να είμαστε όλοι καλά και σας ευχαριστώ και πάλι!!!
Γεια σου Βασιλειε και σε ολη την παρεα.Αυτο το τεχνασμα μπορει να εφαρμοστει και στην περιπτωση του σφαιρικου φλοιου αν υπολογισουμε την επιφανειακη πυκνοτητα μαζας σ(r) πανω στο επιπεδο που προkυπτει απο την προβολη ολης της μαζας πανω στο επιπεδο. Oπως ειπε και ο Γιαννης αυτη δεν ειναι σταθερη.Τοτε η ροπη αδρανειας ειναι ολοκληρωμα της ποσοτητας σ(r)2πrr^2dr απο μηδεν εως R.Βρηκα την συναρτηση σ(r) ,κατι που δεν ειναι τελειως απλο,και εκανα αλλαγη μεταβλητης βαζοντας γωνια θ που δουλευει απο 0 εως π/2. Προκυπτει το ολοκληρωμα(sinθ)^3dθ. απο 0 εως π/2 που κανει 2/3 και τελικο αποτελεσμα βγαινει Ι=(2/3)mR^2.Εκανα τον υπολογισμο και θα το ανεβασω αργοτερα.Aυτη η μεθοδος μαλλον ειναι πιο απλη απο τις μεθοδους που υπαρχουν σε ολα τα βιβλια και σιγουρα δεν θα την βρουμε πουθενα αλλου γραμμενη.. Οταν μιλαμε μεταξυ μας προκυπτουν ιδεες. Ποτε νωριτερα δεν ειχα σκεφτει να το κανω ετσι.Στην περιπτωση συμπαγους κωνου πρεπει να ειναι πιο ευκολο διοτι η συναρτηση σ(r) προφανως θα προκυπτει γραμμικη.
Toν υπολογισμο ενος ολοκληρωματος δεν τον αποφευγει κανεις με τιποτα ακομα και στην περιπτωση της επιφανειας κωνου Εμεις απλως εχουμε ετοιμο το αποτελεσμα ενος δισκου η κυλινδρου το οποιο στην πραγματικοτητα παλι ολοκληρωμα θελει.Το ενδιαφερον στην περιπτωση της κωνικης επιφανειας ειναι οτι λυνεται με γνωσεις σχολικου βιβλιου Γ λυκειου οποτε θεωρητικα η ασκηση ειναι εντος υλης,ομως ειναι υπερβολικα δυσκολη.Αν ομως δινοταν υποδειξη να γινει προβολη της μαζας της κωνικης επιφανειας στο επιπεδο.τοτε πολλα παιδια που ξερουν μαθηματικα,θα μπορουσαν να την λυσουν.Εγω παντως θα την πω στην θετικη κατευθυνση.
Καλησπέρα.Υπολογισμος της ροπης αδρανειας σφαιρικου φλοιου μαζας m και ακτινας R,ως προς αξονα που περναει απο το κεντρο,με την μεθοδο της προβολης ολης της μαζας, σε επιπεδο που περναει απο το κεντρο και ειναι καθετο στον εν λογω αξονα.Προκυπτει δισκος ακτινας R με μεταβλητη επιφανεακη πυκνοτητα η οποια εξαρταται μονο απο τη αποσταση απο το κεντρο.Τα απειροστα στοιχεια dr,dθ εχουν γινει μεγαλα στο σχημα για να φαινονται.
Καλημέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και τη συνεισφορά.
Καθώς διαβάζω την απόδειξή σου νομίζω ότι μοιάζει στη βάση της με τη δική μου, που έχω βάλει σε φωτογραφία στο προηγούμενο σχόλιό μου στην ανάρτηση.
Αντικαθιστούμε με βάση τη γωνία (ο ένας καταλήγει σε cos ο άλλος σε sin), εσύ έχεις πάρει επί 2, εγώ έχω διπλά άκρα ολοκλήρωσης.
Πάντως η μέθοδος της προβολής που σκέφτηκες ως εξέλιξη της αρχικής ιδέας του Γιάννη είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Θα δω αν μπορώ να τη δοκιμάσω κι αλλού.
Όπως πολύ σωστά είπες:
“Aυτη η μεθοδος μαλλον ειναι πιο απλη απο τις μεθοδους που υπαρχουν σε ολα τα βιβλια και σιγουρα δεν θα την βρουμε πουθενα αλλου γραμμενη. Οταν μιλαμε μεταξυ μας προκυπτουν ιδεες.”
Αυτή είναι και η αξία του υλικού
Να είσαι καλά!!!
Καλημέρα συνάδελφοι.
Μια απόδειξη, που είχα κάνει παλιότερα, σε αρχείο pdf, από εδώ.