by 
Ένας άνθρωπος βρίσκεται πάνω σε τραπέζι που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα διερχόμενο από το κέντρο του τραπεζιού. Ο άνθρωπος έχει τα χέρια τεντωμένα σε έκταση και ενώ το σύστημα άνθρωπος – τραπέζι περιστρέφεται χωρίς τριβές με γωνιακή ταχύτητα ω0 ο άνθρωπος φέρνει τα χέρια του στο στήθος. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;
α) H ροπή αδράνειας του συστήματος αυξάνεται.
β) Η στροφορμή του συστήματος ελαττώνεται.
γ) Η γωνιακή του ταχύτητα αυξάνεται.
Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ)
και να αιτιολογήσετε τους χαρακτηρισμούς. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
επανέρχομαι
σωστό το γ,
και στην τελευταία περίπτωση που γράφει ο Διονύσης,
διότι, σε όλες τις δυνατές περιπτώσεις, το άθροισμα των τετραγώνων της απόστασης των ΚΜ των χεριών πριν είναι μεγαλύτερο του αντίστοιχου μετά,
κηρύσσω αθώα την άσκηση…
Σωστός ο Βαγγέλης!!!
Μία απόδειξη από μένα.
Σημείωση: Χρησιμοποίησα βαράκια για να έχω σημειακή μάζα, αλλά και χέρι να θεωρήσουμε με γραμμική πυκνότητα μάζας το ίδιο θα βγει, αρκεί κάθε φορά να παίρνουμε δύο συμμετρικές στοιχειώδες μάζες dm.
Καλημέρα σε όλους,
Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής είναι:
Ι = Ιτραπ + Ιανθρ
Η Ιτραπ δεν αλλάζει.
Η Ιανθρ είναι (Steiner): Ιανθρ = Ιcm + Μανθρ d²
όπου d η απόσταση του κέντρου μάζας του από τον άξονα περιστροφής.
Αν ανοίξει τα χέρια του, Ι΄cm > Ιcm, οπότε …
Καλημέρα Βαγγέλη, Βασίλη και Διονύση. Αν κατάλαβα καλά λοιπόν, θεωρούμε τον άνθρωπο αποτελούμενο από κορμό και μια ομογενή ράβδο (τα χέρια του) μήκους d, όπου d η απόσταση των άκρων των χεριών και το κέντρο μάζας της στον κορμό. Τότε Ιανθ = Ικορμ + Ιραβδ. Όμως Ιραβδ = Ι/12 mχερ d^2 + mχερ r^2, όπου r η απόσταση του cm της ράβδου από τον άξονα. Κλείνοντας τα χέρια έχουμε d’ < d, ενώ το r παραμένει ίδιο. Άρα σε κάθε περίπτωση η Ιανθ μειώνεται, άρα και η Ι του συστήματος. Επομένως η πρόταση γ είναι πάντα σωστή.
Σας ευχαριστώ όλους.
Τώρα που το ξαναβλέπω έχω κακοποιήσει λίγο το θεώρημα των διαμέσων αφού θέλει
(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 = 2(ΑΜ)2 + (ΒΓ)2/2
Βέβαια δεν αλλάζει και κάτι στο τελικό αποτέλεσμα!