Να αποδείξετε οτι στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, η ταχύτητα υ και η διεγείρουσα δύναμη Fd ,δεν είναι συνεχώς ομόρροπες, ή ισοδύναμα ότι οι αλγεβρικές τιμές τους δεν είναι συμφασικές, ή ισοδύναμα ότι η ισχύς της δυναμης του διεγέρτη δεν είναι συνεχώς θετική.
1.Πρωτη αποδειξη: Εστω Fd συμφασικη της ταχυτητας. Ισχυει : ΣF=Fελ +Fαπ+Fd ή ΣF-Fελ =F απ+Fd (1). Η ΣF ειναι συμφασικη με την επιταχυνση λογω του δευτερου νομου Newton ( ΣF=mα) και η Fελ επισης, λογω των εξισωσεων Fελ =-κx=(κ/ω2)α . Αρα το πρωτο μελος της (1) εχει με την επιταχυνση διαφορα φασης μηδεν ή π (γιατι?). Οι Fαπ =-bυ και Fd εχουν διαφορα φασεως π ; και μηδεν αντιστοιχα με την ταχυτητα. Αρα το αθροισμα τους αποκλειεται να ειναι συμφασικο με το πρωτο μελος της (1).(γιατι?) Αρα πρωτο και δευτερο μελος της (1) εχουν διαφορετικες φασεις. Όπερ Άτοπον.
2.Δευτερη αποδειξη: Εστω Fd ομορροπη της ταχυτητας. Απο την καμπυλη συντονισμου για μη μηδενικη αποσβεση, βλεπουμε οτι το πλατος ταλαντωσης ειναι συνεχως πεπερασμενο ανεξαρτητως του αν βρισκομαστε ή οχι, σε κατασταση συντονισμου.Αν μειωσουμε πολυ την δυναμη αποσβεσης,μπορουμε να κανουμε την ενεργεια που χανεται ανα περιοδο,οσο μικρη θελουμε.Το εργο της δυναμης του διεγερτη ομως ανα περιοδο δεν γινεται να μειωθει (μαλλον αυξανεται) διοτι ο ρυθμος παραγωγης εργου του διεγερτη ειναι συνεχεια θετικος και θα αυξηθει.Γιατι; Διοτι οπως βλεπουμε απο τις καμπυλες συντονισμου που υπαρχουν και στο σχολικο βιβλιο,το πλατος ταλαντωσης θα μεγαλωσει ενω η περιοδος θα παραμεινει η ιδια αφου εξαρταται μονο απο την διεγειρουσα δυναμη. Κατα συνεπεια η ταχυτητα κατα μετρο θα μεγαλωσει για να μπορει το σωμα να καλυπτει μεγαλυτερες αποστασεις στους ιδιους χρονους.Αρα αναγκαστικα θα αυξηθει και η ισχυς της δυναμης του διεγερτη.Αρα σε καθε περιοδο το συστημα θα κερδιζει συνεχως ενεργεια.Αρα το πλατος συνεχως θα αυξανεται. Αρα το πλατος δεν γινεται να ειναι πεπερασμενο. Όπερ Άτοπον.
3.Tριτη αποδειξη: Εστω οτι ο ταλαντωτης ταλαντωνεται με συχνοτητα ωd μικροτερη της ιδιοσυχνοτητας του ω0. Ισχυει ΣF=Fελ+F απ+Fd αρα οταν θα βρισκεται στη θεση x=A θα ειναι Fαπ =0 και ΣF=-mαmax= -mAωd2 και Fελ= -mAω02.Επομενως Fd =mA(ω02-ωd2)>0 .Ενα απειροστο χρονικο διαστημα αργοτερα η ταχυτητα θα εχει γινει αρνητικη ενω λογω της συνεχειας της συναρτησης Fd(t), η Fd θα εξακολουθει να ειναι θετικη. Αρα Pd =Fd υ<0
H αναρτηση αφιερωνεται στο Γιάννη Κυριακόπουλο με τον οποιον ειχα κανει στο παρελθον καποιες συζητησεις για το συγκεκριμενο θεμα και τον ευχαριστω και απο εδω.
Τελευταιως ακουω για τα τεραστια λαθη του σχολικου βιβλιου το οποιο μεταξυ αλλων γραφει οτι
“Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, στο σύστημα προσφέρεται συνεχώς ενέργεια με συχνότητα f μέσω της διεγείρουσας δύναμης.”
Αυτη η προταση ειναι προφανες οτι αναφερεται στο οτι το εργο της δυναμης του διεγερτη ειναι θετικο σε βαθος χρονου,(in the long run) ή αλλοιως κατα μεσο ορο.Το νοημα της και μαθηματικα να το δει κανεις,ειναι τελειως διαφορετικο απο το νοημα της προτασης ” Η ισχυς του διεγερτη P(t) ειναι θετικη συναρτηση.” Το μονο που χρειαζεται να πει κανεις σε καποιο μαθητη για να αντιμετωπισει αυτην την εστω ασαφεια του βιβλιου ειναι αυτο που εγραψα τωρα. Αν ομως καποιος θελει να εξηγησει πιο αυστηρα για ποιο λογο συμβαινει αυτο,πρεπει να το κανει θεωρητικα και αντιμετωπιζοντας το προβλημα στην γενικοτητα του.Ετσι σκεφτηκα αυτες τις τρεις αποδειξεις,τελειως διαφορετικες μεταξυ τους,δεν θα τις ελεγα ευκολες,μαλλον δυσκολες ειναι,αλλα εντος υλης και κατανοητες απο εναν εξυπνο μαθητη. Απαιτουν καποια σκεψη απο τον αναγνωστη σε καποια σημεια,ειδικα η πρωτη και η δευτερη. Η πρωτη βασιζεται στην προταση οτι οταν δυο διανυσματα που ταλαντωνονται στον ιδιο αξονα και με την ιδια συχνοτητα ειναι συνεχως ομορροπα (αντιροπα) τοτε οι αλγεβρικες τιμες τους ειναι συμφασικες (εχουν διαφορα φασης π).Η ιδεα για αυτην την αποδειξη μου ηρθε διαβαζοντας μια αναρτηση του Γιάννη Κυριακοπουλου με τιτλο Επί πόσον χρόνο ο διεγέρτης προσφέρει ενέργεια; Ειμαι ανα πασα στιγμη διαθεσιμος να δωσω διευκρινησεις και να απαντησω σε οποιαδηποτε απορια σε οποιον μαθητη θελει να ρωτησει κατι.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Ευχαριστώ.
Θα την διαβάσω.
Όμορφες είναι.
Στην 1η απόδειξη η σχέση (1) καλύπτει και την περίπτωση του συντονισμού, όταν τα δύο μέλη είναι μηδέν.
Ευχαριστώ Γιάννη.
Καλημέρα Κωνσταντίνε. Δε μιλάμε “τελευταία” για τα “τεράστια” λάθη του σχολικού. Αλλά εδώ και μια δεκαετία. Για παράδειγμα
Γκρίζες περιοχές στην αατ-φθίνουσα-εξαναγκασμένη
Όσο δεν υπάρχει οδηγία από το ΙΕΠ για το πως θα διδάξουμε τις γκρίζες ζώνες καλό είναι να ανακινούμε το θέμα και να παίρνουμε θέση.
Η πρόταση του σχολικού που αναφέρεις δεν είναι “ασάφεια”. Είναι ΛΑΘΟΣ.
Δεν προκύπτει από πουθενά ούτε είναι προφανές ότι αναφέρεται σε “βάθος χρόνου”. Ποιο είναι ακριβώς αυτό το βάθος; Μια ημιπερίοδος; Μια περίοδος; Πως θα το συμπεράνει ο μαθητής;
Η λέξη συνεχώς δεν είναι ασαφής ούτε παίρνει ιδιαίτερη επεξήγηση.
Έχουμε λοιπόν:
α) Η πειραματική διάταξη του σχολικού είναι αδύνατον να ασκήσει τη δύναμη του διεγέρτη, που χρειαζόμαστε, για προφανείς λόγους. Το σώµα άλλοτε θα τραβιέται
από το ελατήριο, άλλοτε θα πέφτει ελεύθερα και άλλοτε θα εκτελεί κατακόρυφη
βολή προς τα πάνω. Το σχοινί θα τεντώνει και θα μαζεύει. Τι συντονισμό να μελετήσουμε;
β) Η πρόταση του βιβλίου λέει “στο σύστημα”. Το άμαζο ελατήριο διαχειρίζεται ποσά ενέργειας; Μήπως θα έπρεπε να λέει “στο σώμα”;
γ) Σε κάθε θέση -Dx + Fαπ + Fδ = mα, όμως D = mω02 και α = -ω2x, οπότε
-Dx + Fαπ + Fδ = m(-ω2x)
-mω02x + Fαπ + Fδ = m(-ω2x)
Fαπ + Fδ = m(ω02-ω2)x
Επομένως:
Για ωδ ≠ ω0, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, ο διεγέρτης άλλοτε προσφέρει ενέργεια στον ταλαντωτή (F ομόρροπη της υ) και άλλοτε απορροφά ενέργεια από τον ταλαντωτή (F αντίρροπη της υ) και ο στιγμιαίος ρυθμός παροχής ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλαντωτή είναι διαφορετικός από το στιγμιαίο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσω των τριβών, εκτός της στιγμής που διέρχεται από τη θέση χ = 0, όπου Pδ = -Pαπ
Αυτό έχει ως συνέπεια η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης να μην παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Δεν ισχύει η ΑΔΕΤ όπως στις α.α.τ.
δ) Η πρόταση του βιβλίου αναφέρει “συχνότητα f”, που είναι ΛΑΘΟΣ.
Οι προσφορές ή απορροφήσεις ενέργειας γίνονται µε κυκλική συχνότητα 2ω και εποµένως µε συχνότητα 2f, διπλάσια δηλαδή από εκείνη του διεγέρτη. Συνεχή προσφορά ενέργειας από τον διεγέρτη στο ταλαντωτή έχουµε µόνο στην περίπτωση που ω=ω0 . Αλλά και εδώ η ενέργεια προσφέρεται µε συχνότητα 2f.
Ανδρέα θα διαφωνήσω με τη φράση:
Η πειραματική διάταξη του σχολικού είναι αδύνατον να ασκήσει τη δύναμη του διεγέρτη, που χρειαζόμαστε, για προφανείς λόγους. Το σώµα άλλοτε θα τραβιέται
από το ελατήριο, άλλοτε θα πέφτει ελεύθερα και άλλοτε θα εκτελεί κατακόρυφη
βολή προς τα πάνω. Το σχοινί θα τεντώνει και θα μαζεύει. Τι συντονισμό να μελετήσουμε;
Είχα διαφωνήσει και τότε και όχι μόνος μου. Αν θυμάμαι καλά και ο Δημήτρης Βλάχος.
Είχα παραθέσει προσομοίωση αλλά και βίντεο σχετικό.
Αν βρω το βίντεο θα το παραθέσω πάλι.
Βρίσκω ένα βίντεο που ταιριάζει με το πείραμα του σχολικού βιβλίου:
https://www.youtube.com/watch?v=zuLJZylmJB4&ab_channel=TonyVerheyden
https://www.youtube.com/watch?v=OTZjoO8K9rk
Καλησπέρα Γιάννη. Μια προσομοίωση ΕΔΩ.

Που υπάρχει λάθος και μαζεύει το νήμα;
Ανδρεα η δικαιολογηση που γραφεις για το οτι ο διεγερτης αλλοτε εχει θετικη και αλλοτε αρνητικη ισχυ ειναι λανθασμενη.Το οτι η ισχυς του διεγερτη σε καθε θεση εκτος της χ=0 δεν ειναι αντιθετη απο την ισχυ της δυναμης αποσβεσης δεν αποδεικνυει τιποτα. Θα μπορουσε η ισχυς του διεγερτη να ειναι συνεχως θετικη και ταυτοχρονα να ισχυει Pδ ≠ -Pαπ στις θεσεις χ≠0.Σε αλλα σημεια να ειναι Pδ< -Pαπ και σε αλλα Pδ> -Pαπ και η εναλλαγη να γινεται στο χ=0.Το συμπερασμα δηλαδη στο οποιο θελεις να καταληξεις ειναι μεν σωστο αλλα δεν προκυπτει απο πουθενα.
Η τριτη αποδειξη που εχω γραψει ειναι η σωστη διατυπωση.
Ανδρέα δεν κάνεις λάθος.
Μια ρεαλιστική προσομοίωση:
Ακόμα και σ’ αυτήν όμως αν βάλεις b=0 θα ζαρώσει το νήμα όταν το ελατήριο αποκτησει το φυσικό του μήκος.
Όταν γίνεται το πείραμα, το ελατήριο είναι πάντοτε τεντωμένο.
Το ίδιο γίνεται εδώ αν έχεις πχ. b=0,1.
Καλησπέρα Γιάννη και Κωνσταντίνε. Είδα την προσομοίωση και έχεις δίκιο. Το πείραμα μπορεί να γίνει αν υπάρχει απόσβεση. Μόνο σε περίπτωση που b = 0. το νήμα ζαρώνει! Και στο βίντεο, η ταλάντωση γίνεται μέσα σε νερό, που προβάλλει σημαντική αντίσταση.
Ανδρέα αν δεν υπάρχει απόσβεση στον συντονισμό το πλάτος θα τείνει στο άπειρο. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι π.χ. ένα μέτρο.
Τι θα γίνει όταν το πλάτος πλησιάζει το ένα μέτρο;