Διαφορά φάσης μεταξύ ταχύτητας και διεγείρουσας δύναμης

Να αποδείξετε οτι στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, η ταχύτητα  υ και η διεγείρουσα δύναμη Fd ,δεν είναι συνεχώς ομόρροπες, ή ισοδύναμα ότι οι αλγεβρικές τιμές τους δεν είναι συμφασικές, ή ισοδύναμα ότι η ισχύς της δυναμης του διεγέρτη δεν είναι συνεχώς θετική.

1.Πρωτη αποδειξη:  Εστω Fd συμφασικη της ταχυτητας. Ισχυει :        ΣF=Fελ +Fαπ+Fd  ή ΣF-Fελ =F απ+Fd (1). Η ΣF  ειναι συμφασικη με την επιταχυνση  λογω του δευτερου νομου  Newton ( ΣF=) και η Fελ επισης, λογω των εξισωσεων Fελ =-κx=(κ/ω2)α . Αρα το πρωτο μελος της (1) εχει με την επιταχυνση διαφορα φασης μηδεν ή π (γιατι?). Οι Fαπ =-bυ   και Fd εχουν διαφορα φασεως π  ; και μηδεν αντιστοιχα με την ταχυτητα. Αρα το αθροισμα τους αποκλειεται να ειναι συμφασικο με το πρωτο μελος της (1).(γιατι?)  Αρα πρωτο και δευτερο μελος της (1) εχουν διαφορετικες φασεις.     Όπερ Άτοπον.

2.Δευτερη αποδειξη: Εστω Fd ομορροπη της ταχυτητας. Απο την καμπυλη συντονισμου για μη μηδενικη αποσβεση, βλεπουμε οτι το πλατος ταλαντωσης ειναι συνεχως πεπερασμενο ανεξαρτητως του αν βρισκομαστε ή οχι, σε κατασταση συντονισμου.Αν μειωσουμε πολυ την δυναμη αποσβεσης,μπορουμε να κανουμε την ενεργεια που χανεται ανα περιοδο,οσο μικρη θελουμε.Το εργο της δυναμης του διεγερτη ομως ανα περιοδο δεν γινεται να μειωθει (μαλλον αυξανεται) διοτι ο ρυθμος παραγωγης εργου του διεγερτη ειναι συνεχεια θετικος και θα αυξηθει.Γιατι; Διοτι οπως βλεπουμε απο τις καμπυλες συντονισμου που υπαρχουν και στο σχολικο βιβλιο,το πλατος ταλαντωσης θα μεγαλωσει ενω η περιοδος θα παραμεινει η ιδια αφου εξαρταται μονο απο την διεγειρουσα δυναμη. Κατα συνεπεια η ταχυτητα κατα μετρο θα μεγαλωσει για να μπορει το σωμα να καλυπτει μεγαλυτερες  αποστασεις στους ιδιους χρονους.Αρα αναγκαστικα θα αυξηθει και η ισχυς της δυναμης του διεγερτη.Αρα σε καθε περιοδο το συστημα θα κερδιζει συνεχως ενεργεια.Αρα το πλατος συνεχως θα αυξανεται. Αρα το πλατος δεν γινεται να ειναι πεπερασμενο.   Όπερ Άτοπον.

3.Tριτη αποδειξη: Εστω οτι ο ταλαντωτης ταλαντωνεται με συχνοτητα ωd μικροτερη της ιδιοσυχνοτητας του ω0. Ισχυει ΣF=Fελ+F απ+Fd   αρα  οταν θα βρισκεται στη θεση  x=A θα ειναι Fαπ =0 και ΣF=-mαmax= -mAωd2 και Fελ= -mAω02.Επομενως Fd =mA(ω02d2)>0  .Ενα απειροστο χρονικο διαστημα αργοτερα η ταχυτητα θα εχει γινει αρνητικη ενω λογω της συνεχειας της συναρτησης Fd(t), η Fd θα εξακολουθει να ειναι θετικη. Αρα Pd =Fd υ<0

    

(Visited 683 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
13 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Ευχαριστώ.
Θα την διαβάσω.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Όμορφες είναι.
Στην 1η απόδειξη η σχέση (1) καλύπτει και την περίπτωση του συντονισμού, όταν τα δύο μέλη είναι μηδέν.

Ανδρέας Ριζόπουλος
Αρχισυντάκτης
15 ημέρες πριν

Καλημέρα Κωνσταντίνε. Δε μιλάμε “τελευταία” για τα “τεράστια” λάθη του σχολικού. Αλλά εδώ και μια δεκαετία. Για παράδειγμα

Γκρίζες περιοχές στην αατ-φθίνουσα-εξαναγκασμένη

Όσο δεν υπάρχει οδηγία από το ΙΕΠ για το πως θα διδάξουμε τις γκρίζες ζώνες καλό είναι να ανακινούμε το θέμα και να παίρνουμε θέση.
Η πρόταση του σχολικού που αναφέρεις δεν είναι “ασάφεια”. Είναι ΛΑΘΟΣ.
Δεν προκύπτει από πουθενά ούτε είναι προφανές ότι αναφέρεται σε “βάθος χρόνου”. Ποιο είναι ακριβώς αυτό το βάθος; Μια ημιπερίοδος; Μια περίοδος; Πως θα το συμπεράνει ο μαθητής;
Η λέξη συνεχώς δεν είναι ασαφής ούτε παίρνει ιδιαίτερη επεξήγηση.
Έχουμε λοιπόν:

α) Η πειραματική διάταξη του σχολικού είναι αδύνατον να ασκήσει τη δύναμη του διεγέρτη, που χρειαζόμαστε, για προφανείς λόγους. Το σώµα άλλοτε θα τραβιέται
από το ελατήριο, άλλοτε θα πέφτει ελεύθερα και άλλοτε θα εκτελεί κατακόρυφη
βολή προς τα πάνω. Το σχοινί θα τεντώνει και θα μαζεύει. Τι συντονισμό να μελετήσουμε;

β) Η πρόταση του βιβλίου λέει “στο σύστημα”. Το άμαζο ελατήριο διαχειρίζεται ποσά ενέργειας; Μήπως θα έπρεπε να λέει “στο σώμα”;

γ) Σε κάθε θέση -Dx + Fαπ + Fδ = mα, όμως D = mω02 και α = -ω2x, οπότε
-Dx + Fαπ + Fδ = m(-ω2x)
-mω02x + Fαπ + Fδ = m(-ω2x)
Fαπ + Fδ = m(ω022)x

  • Για ωδ ≠ ω0 σε κάθε θέση x ≠ 0 ισχύει Fαπ + Fδ ≠ 0 ή Fδ ≠ -Fαπ ή Fδυ ≠ -Fαπυ Û Pδ ≠ -Pαπ
  • Για ωδ ≠ ω0 στη θέση x = 0 ισχύει Fαπ + Fδ = 0 ή Fδ = -Fαπ ή Fδυ = -Fαπυ ή Pδ = -Pαπ

Επομένως:
Για ωδ ≠ ω0, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, ο διεγέρτης άλλοτε προσφέρει ενέργεια στον ταλαντωτή (F ομόρροπη της υ) και άλλοτε απορροφά ενέργεια από τον ταλαντωτή (F αντίρροπη της υ) και ο στιγμιαίος ρυθμός παροχής ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλαντωτή είναι διαφορετικός από το στιγμιαίο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσω των τριβών, εκτός της στιγμής που διέρχεται από τη θέση χ = 0, όπου Pδ = -Pαπ
Αυτό έχει ως συνέπεια η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης να μην παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Δεν ισχύει η ΑΔΕΤ όπως στις α.α.τ.

δ) Η πρόταση του βιβλίου αναφέρει “συχνότητα f”, που είναι ΛΑΘΟΣ.
Οι προσφορές ή απορροφήσεις ενέργειας γίνονται µε κυκλική συχνότητα 2ω και εποµένως µε συχνότητα 2f, διπλάσια δηλαδή από εκείνη του διεγέρτη. Συνεχή προσφορά ενέργειας από τον διεγέρτη στο ταλαντωτή έχουµε µόνο στην περίπτωση που ω=ω0 . Αλλά και εδώ η ενέργεια προσφέρεται µε συχνότητα 2f. 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ανδρέα θα διαφωνήσω με τη φράση:
Η πειραματική διάταξη του σχολικού είναι αδύνατον να ασκήσει τη δύναμη του διεγέρτη, που χρειαζόμαστε, για προφανείς λόγους. Το σώµα άλλοτε θα τραβιέται
από το ελατήριο, άλλοτε θα πέφτει ελεύθερα και άλλοτε θα εκτελεί κατακόρυφη
βολή προς τα πάνω. Το σχοινί θα τεντώνει και θα μαζεύει. Τι συντονισμό να μελετήσουμε;
Είχα διαφωνήσει και τότε και όχι μόνος μου. Αν θυμάμαι καλά και ο Δημήτρης Βλάχος.
Είχα παραθέσει προσομοίωση αλλά και βίντεο σχετικό.
Αν βρω το βίντεο θα το παραθέσω πάλι.

Ανδρέας Ριζόπουλος
Αρχισυντάκτης
15 ημέρες πριν

Καλησπέρα Γιάννη. Μια προσομοίωση ΕΔΩ.
Που υπάρχει λάθος και μαζεύει το νήμα;
comment image

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ανδρέα δεν κάνεις λάθος.
Μια ρεαλιστική προσομοίωση:
Ακόμα και σ’ αυτήν όμως αν βάλεις b=0 θα ζαρώσει το νήμα όταν το ελατήριο αποκτησει το φυσικό του μήκος.
Όταν γίνεται το πείραμα, το ελατήριο είναι πάντοτε τεντωμένο.
Το ίδιο γίνεται εδώ αν έχεις πχ. b=0,1.

Ανδρέας Ριζόπουλος
Αρχισυντάκτης
14 ημέρες πριν

Καλησπέρα Γιάννη και Κωνσταντίνε. Είδα την προσομοίωση και έχεις δίκιο. Το πείραμα μπορεί να γίνει αν υπάρχει απόσβεση. Μόνο σε περίπτωση που b = 0. το νήμα ζαρώνει! Και στο βίντεο, η ταλάντωση γίνεται μέσα σε νερό, που προβάλλει σημαντική αντίσταση.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ανδρέα αν δεν υπάρχει απόσβεση στον συντονισμό το πλάτος θα τείνει στο άπειρο. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι π.χ. ένα μέτρο.
Τι θα γίνει όταν το πλάτος πλησιάζει το ένα μέτρο;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Βρίσκω ένα βίντεο που ταιριάζει με το πείραμα του σχολικού βιβλίου:
https://www.youtube.com/watch?v=zuLJZylmJB4&ab_channel=TonyVerheyden