by 
Ερωτήματα:
- Το ηλεκτρόνιο που αφήνει στίγμα τέτοιο ώστε η γωνία να είναι θ (δες σχήμα), έχει συγκεκριμένη ορμή στον άξονα x που είναι ή px =po.sinθ ή px=po.tanθ. Μπορούμε να πούμε ότι στο όριο όπου L=0 γνωρίζω ακριβώς για αυτό το ηλεκτρόνιο και τη θέση και την ορμή του;
- Για την ορμή μετά την σχισμή δύο εκδοχές υπάρχουν:
- Διατηρείται η ορμή στον άξονα y, δηλαδή μετά τη σχισμή είναι py=po και
- Παραμένει το μέτρο της σταθερό δηλαδή είναι p=p;
Αν ισχύει το (α) δηλαδή είναι py=po, τότε δεν παραβιάζεται η αρχή απροσδιοριστίας γιατί καθώς μεταβάλλεται η γωνία θ από -90ο έως +90ο , οι τιμές της συνιστώσας px παίρνουν τιμές από -∞ έως +∞ και συνεπώς δεν υπάρχει πάνω όριο στην αβεβαιότητα Δpx . Όμως στην περίπτωση αυτή το μέτρο της τελικής ορμής είναι μεγαλύτερο από αυτό της αρχικής και συνεπώς δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.
Αν ισχύει το (β) δηλαδή είναι p=po , η ενέργεια διατηρείται. Όμως τότε η συνιστώσα της ορμής Δpx παίρνει τιμές από -po έως +po και συνεπώς η μέγιστη απροσδιοριστία στον άξονα x είναι (Δpx)mαx ≤ 2p0 , δηλαδή έχει άνω όριο. Άρα για επιλογή πλάτους σχισμής L=h/(12πpo) είναι
Δpx∙Δx ≤ 2pο∙ h/(12πpο)= h/(6π) < h/(4π)
επομένως παραβιάζεται η αρχή της απροσδιοριστίας. Τι συμβαίνει;
Συνημμένα:
Ερωτήματα στην αρχή απροσδιοριστίας. pdf.
Ερωτήματα στην αρχή απροσδιοριστίας. Word
Αναμένω Νίκο.
Μια σύνοψη των περιθλάσεων ηλεκτρονίων, ατόμων αλλά και ολόκληρων μορίων από την Αμερικανική ένωση Δασκάλων Φυσικής για διδακτικούς σκοπούς.
https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/5.0058805
Εννοείται ότι τα αποτελέσματα παραβιάζουν κάθε ημικλασική περιγραφή σαν αυτή του προβλήματος για ένα και μόνο συγκεκριμένο! ίχνος όπως ακριβώς και το φαινόμενο σήραγγος. Π.χ. η διατήρηση της ορμής στον κάθετο της δέσμης άξονα σημαίνει ότι η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο πολύ μακριά δεξιά από σημείο 0 (κορυφή της καμπάνας) της σχισμής είναι η ίδια με την πιθανότητα να βρεθεί εξίσου μακρια αριστερά. Αλλωστε τα Δx κ.λ.π. κατι που δυστυχώς δεν γραφει πουθενά το σχολικό είναι στατιστικοί μέσοι όροι. Το σύμβολο Δ για τη μεταβολή μόνο σύγχυση προκαλεί. Καλύτερα, για τους συγκεκριμένους μαθητές, να τα συμβόλιζε διαφορετικά και όχι με ένα σύμβολο που η μόνη χρήση που έχουν μάθει είναι εντελώς διαφορετική και μετά να έχει τη απαίτηση από τους μαθητές να θεωρούν αυτονόητο ότι υπακούει στους κανόνες πράξεων των πραγματικών αριθμών π.χ. ότι το Δ(mυ) για σωματίδιο θεωρείται γνωστό ότι είναι ίσο με mΔυ(άραγε για το υ2 ισχύει το ίδιο; θα ρωτήσει ένας καλός μαθητής). Το σχολικό λέει απλά για “εύρος αβεβαιότητας” πως λέμε εξηγούμε το άγνωστο δια του αγνώστου.
¨Όντως υπάρχουν περιστάσεις που παραβιάζουν την αρχή της αβεβαιότητας όπως τη γράφουν τα σχολικά ή και πανεπιστημιακά βιβλία. Συχνά δεν αναφέρονται γιατί περιλαμβάνουν δύσκολα μαθηματικά που προκύπτουν όταν κάποιος ασχολείται με τελεστές που δρουν σε διανύσματα σε ένα χώρο Hilbert.
Απλά αντιγράφω: Π.χ. Είναι το σωματίδιο σε έναν κύκλο, ή, ισοδύναμα, καταστάσεις με καθορισμένη στροφορμή στην κατεύθυνση z. Θα περιγράψω την κατάσταση για ένα σωματίδιο σε έναν κύκλο με περιοδικές οριακές συνθήκες.
Εάν εφαρμόσεις αυτές τις συνθήκες σε ένα σωματίδιο σε κύκλο, θα βρείς ότι οι ιδιοκαταστάσεις ενέργειας είναι επίσης ιδιοκαταστάσεις ορμής, απλώς με τιμές ορμής που επιτρέπουν την ικανοποίηση της περιοδικής οριακής συνθήκης (για κύκλο περιφέρειας L, οι επιτρεπόμενες τιμές ορμής είναι p=hbar 2*π*n/L, με n έναν ακέραιο. Μια ιδιοκατάσταση ενέργειας είναι επίσης μια ιδιοκατάσταση ορμής. Τώρα, αυτό σημαίνει ότι η αβεβαιότητα στην ορμή είναι ακριβώς μηδέν. Εντάξει, λές ότι η αβεβαιότητα στη συντεταγμένη πρέπει να είναι άπειρη για να ικανοποιήσει την αρχή της αβεβαιότητας, όπως συνήθως παράγεται. Αλλά αυτό δεν γίνεται. Είναι παγιδευμένο στην περιφέρεια του κύκλου και δεν μπορεί ποτέ να έχει αβεβαιότητα μεγαλύτερη από L! Με άλλα λόγια, δέλτα P επί το δέλτα x είναι μηδέν! Δεν είναι μεγαλύτερο από hbar /2!! (Η κατάσταση για τη στροφορμή είναι παρόμοια, μπορούμε να έχουμε καταστάσεις με καθορισμένη τη z-συνιστώσα της στροφορμής, αλλά ο τελεστής της συζυγούς γωνίας περιορίζεται να κυμαίνεται μεταξύ 0 και 2 π, επομένως δεν μπορεί να έχει άπειρη αβεβαιότητα).
Γιατί; Η απάντηση είναι αρκετά λεπτή. Το θέμα είναι ότι κατά την εξαγωγή της αρχής της αβεβαιότητας, χρησιμοποιούμε τον τελεστή των θέσεων και ορμών και τον εφαρμόζουμε στις καταστάσεις στον χώρο λύσης μας. Αλλά υπάρχουν προβλήματα με τον τελεστή θέσης εδώ. Αν τον εφαρμόσουμε σε μια ιδιοκατάσταση, δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε τη θέση x που ενεργεί στην κυματοσυνάρτηση ψ ως γραμμικό συνδυασμό αριθμών και των ενεργειακών ιδιοκαταστάσεων, παρόλο που οι ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις σχηματίζουν ένα πλήρες σύνολο για τις λύσεις του σωματιδίου σε έναν κύκλο. Αυτό συμβαίνει επειδή το διάνυσμα x*ψ δεν είναι περιοδικό καθώς το x πηγαίνει από το 0 στο L.
Αν ακολουθήσει κανείς προσεκτικά την εξαγωγή της απόδειξης της αρχής της αβεβαιότητας, βλέπει ότι κάνουμε μια υπόθεση ότι ο τελεστής x που ενεργεί σε μια κατάσταση παράγει μια κατάσταση που επίσης ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες και επομένως ο μετατροπέας, όταν εκφράζεται σε όρους τελεστών, κάνει το ίδιο , και βρίσκεται σε αυτόν τον χώρο. Επειδή δεν το κάνει, το επιχείρημα είναι εσφαλμένο.
ΑΛΛΑ Κάποιος μπορεί να επαναδιατυπώσει την απόδειξη με τέτοιο τρόπο ώστε να παράγει τη σωστή σχέση αβεβαιότητας Heisenberg για αυτά τα συστήματα, και αυτό το αποτέλεσμα είναι γνωστό από τη δεκαετία του ’60. Δυστυχώς, δεν έχει μπει ως παράδειγμα στα περισσότερα σχολικά/πανεπιστημικά βιβλία. Βεβαίως δεν αναφέρομαι σε μαθητές ή φοιτητές σε εισαγωγικό μάθημα κβντικής
Καλησπέρα σε όλους.
Νομίζω ότι μπορούμε να αποδείξουμε πως η αρχή ισχύει για
την περίπτωση.
Να θυμηθούμε ότι η κβαντική αβεβαιότητα ΔQ για κάθε
φυσικό μέγεθος υπολογίζεται από την σχέση συνέχεια
Καλημέρα Άρη.
από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι k’x<ky. Επομένως έχεις άνω όριο στο Δkx. Είναι Δkx<2ky.
Όμως από τη σχέση h-bar.Δkx>h-bar/(2L) , αφου δεν υπάρχει κάτω όριο στο L, δεν υπάρχει άνω όριο στο Δkx.
Δηλαδή “κρατώντας” την αρχή διατήρησης της ενέργειας “παραβιάζεται” η αρχή απροσδιοριστίας.
Πάντως έτσι που το εγραψες έτσι έχει το πρόβλημα.
Πάρα πολλά βιβλία, σχεδόν όλα το περιγράφουν το πρόβλημα στην εισαγωγή της αρχής απροσδιοριστίας. Γίνεται μια ποιοτική ανάδειξη της αρχής απροσδιοριστίας με την αρχική υπόθεση των υλικών κυμάτων, όμως όταν το προσέξεις υπάρχει αυτό το πρόβλημα. Ίσως να είναι το ποιοτικό.
Συμφωνα με την κβαντική αν πάντως μετρήσεις μια θέση x δηλ φέρεις το σώμα στην κατάσταση |x>, τότε αμέσως μετά η μέτρηση της p ή του κυματανύσματος k μπορει να δώσει ισοπίθανα οποιαδηποτε τιμή από -άπειρο έως το άπειρο. Δεν γνωρίζεις την ενέργεια γνωρίζοντας τη θέση.
Θα τα μαζέψω όλα αργότερα και θα αναρτήσω ότι υπάρχει. Υπάρχει ένα θέμα στη αυστηρή προσέγγιση του προβλήματος.
Καλημέρα συνάδελφε, προς θεού δεν αμφισβητείται η αρχη απροσδιοριστίας. Είναι μαθηματικό θεώρημα και αποδείχθηκε αυστηρά το 1927 από τον Kennard μετά την ποιοτική διατύπωση από το Heisenberg και μετά την διατύπωση της εξίσωσης του Schrödinger. Η γενική διατύπωση είναι αν οι τελεστές δύο παρατηρήσιμων μεγεθών Α και Β δεν μετατίθενται, δηλ. [Α,Β]=iC, όπου C ο αντίστοιχος τελεστής ενός άλλου παρατηρήσιμου μεγέθους, τότε είναι (ΔΑ).(ΔΒ)>=1/2|<C>|. Αν κάποιο πρόβλημα παραβιάζει την παραπάνω σχέση να ξέρεις φταίει το πρόβλημα όχι η σχέση. Απλώς το θέτουμε λάθος. Και στο συγκεκριμένο πρόβλημα που έβαλα αναζητείται τι λάθος προσέγγιση γίνεται . Δεν διεκδικούμε το Nobel!!
H απόδειξη δεν είναι παντα τόσο ευκολη. Βλ ακόμα και στην Wiki στην παράγραφο που αναφερεται σε ενα πρόβλημα σαν αυτό που έγραψα “A counterexample”
https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#cite_ref-Hall2013_26-1
Τι θα απαντούσε με τις γνώσεις τους ένας μαθητής: ¨Ολη η σωματιδιακή προσέγγιση είναι λάθος. Αν το ηλεκτρονιο πριν τη σχισμή είχε ορμή py και μετά βρέθηκε περιθλώμενο στο συγκεκριμένο ίχνος του προβλήματος τότε παραβιάστηκαν: α) η ορμή στην x άξονα (που βρήκε την ορμή κλασσικά ή κβαντικά το ηλεκτρόνο να παει αριστερότερα) β) η ενέργεια μια και Ε=p2/2m γ) η στροφορμή σε άξονα παραλληλο της αρχικής διεύθυνσης του ηλεκτρονίου. Ανόπως λέει ο γιάννης μιλάμε με κυματοσυναρτήσεις(δηλαδή εχω δ συνάρτηση στον χ άξονα πριν τι δίνει τη μορφή της κυματοσυνάρτησης μετά από ένα εμπόδιο σαν αυτό;
Καλημέρα παιδιά.
Ο Στέφανος Τραχανάς δηλώνει καθαρά πως η γωνία απόκλισης μας δίνει εκτίμηση του Δpx και όχι ακριβή υπολογισμό της. Έχει προηγουμένως παρουσιάσει το μαθηματικό της περιεχόμενο. Περιεχόμενο που ανέφεραν και ο Άρης και ο Μπάμπης.
Υποθέτω πως το παιγνίδι που κάνει ο Νίκος στηρίζεται εκεί.
Ελπίζω η λύση του παράδοξου να μπορεί να παρουσιαστεί απλά.
Χαράλαμπε δεν είπα ότι παρουσίασα έναν γενικό τρόπο απόδειξης για κάθε περίπτωση. Για την συγκεκριμένη περίπτωση που έθεσε η ανάρτηση πρότεινα μια λύση.
Βεβαίως και υπάρχουν πολλά «παράδοξα» στις περιπτώσεις κβαντομηχανικών φαινομένων. Εδώ μπορούμε να βρούμε- και μας τυραννάνε- ένα σωρό «παράδοξα» στην κλασσική φυσική.
Νίκο δεν καταλαβαίνω ένα σημείο το «αφού δεν υπάρχει κάτω όριο στο L»
Δεν υπάρχει η συνθήκη ότι πρέπει το πλάτος της σχισμής να είναι συγκρίσιμο με το μήκος κύματος του ηλεκτρονίου;
Και μια εργασία που δείχνει γενικά την δυσκολία διαχείρισης του συγκεκριμένου προβλήματος.
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.112.010403
Προστέθηκαν στην κορυφή δύο αρχεία (σε pdf και σε Word) με την διαπραγμάτευση του θέματος που τέθηκε προς συζήτηση. Τα ίδια αρχεία και από εδώ:
Ερωτήματα στην αρχή απροσδιοριστίας. pdf.
Ερωτήματα στην αρχή απροσδιοριστίας. Word