by Καλησπέρα, μια ενδιαφέρουσα πιστεύω ερώτηση με την οποία ασχολήθηκα
Δίνονται δύο όμοιες λεπτές, ομογενείς και παράλληλες ράβδοι μάζας Μ και μήκους a.
Αν η απόσταση μεταξύ των δύο είναι r να υπολογίσετε την βαρυτική δύναμη που αναπτύσσεται μεταξύ τους.
Θα την αφήσω κάποιο χρόνο πριν ανεβάσω την λύση που έχω υπόψιν μου.
Καλημέρα σε όλους!
Αυτό που με προβληματίζει είναι το εξής: Για τον υπολογισμό της δύναμης τεμαχίσαμε τις ράβδους και για κάθε ζεύγος κομματιών εφαρμόσαμε το νόμο του Coulomb. Κατόπιν προσδιορίσαμε τη συμπεριφορά της δύναμης για r << α.
Ωστόσο ο νόμος του Coulomb ισχύει με την προϋπόθεση ότι οι αποστάσεις μεταξύ των κομματιών είναι μεγάλες συγκριτικά με τις διαστάσεις των κομματιών.
Ερώτημα: Όταν r << α, ισχύει αυτή η προϋπόθεση;
Δηλαδή αν μετρούσαμε πειραματικά τη δύναμη, για όλο και πιο μικρή απόσταση, ο τύπος που προέκυψε από τον υπολογισμό μας θα συμφωνούσε με τις μετρήσεις μας;
Βέβαια για όλο και μικρότερη απόσταση r θα μπορούσαμε να επιλέξουμε όλο και λεπτότερο τεμαχισμό και να εξασφαλίσουμε ότι ο νόμος του Coulomb μεταξύ των κομματιών θα ισχύει. Κάνω λάθος;
Καλημέρα, αρχικά στην περίπτωση μας έχουμε να κάνουμε με νόμο της παγκόσμιας έλξης μιας και υπολογίζουμε δύναμη βαρύτητας. Τώρα, πιστεύω πως δεν υπάρχει πρόβλημα γιατί ακριβώς τις ράβδους μπορούμε να τις τεμαχισουμε απείρως πολύ , εξάλλου αυτή είναι η εννοια του ολοκληρώματος που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό
Οχι Ανδρεα δεν κανεις λαθος.Οσο μικρη πεπερασμενη αποσταση και να διαλεξεις η διαμεριση που κανεις στην ραβδο εξασφαλιζει οτι το στοιχειο μαζας ειναι τοσο μικρο ωστε η αποσταση ειναι πολυ μεγαλυτερη. Και κατι αλλο .Αυτο το προβλημα ως προς τα μαθηματικα του ειναι ενα πολυ απλο και συνηθισμενο προβλημα ηλεκτρισμου για δευτεροετεις φοιτητες.Να βρεθει δηλαδη η δυναμη μεταξυ δυο παραλληλων φορτισμενων ραβδων με σταθερη γραμμικη πυκνοτητα φορτιου.Ειναι το ιδιο προβλημα αφου ο νομος Coulomb εχει την ιδια μαθηματικη δομη με τον νομο της παγκοσμιας ελξης.Η πιο απλη διατυπωση της λυσης ειναι να ολοκληρωσουμε μια φορα για να βρουμε το πεδιο που δημιουργει η μια ραβδος σε τυχαια θεση της αλλης ραβδου και εν συνεχεία να ολοκληρωσουμε την dF=Edq για να βρουμε την δυναμη.Δηλαδη μια μια οι δουλειές.Αν για τον υπολογισμό της δύναμης τεμαχίσουμε τις ράβδους και για κάθε ζεύγος κομματιών εφαρμόσουμε το νόμο του Coulomb,προκυπτει διπλο ολοκληρωμα τα οποιο οχι οτι ειναι δυσκολο,αλλα η διατυπωση αυτη ειναι καπως πιο τεχνικη ,χωρις καποιο κερδος.Παντα οι ολοκληρωσεις αυτες ειναι απλουστερες ως προς μια γωνια και οχι ως προς αποστασεις.
Παρομοιο προβλημα με σχεδον ιδια μαθηματικα,ειναι να βρεθει η δυναμη μεταξυ δυο παραλληλων κομματιων δυο αγωγων που διαρεονται απο ρευμα.Αρχικα ολοκληρωνουμε για να βρουμε το πεδιο (σχεση 4.2) σχολικου και μετα ολοκληρωνουμε για να βρουμε την δυναμη.Τετοιου τυπου παραδειγματα υπαρχουν λυμενα σε ολα τα βιβλια γενικης φυσικης πρωτου και δευτερου ετους.Οχι Jackson ,Panofsky και τετοια.Στα Αλονσο,Χαλιντει,σε τετοια βιβλια.
Μιας και έγινε αναφορά στην περίπτωση που οι αγωγοί έχουν άπειρο μήκος και γραμμική πυκνότητα μάζας σ έχει ενδιαφέρον ότι η σχέση για την δύναμη ανά μονάδα μήκους μπορεί να προκύψει και με διαφορετικό τρόπο, εφαρμόζοντας τον νόμο του Γκάους για τη βαρύτητα (https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law_for_gravity):
Δείτε για παράδειγμα εδώ https://www.youtube.com/watch?v=GsicfONxc2s
Προφανώς κάνω λάθος αλλά άλλο από αυτό που νόμιζα! Γράφω νόμο του Coulomb και εννοώ νόμο της παγκόσμιας έλξης!!!
Το ιδιο ειναι ως προς αυτα που συζηταμε.Και οι δυο ειναι νομοι αντιστροφου τετραγωνου και τα μαθηματικα τους ειναι ιδια