Ανδρέας Βαλαδάκης

Αφού το |ψ|^2 μηδενίζεται στους κόμβους, αυτό σημαίνει οτι υπάρχουν σημεία με μηδενική πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου. Αυτό αντίκειται στην εκφώνηση.

Η λύση θα πρέπει να είναι της μορφής ψ= Αcos(kx-ωt)+Bsin(kx-ωt) με τα Α, Β Μιγαδικούς. Αυτό δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμο-δεν γίνεται στην φύση. Aποτελεί την βάση για να χτίσουμε ένα κυματοπακέτο. Αν σε ένα τέτοιο κυματοπακέτο έχω μια αβεβαιότητα Δp η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των ορμών θα είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη και θα υλοποιείται στην φύση.

Πολύ ωραίο θέμα

Μανώλη, σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο.

Πράγματι, αν κάποιος θελήσει να δει το θέμα βαθύτερα, εμφανίζονται όλα όσα θυμόμαστε από τα φοιτητικά μας χρόνια: ο χώρος Hilbert, οι μιγαδικοί αριθμοί, οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και όλη αυτή η κομψή – αλλά προχωρημένη – μαθηματική δομή.

Αυτό που μπορούμε να κάνουμε στο Λύκειο και προσπαθώ να αναδείξω στην παρούσα αλλά και στις υπόλοιπες αναρτήσεις μου σχετικά με τη Λυκειακή Κβαντομηχανική, είναι ότι ακόμη και αυτά τα «μεγάλα» εργαλεία στηρίζονται σε ιδέες που διδάσκονται στο Λύκειο: στην ερμηνεία του Born, στη συνθήκη κανονικοποίησης και στην αρχή της επαλληλίας.

Με αυτές τις λυκειακές γνώσεις μπορεί ένας μαθητής να καταλάβει γιατί το αρμονικό κύμα δεν περιγράφει πραγματικό σωματίδιο και πώς η κυματοσυνάρτηση ενός πραγματικού ελεύθερου σωματιδίου κατασκευάζεται με τη σύνθεση αρμονικών κυμάτων. Από εκεί και πέρα βεβαίως ανοίγεται ο συναρπαστικός κόσμος που περιγράφεις.

Γεια σας κε Ανδρεα. Καταλαβαινω το πρίσμα υπό το οποίο το θετετε. Γενικά το ελεύθερο σωματίδιο είναι πολύ δύστροπο και μαθηματικά και φυσικά και ως εκ τούτου ένα πολύ δύσκολο για μένα διδακτικό εγχείρημα σε φοιτητές και πόσο μάλλον σε μαθητες.
Προσωπικά βρίσκω πιο εύκολο να μιλήσω (σε φοιτητές, για μαθητές όχι) για το απειροβαθο Πηγάδι για να αναδείξω αυτή τη συμπεριφορά και σιγά σιγά να πάμε προς το ελεύθερο.
Τι εκτιματε ότι θα πάρουν τα παιδιά από μια τέτοια διερεύνηση;

Μανώλη, έχεις απόλυτο δίκιο: το ελεύθερο σωματίδιο είναι από τα πιο «δύστροπα» πλάσματα της Κβαντομηχανικής: απλώνεται παντού και δεν κανονικοποιείται.
Το άπειρο πηγάδι, αντίθετα, έχει σύνορα και στάσιμα κύματα.

Για τους μαθητές Λυκείου όμως, ο στόχος εδώ είναι πιο ταπεινός – πιο σχολικός:
να δουν ότι ακόμη και ένα απλό αρμονικό κύμα δεν μπορεί να περιγράψει πραγματικό σωματίδιο, γιατί δεν μπορούμε να του δώσουμε συνολική πιθανότητα 1.

Και αυτό μπορούν να το καταλάβουν με τα εργαλεία που ήδη διαθέτουν:
την ερμηνεία του Born, την κανονικοποίηση και την επαλληλία.

Τι θα πάρουν λοιπόν τα παιδιά από αυτή τη διερεύνηση;

• ότι η Κβαντομηχανική δεν είναι «μαύρη μαγεία»,
• ότι οι κυματοσυναρτήσεις υπακούουν σε πολύ συγκεκριμένους κανόνες,
• ότι ένα κύμα μπορεί να είναι «ωραίο» μαθηματικά αλλά ακατάλληλο φυσικά,
• και ότι οι πραγματικές καταστάσεις χτίζονται από απλούστερα κύματα.

Με άλλα λόγια, δεν προσπαθούμε να τους βάλουμε να παλέψουν με το ελεύθερο σωματίδιο∙ απλώς τους δείχνουμε γιατί δεν μπορεί να περιγραφεί με ένα απλό ημίτονο. Και αυτό, στο επίπεδο του Λυκείου, είναι ήδη μια πολύ όμορφη και καθαρή ιδέα.

Με αφορμή το σχόλιο του Μανώλη Χανιωτάκη (τον οποίο και από εδώ ευχαριστώ) για λόγους πληρότητας και άμεσης πρόσβασης παραθέτω σε εικόνα τις Ενότητες από το σχολικό βιβλίο στις οποίες στηρίζεται η απάντηση στην παρούσα ανάρτηση.

https://i.ibb.co/p6r6ggbz/2-xlsx-1782016503-3279.png

Eυχαριστώ κε Αντρέα.
Νομίζω οτι είναι too much το κομμάτι αυτό να είναι μεσ’ στην ύλη. Ελπίζω ότι με το νέο πρόγραμμα σπουδών θα είναι καλύτερα τα πράγματα. To PSSC σταματούσε στα υλικά κύματα : έπιανε το σωματίδιο σε κουτί και στο τέλος το υδρογόνο προσεγγίζοντάς το με τo στάσιμο κύμα που κάνει το ηλεκτρόνιο (Bohr-Sommerfeld) στο άτομο του υδρογόνου. Mε έναν ωραίο ημικλασσικό υπολογισμό έβαζε τα παιδιά να υπολογίσουν την ενέργεια της θεμελιώδους στάθμης.

Πολλή έρευνα έγινε μετέπειτα για την αρχή της αβεβαιότητας (μεταξύ των οποίων και οι Βελέντζας και Χαλκιά έκαναν φοβερή δουλειά) και έχουμε πλέον καλά εργαλεία για να την παρουσιάσουμε σε παιδιά λυκείου.
Νομίζω οτι ως εκεί τα παιδιά έχουν γνωστικά την δυνατότητα να παρακολουθήσουν και έχουμε στιβαρά διδακτικά εργαλεία για να τα προσεγγίσουμε.

Η προσπάθεια βέβαια συνεχίζεται με πολλές αξιόλογες προσεγγίσεις (καταστάσεις υπέρθεσης πχ) αλλά κατ’ εμέ είναι άλλο να μπορώ να μιλήσω για κάτι στα παιδιά και άλλο να έχει ωριμάσει η κατάσταση ώστε να περάσω τα πράγματα αυτά μεσ’ στο αναλυτικό πρόγραμμα συστηματικά.

Πολύ ωραία θέματα!

Καλησπέρα Ανδρέα.
Πολύ σπουδαία δουλειά. Ένα μεγάλο μπράβο κι ένα μεγάλο ευχαριστώ. Να είσαι καλά.

Σαςευχαριστώ πολύ, Μανώλη και Χριστόφορε, για τα τόσο θερμά λόγια!
Χαίρομαι που τα θέματα λειτούργησαν όπως τα είχα στο μυαλό μου — τελικά ο μπαμπούλας της Κβαντομηχανικής δεν είναι και τόσο τρομερός!

Βέβαια, υπάρχουν πολλοί συνάδελφοι που, αν το αποφασίσουν, μπορούν να κάνουν το «τέρας» να τρέχει να κρυφτεί! Εσείς είστε ανάμεσα σε αυτούς.

Καλησπέρα σας. Η Schrodinger κατα βάση μπορεί να λύσει πολύ συγκεκριμένα και λίγα μη σχετικιστικά συστήματα αναλυτικά (Αρμονικό Ταλαντωτή, Υδρογονοειδή, φράγμα, βήμα και πηγάδι δυναμικού). Όταν πας σε πολυηλεκτρονιακά άτομα θες προσεγγίσεις (Hartee-Fock), ενώ όταν πας σε αλληλεπιδράσεις, σκεδάσεις θες θεωρία διαταρραχών. Σε μεγαλύτερες πολλαπλότητες σωματιδίων θες αριθμητικές μεθόδους.

Η Klein Gordon που είναι η πρώτη σχετικιστική επέκτασή της Schrodinger: [ H Χαμιλτονιανή είναι Η^2 = (pc)^2+ (mc^2)^2] μπορεί να σου λύσει μποζόνια με σπιν 0 (π.χ το πιόνιο).

Η Dirac τώρα μπορεί να σου λύσει για σχετικιστικά φερμιόνια με spin 1/2 (ηλεκτρόνιο) και μπορεί να σου λύσει το Compton (μας είχαν βγει τα μάτια στο μεταπτυχιακό να υπολογίσουμε την ενεργό διατομή τoυ φαινομένου- σχέση Klein Nishina).

To φωτοηλεκτρικό επειδή δεν μιλά για σχετικιστικά σωματίδια και επειδή αγνοούμε το spin (σε πρώτη προσέγγιση) μπορεί να λυθεί με την Schrodinger αν εφαρμόσουμε χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταρραχών.
Το μέλαν σώμα τώρα κατα βάση μας δείχνει την κβάντωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Εκεί περνάμε στην λεγόμενη δεύτερη κβάντωση και θέλουμε την κβαντική θεωρία πεδίου.

Μανώλη καλημέρα.

Νομίζω ότι αυτό που μπορούν να κρατήσουν οι μαθητές Λυκείου είναι ότι η εξίσωση Schrodinger δεν περιγράφει την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-φωτονίου. Περιγράφει μόνο την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου με κλασσικό ηλεκτρικό πεδίο, διότι στην εξίσωση εμφανίζεται μόνο η δυναμική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο.

Γειά σας κε Αντρέα. Δεν ξέρω κατα πόσο είναι 100% ακριβές αυτό, διότι πχ για να λύσεις και να βρεις την ενεργό διατομή του φωτοηλεκτρικού πατάς πάνω στην Schrodinger και χρησιμοποιείς χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών μετά με κάποιες προσεγγίσεις.. Νομίζω θα ήταν πιο απλό να πει κανείς τι μπορεί να λύσει ακριβώς η Schrodinger (ταλαντωτή κλπ) και μετά να εξηγήσει τους περιορισμούς της (το πολύ 2 σώματα, μη σχετικιστική κλπ).

Καλησπέρα Ανδρέα. Πολύ καλή υπενθύμιση για εμάς.
Στο φαινόμενο Compton, η απόδειξη της μετατόπισης του μήκους κύματος γίνεται με την ειδική σχετικιστική σχέση
https://i.ibb.co/3mXTtPKW/image.jpg (1)
Αυτή είναι η σειρά των πραγμάτων.
Ουσιαστικά η απόδειξή σου, σωστή μεν, αλλά αλλάζει τη σειρά. Παίρνεις τον τύπο Compton και αποδεικνύεις την εξίσωση (1).
Είχα ασχοληθεί με το θέμα στην ανάρτηση
Ελάχιστη ενέργεια φωτονίου για σκέδαση Compton
Εκεί αναφέρω το πρόβλημα, που αφορά τους θεματοδότες αλλά και όσους κατασκευάζουν ασκήσεις. Συγκρίνουμε συνήθως με τον παράγοντα γ, αλλά δεν αφορά μαθητές.
Η ενέργεια ηρεμίας του ηλεκτρονίου είναι περίπου 500keV. Πρέπει να προσέχουμε στις ασκήσεις Κ(e) << 500keV.

Ανδρέα, σε ευχαριστώ για το σχόλιό σου.

Μου δίνει την ευκαιρία να αποσαφηνίσω τα εξής:

Η ανάρτησή μου δεν αφορά την απόδειξη του τύπου του Compton.

Θεωρώ δεδομένο τον τύπο του Compton και, με χρήση ΑΔΕ και ΑΔΟ, προσδιορίζω την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου.

Επιπλέον, προσδιορίζω πότε επιτρέπεται να χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο της κινητικής ενέργειας. Και το κάνω χωρίς οποιαδήποτε αναφορά στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας.

Καλησπέρα Ανδρέα. Πρωτότυπη και με ιδιαίτερο ενδιαφέρον η παραπάνω προσέγγιση -μελέτη για την κινητική ενέργεια του ανακρουόμενου ηλεκρονίου στην κλασική της εκδοχή.Γιά τη σχετικιστικη και στην ειδική περίπτωση όπου λ=h/mc(απορροφούμενο)φωτόνιο με εφαρμογή çompton,Α.Δ.Ε. και Α.Δ.Ο.προκύπτει και ποσοτικά η σχέση μεταξύ κινητικής ενέργειας και ορμής του σκεδαζόμενου ηλεκτρονίου.Κ=P²/2m((4-2συνφ)/(5-3συνφ)) όπου φ η γωνία σκέδασης.Σε κάθε περίπτωση η σχετικιστικη Κ είναι μικρότερη της κλασικής.Γενικέυεται και όταν λ=xh/mc.Όπου x ανήκει στο R με περιορισμούς στο πεδίο ορισμού

Ανακρουόμενου και όχι σκεδαζόμενου ηλεκτρονίου

Θύμιο σε ευχαριστώ για την παρέμβαση.

Θα ήθελα μόνο να αποσαφηνίσω ότι στην ανάρτηση δεν εξετάζω την κλασική μορφή της κινητικής ενέργειας, αλλά τη μορφή που προκύπτει όταν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Compton σε συνδυασμό με την ΑΔΕ και την ΑΔΟ. Με αυτή τη διαδικασία προκύπτει μια μη κλασική σχέση που συνδέει την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου με την ορμή του.

Επίσης στο τέλος του κειμένου με τις “Απαντήσεις” αναφέρω ότι, αν και η συγκεκριμένη σχέση αποδείχθηκε για σκέδαση 180°, αποδεικνύεται ότι έχει την ίδια μορφή για κάθε γωνία σκέδασης.

Καλησπέρα Ανδρέα.Η μή κλασική σχέση που συνδέει την κινητική ενέργεια του ανακρουόμενου ηλεκρονίου με την ορμή του σε σχέση με την κλασική πρόβλεψη είναι αυτή που ανέφερα παραπάνω.Ke(σχετικιστικη)=Ke(κλασική)((4-2συνφ)/(5-3συνφ))

Καλησπέρα Ανδρέα. Πολύ καλό θέμα. Συνέχεια από το Πόση δύναμη ασκούν τα φωτόνια;
Η δύναμη αυτή εμφανίζεται μακροσκοπικά, εξαιτίας της μεταβολής της ορμής των ΔΝ φωτονίων σε κάποιο χρόνο Δt. Δεν έχει νόημα για να ρωτήσουμε τη δύναμη από ενα φωτόνιο σε ένα ηλεκτρόνιο.
Το πλέγμα του υλικού τελικά δέχεται αυτή τη δύναμη, άρα είναι μετρήσιμη, θα προκαλεί πίεση ακτινοβολίας.

Ανδρέα σε ευχαριστώ για τις εύστοχες επισημάνσεις σου.

Πράγματι η παρούσα ανάρτηση συνεχίζει την προηγούμενη (Δάσκαλε, ασκούν δύναμη τα φωτόνια; – Υλικό Φυσικής – Χημείας), όπου υπολογίζεται η δύναμη που ασκεί η ακτινοβολία σε μακροσκοπικό σώμα.

Σωστά τονίζεις επίσης ότι η δύναμη που αναζητούμε εδώ δεν αφορά ένα μεμονωμένο φωτόνιο και ένα μεμονωμένο ηλεκτρόνιο, διότι στην κβαντομηχανική δεν έχει νόημα να μιλάμε για δύναμη από ένα φωτόνιο.

Αυτό που έχει νόημα —και αυτό χρησιμοποιούμε— είναι ότι κάθε φωτόνιο αλλάζει την ορμή ενός ηλεκτρονίου κατά τη σκέδαση, και όταν πολλά φωτόνια αλληλεπιδρούν με πολλά ηλεκτρόνια, η συνολική μεταβολή της ορμής ανά μονάδα χρόνου εμφανίζεται ως μετρήσιμη δύναμη στο υλικό.