by 
Να λύσετε την ακόλουθη άσκηση και να παρουσιάσετε τα αποτελέσματα σας με πληρότητα και σαφήνεια. Δίνεται η σταθερά g = 10 m/s2.
- Σώμα μάζας m = 1 kg αφήνεται από ύψος h = 4 m επάνω από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m. Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα.
Η Απεικονιση ενος χρονικου διαστηματος σε ενα συνολο θεσεων λεγεται κινηση. Αυτην την απεικονιση εσυ λες οτι θα την ονομαζες θεση.Aυτο ειναι λαθος.Δεν ειναι θεση ουτε διανυσμα θεσης.Θεση ή διανυσμα θεσης ειναι ενα μεμονωμενο στοιχειο του συνολου των θεσεων ή του συνολου εικονων της κινησεως οπως την οριζει ο Αrnold. Θεση δηλαδη ειναι ενα στοιχειο του R^N και οχι η απεικονιση Ι->R^N.Αλλο θεση αλλο κινηση. Eιναι τελειως απλο αυτο που γραφω.
Οπότε η θέση δεν ειναι συνάρτηση του χρόνου βάση αυτών που γράφεις. Είναι στοιχείο του R^n και όχι του C^oo
A motion in R^N is a differentiable mapping x: I->R^N, where I is an interval on the real axis.
Δηλαδη ο Αrnold δεν οριζει ως κινηση τις τιμες της συναρτησης x,αλλα ολοκληρη την συναρτηση.
Εστω η κινηση x(t)=sin(πt/6) Aυτο λεγεται κινηση οχι θεση.Ειναι μια απεικονιση x: I->R.Θεση ειναι ενα στοιχειο του συνολου εικονων αυτης της απεικονισης.Δηλαδη x=1/2,x=-1/3 κλπ
Αν με το “αυτό” εννοείς “x(t)=…” κάνεις λάθος βάση των καθιερομένων ορισμών των μαθηματικών. Η συνάρτηση x λέγεται κίνηση (από τον ορισμό στον Arnold) και είναι μέλος του συνόλου των ομαλών συναρτήσεων, οι τιμές της συνάρτησης x είναι x(t) (η συνάρτηση είναι άλλο αντικείμενο και οι τιμές αυτής επίσης αλλο) και είναι διανύσματα του R^n, δηλαδη οι τιμές της κίνησης x. Οι τιμές αυτές είναι οι θέσεις βάση αυτού που εγραψες προηγουμένα.