Η γεωμετρία της ολικής έκλειψης σελήνης 7/9

Να ευχηθώ πρωτίστως καλή χρονιά στους εν ενεργεία συναδέλφους. Επίκαιρο θέμα σήμερα η ολική έκλειψη σελήνης την Κυριακή 7/9. Το φαινόμενο ξεκινά στις 6:28 μμ με έκλειψη παρασκιάς, 7:27 ξεκινά η μερική έκλειψη, 8:30 έως 9:52 έχουμε ολική έκλειψη, 9:52 έως 10:56 μερική έκλειψη και το φαινόμενο τελειώνει 11:55. Στην ολότητα η Σελήνη θα έχει την πιό συνηθισμένη απόχρωση την κόκκινη “ματωμένο φεγγάρι” δεδομένου ότι οι ακτίνες του ήλιου καθώς διέρχονται από την ατμόσφαιρα της γης υπόκεινται αφενός σε σκέδαση Rayleigh και αφετέρου διάθλαση. Οι μπλέ ακτίνες σκεδάζονται πολύ περισσότερο από τις κόκκινες και διασκορπίζονται όπως και οι πρασινοκίτρινες, έτσι μένουν οι κόκκινοπορτοκαλί οι οποίες διαθλώμενες φτάνουν στην επιφάνεια της σελήνης δίνοντας τις εντυπωσιακές αποχρώσεις του κόκκινου και του πορτοκαλί, είναι ακριβώς το ίδιο όπως το κόκκινο ηλιοβασίλεμα. Οι εκλείψεις είναι μία καλή ευκαιρία να αντιληφτούμε τη σχετικότητα των κινήσεων. Το είχαμε δει στην ολική έκλειψη ηλίου αλλά τώρα είναι πιό εμφανές. Παρακολουθείστε το φεγγάρι στον ουρανό να ταξιδεύει από την ανατολή προς τη δύση(σχετική κίνηση). Μετά τις 9:52 μμ το φεγγάρι αρχίζει να βγαίνει από τη σκιά της γης κινούμενο προφανώς σύμφωνα με την απόλυτη κίνησή του από τη δύση προς την ανατολή.

Στην Αθήνα ο ήλιος την Κυριακή δύει 7:45 όμως η σελήνη είναι οριακά στον ορίζοντα και δεν θα φαίνεται. Οι Αθηναίοι θα απολαύσετε την ολότητα άνετα από τις 9 μμ περίπου έως 9:52 και στη συνέχεια την μερική έκλειψη κατά την έξοδο από την ολότητα μέχρι 10:56.  Φυσικά τη δευτέρα θα έχει γεμίσει το διαδίκτυο και όχι μόνο με φωτογραφίες της κόκκινης σελήνης  πάνω από την Ακρόπολη. Πρόκειται για μία αρκετά μεγάλη έκλειψη με 82 min ολότητα καθώς η σελήνη θα βρίσκεται στα 369671,4 km αρκετά κάτω από τη μέση τιμή των 384400 km.

Στο θέμα μας τώρα. Γεωμετρία. Οι εκλείψεις ηλίου και σελήνης λαμβάνουν χώρα δύο φορές το χρόνο που ευθυγραμίζονται τα τρία σώματα καθώς η τροχιά της σελήνης γύρω από τη γη δεν βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με την τροχιά της γης γύρω από τον ήλιο. Αν κατά την ευθυγράμμιση η γη βρεθεί ανάμεσα σε ήλιο και σελήνη(πανσέληνος) τότε η σελήνη ενδέχεται να περάσει μέσα από τον κώνο της σκιάς της γης εξ ολοκλήρου οπότε έχουμε ολική έκλειψη σελήνης όπως καλή ώρα την Κυριακή. Σχήμα:

Το σχήμα είναι αδύνατον να γίνει υπό κλίμακα γι’ αυτό μερικά πράγματα να σας φανούν περίεργα ή λανθασμένα. Λίγο προσοχή να θυμηθούμε τα νιάτα μας με τα γεωμετρικά σχήματα. ΑΕΣ, ΒΖΣ οι ηλιακές ακτίνες που εφάπτονται εξωτερικά στον ήλιο και στη γη.  ΑΟΖ και ΒΟΕ οι ηλιακές ακτίνες που εφάπτονται εσωτερικά σε ήλιο και γη. Λόγω μεγάλων αποστάσεων θεωρούμε τις εφαπτόμενες σε αντιδιαμετρικά σημεία ήλιου και γης ίδια για εξωτερικές και εσωτερικές. Οι εξωτερικές εφαπτόμενες ορίζουν τον κώνο της σκιάς της γης ΣΕΖ. Ανάμεσα σε εξωτερικές και εσωτερικές σχηματίζεται η παρασκιά(ΕΛΚ,ΖΗΘ). Στη μικρή σχετικά διάρκεια μιας έκλειψης θεωρούμε τη σελήνη να κινείται ευθύγραμμα από το Η που ξεκινά η έκλειψη παρασκιάς έως το Λ που τελειώνει. Απόσταση γης – σελήνης ΓM = 369671,4 km, HΓ = 150.000.000 km, EΓ = ΓΖ = ακτίνα γης = 6371 km, ΗΒ = 700.000 km = ακτίνα ήλιου.\

ΤρίγωνοΗΒΣ όμοιο με ΓΖΣ => (ΗΓ + ΓΣ)/ΓΣ = ΗΒ/ΓΖ => (150.000.000 + ΓΣ)/ΓΣ = 700.000/6371 => ΓΣ = 1.377.754 km = μήκος σκιάς της γης. Δηλαδή η σκιά της γης είναι περίπου 3,6 φορές την απόσταση γης – σελήνης. Όμως η σελήνη κινούμενη σε διαφορετικό επίπεδο γύρω από τη γη απ’ ότι η γη γύρω από τον ήλιο δεν περνάει κάθε μήνα από τη σκιά της γης. Υπάρχουν 2 μόνο σημεία που οι δύο τροχιές τέμνονται και γύρω από αυτά τα δύο σημεία κάθε 6 μήνες γίνονται 1-2 ηλιακές εκλείψεις και 0-1 σεληνιακές.

Τρίγωνο ΝΖΘ όμοιο με ΓΖΣ => ΝΖ/ΓΖ = ΝΘ/ΓΣ => ΝΖ/6371= 369671,4/1.377.754 (είναι ΝΘ=ΓΜ) => ΝΖ = 1709.43 km => ΓΝ = 6371-1709,43 => ΓΝ = 4661.57 km αλλά ΓΝ = ΜΘ  =>      ΘΚ = 2ΜΘ = 9323 km όπου ΘΚ η διάμετρος του κύκλου που η τροχιά της σελήνης “κόβει” τον κώνο της σκιάς της γης.

Ας υποθέσουμε ότι η σελήνη μπαίνει στη σκιά της γης κατά τρόπο ώστε η διάμετρός της να ταυτίζεται με την ΘΚ(σχήμα κάτω).

Η μέση ταχύτητα της σελήνης στην τροχιά της είναι υ = 2πr/T = 2πχ384400 km/27,3x24h = 3686 km/h , το διάστημα που διανύει η σελήνη μέσα στην σκιά είναι S = ΘΚ – διάμετρος σελήνης = 9323 – 2χ1737 = 5849 km , οπότε ο χρόνος που παραμένει η σελήνη μέσα στην σκιά είναι t = S/υ = 1,5868 h ή t = 95 min. Την Κυριακή η σελήνη θα μπεί ελαφρώς έκκεντρα στη σκιά της γης όπως φαίνεται στην χαρακτηριστική εικόνα της ανάρτησης και η ολική έκλειψη θα διαρκέσει 82 min.

Αν η σελήνη μπει στη σκιά της γης όπως το παραπάνω σχήμα η μερική έκλειψη διαρκεί t = διάμετρος σελήνης/υ = 2χ1737/3686 = 0,94h = 56,4 min. Είναι ενδιαφέρον να προσέξετε ότι την Κυριακή που η σελήνη μπαίνει έκκεντρα στη σκιά της γης η μερική έκλειψη διαρκεί περισσότερο(64 min) καθώς η σελήνη αρχίζει να εξέρχεται λίγο νωρίτερα.

Καλή θέαση.