Η γεωμετρία σε δύο αστρονομικές εφαρμογές

Η μέτρηση συμπαντικών αποστάσεων υπήρξε από αρχαιοτάτων χρόνων το πιό δύσκολο αστρονομικό πρόβλημα. Αρκεί να πούμε ότι το 1927 που η επιστήμη είχε ανά χείρας τη γενική θεωρία της σχετικότητας και την κβαντική φυσική οι αστρονόμοι πίστευαν ότι όλο το σύμπαν ήταν ο δικός μας γαλαξίας και τους γαλαξίες που εμφανιζόντουσαν στα τηλεσκόπια της εποχής τους ονόμαζαν νεφελώματα του γαλαξία μας. Όταν ο Hubble ανακοίνωσε ότι το νεφέλωμα της Ανδρομέδας είναι ένας άλλος γαλαξίας στα 900.000 έτη φωτός όλοι έμειναν έκπληκτοι από το πόσο μεγάλο ήταν το σύμπαν. Δηλαδή που να τους έλεγε ένας προφήτης ότι το 2024 η θαυματουργή υπέρυθρη κάμερα του James Web θα φωτογράφιζε τον γαλαξία JADES – GS – z14-0 στα 33,844 δισεκατομμύρια έτη φωτός με ερυθρή μετατόπιση z = 14,1793 που σημαίνει ότι αν έχει σαν μέλαν σώμα μέγιστο κατανομής στο υπεριώδες εμείς το λαμβάνουμε στο μέσο υπέρυθρο και βάλε, πιό αμυδρός πεθαίνεις ή αν θέλετε λαμβάνουμε τις ακτίνες Χ …υπέρυθρες, τρελά πράγματα. Για την ιστορία ο Hubble δεν γνώριζε μία παράμετρο και έκανε λάθος υπολογισμό καθώς ο γαλαξίας της Ανδρομέδας απέχει 2,5 εκατομμύρια έτη φωτός.

Η πρώτη αξιόπιστη μέτρηση απόστασης έγινε το 1838 από τον Γερμανό αστρονόμο, μαθηματικό και φυσικό Friedrich Bessel με τη μέθοδο της τριγωνομετρικής παράλλαξης. Στην αστρονομία παράλλαξη είναι η φαινομενική μετατόπιση της θέσης ενός κοντινού αστεριού σε σχέση με μακρινά ακίνητα άστρα, η οποία προκαλείται από μια αλλαγή στην οπτική γωνία του παρατηρητή λόγω μετακίνησης της γης στην τροχιά της γύρω από τον ήλιο μέσα σε 6 μήνες οπότε και βρίσκεται σε αντιδιαμετρικά σημεία. Η μέτρηση της παράλλαξης του αστέρα 61 Κύκνου έβαλε την ταφόπλακα στην ήδη υπό κατάρρευση γεωκεντρική θεωρία του Κλαύδιου Πτολεμαίου καθώς αναδείχτηκε περίτρανα η κίνηση της γης γύρω από τον ήλιο. Ας δούμε τη διαδικασία.

Καθώς η γη μετακινείται στην τροχιά της από το Ε στο Ε΄ σε 6 μήνες η προβολή του αστέρα S στον ουρανό μετακινείται από το ν στο ν΄. Έστω θ η γωνία νΕ΄ν΄ υπό την οποία ο παρατηρητής στη γη βλέπει τη διάμετρο της φαινομενικής κίνησης του αστέρα. Παράλλαξη ονομάζουμε τη μισή γωνία θ από το ίχνος του ακίνητου ήλιου μέχρι το ν ή το ν΄. Λόγω της μεγάλης απόστασης που είναι αδύνατον να αποτυπωθεί υπό κλίμακα στο σχήμα η μετακίνηση της γης απο το Ε στο Ε΄ είναι αμελητέα, έτσι η Εν ταυτίζεται με την Ε΄ν ή είναι παράλληλες. Η Ε΄ν΄ τέμνει τις δύο παράληλες οπότε η γωνία ΕSE΄ = γωνία νΕ΄ν΄ = θ ως εντός εναλλάξ. Η ευθεία ήλιος-S διχοτομεί την θ ώστε παράλαξη π = γωνία ΕS-ήλιος = θ/2.  εφ(θ/2) = απόσταση γης – ήλιου/r = 1 αστρονομική μονάδα(AU)/r όπου r η απόσταση του αστέρα από το ηλιακό μας σύστημα. Επειδή η γωνία θ/2 είναι πάρα πολύ μικρή έχουμε θ/2 = 1 AU/r rad=> π = 1 AU/r x206265΄΄ => π΄΄ = 206265 ΑU/r (1)  (π rad = 180⁰ = 180×3600΄΄ => 1 rad = 206265΄΄). Την απόσταση 206265 ΑU ονομάζουμε 1 parsec (1pc) έτσι (1) => π΄΄ = 1/r(pc) => r(pc) = 1/π΄΄. Ο Bessel μέτρησε για τον 61 Κύκνου π = 0,285 arcsec και απόσταση r = 1/0,285 => r = 3,5 pc = 3,5×3,26 = 11,41 έτη φωτός. Σημερινή μέτρηση π = 0,2859949 arcsec και r = 3,4966 pc = 11,404 έτη φωτός.

Αλλά πώς μετράμε την παράλλαξη; Είδαμε ότι ο παρατηρητής στη γη βλέπει την διάμετρο της φαινομενικής κίνησης του αστέρα σε δύο θέσεις ν και ν΄ που απέχουν χρονικά 6 μήνες. Τώρα μπαίνει στο παιχνίδι ένα τηλεσκόπιο και  η φωτογραφική μηχανή παλαιότερα ή οι ψηφιακές κάμερες CCD ή CMOS σήμερα. Παίρνουμε μέσω του τηλεσκόπιου δύο φωτογραφίες της περιοχής του υπό μελέτη αστέρα με χρονική απόσταση 6 μήνες και σημειώνουμε στο αποτύπωμα τις δύο θέσεις του αστέρα ως προς τα πολύ μακρινά αστέρια που ουσιαστικά έχουν μηδενική παράλλαξη. Μετράμε την απόσταση των δύο θέσεων σε mm και πλέον είναι θέμα του τηλεσκόπιου που χρησιμοποιούμε για να μετατρέψουμε τα mm στο φωτογραφικό φίλμ σε arcsec στον ουρανό. Ας δούμε την αρχή λειτουργίας ενός απλού διοπτρικού ή διαθλαστικού τηλεσκόπιου.

Το άνοιγμα D ανήκει στον αντικειμενικό φακό και είναι η φωτοσυλεκτική επιφάνεια. Οι ακτίνες από πολύ μακρινά αντικείμενα έρχονται ουσιαστικά παράλληλες. Έστω ότι από τη μία θέση του αστέρα οι ακτίνες είναι παράλληλες στον οπτικό άξονα. Διαθλώμενες στον αντικειμενικό φακό εστιάζονται επί του οπτικού άξονα στην κύρια εστία του φακού. Η απόσταση από την κύρια εστία μέχρι τον αντικειμενικό φακό του τηλεσκόπιου ονομάζεται εστιακή απόσταση F του τηλεσκόπιου και δίνεται από τον κατασκευαστή. Οι παράλληλες ακτίνες από τη δεύτερη θέση του αστέρα σχηματίζουν γωνία θ με τις πρώτες όπου θ είναι η γωνιώδης απόσταση των δύο θέσεων στον ουρανό. Η δεύτερη παράλληλη δέσμη εστιάζεται σε απόσταση S από την κύρια εστία. Δηλαδή το S θα ήταν το είδωλο ενός εκτεταμένου αντικειμένου μεταξύ των δύο θέσεων του αστέρα. Το είδωλο μπορούμε να το παρατηρήσουμε με έναν προσοφθάλμιο φακό, να το οδηγήσουμε σε κάμερα CCD, σε φασματοσκόπιο και άλλα όργανα.

  Είναι εφθ = S/F και επειδή η θ είναι πολύ μικρή θα είναι      θ rad = S/F (1) To πηλίκο θ/S δηλαδή γωνιώδης απόσταση στον ουρανό σε arcsec προς το μήκος ειδώλου(συνήθως σε mm) ονομάζεται κλίμακα ειδώλου Κ και είναι το κρίσιμο μέγεθος στην αστροφωτογραφία. (1) => Κ = θ rad/S => K = 206265/F arcsec/mm. 

ΟΣΟ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΕΙΝΑΙ Η ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΦΑΚΟΥ ΤΟΣΟ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΕΙΝΑΙ Η ΕΣΤΙΑΚΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ F, ΤΟΣΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ Η ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΙΔΩΛΟΥ ΚΑΙ ΤΟΣΟ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ Η ΑΝΑΛΥΣΗ, ΔΗΛΑΔΗ ΜΕ ΤΗΛΕΣΚΟΠΙΟ ΜΕΓΑΛΗΣ D ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΣΟΥΜΕ ΔΥΟ ΠΟΛΥ ΚΟΝΤΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΕΝΑ ΤΗΛΕΣΚΟΠΙΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗΣ D ΘΑ ΕΒΛΕΠΕ ΣΑΝ ΕΝΑ. Αυτό αναδεικνύει και το γεγονός ότι κρίσιμο μέγεθος σε ένα τηλεσκόπιο είναι η διάμετρος του αντικειμενικού φακού και όχι η μεγέθυνση.

Επανερχόμενοι στο αρχικό μας πρόβλημα προφανώς μετράμε mm στην φωτογραφική πλάκα και με την κλίμακα ειδώλου ανάγουμε σε arcsec στον ουρανό μετρώντας τη θ οπότε παράλλαξη π = θ/2. Εξαιρετική και απλή τεχνική με μόνη την παρατήρηση ότι πλέον δεν χρησιμοποιούμε φωτογραφική πλάκα αλλά τα pixel μιας ψηφιακής κάμερας με σαφώς μεγαλύτερη ακρίβεια και ταχύτητα.

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΟΠΤΙΚΑ ΔΥΑΔΙΚΩΝ ΑΣΤΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Υπάρχουν αστέρια που αν φαίνονται με το μάτι φαίνονται σαν ένα ενώ με τα κιάλια ή το τηλεσκόπιο αναλύονται σε δύο. Υπάρχουν δύο κατηγορίες. Τα οπτικά διπλά(doubles) που στην πράξη είναι πολύ μακριά μεταξύ τους απλά προβάλλονται κοντά στον ουρανό και τα οπτικά δυαδικά(binary) που είναι πραγματικά κοντά βαρυτικά συνδεδεμένα κινούμενα γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους σε ελλειπτικές τροχιές. Εδώ θα μιλήσουμε για τα οπτικά δυαδικά αστρικά συστήματα και συγκεκριμένα για το πιό καλά μελετημένο δυαδικό σύστημα, τον 61 Κύκνου. Ο 61 Κύκνου Α έχει μάζα Μ_Α = 0,6771Μ_ήλιου και ο Β Μ_Β = 0,6289Μ_ήλιου. Το σύστημα απέχει απο τη γη r = 11,404 έτη φωτός = 3,4865 pc.

γωνία 1 arcsec αντιστοιχει στον ουρανό σε: χ = r(pc) AU = 3,4865 AU

Στο ένα σχήμα είναι η τροχιά του Β ως προς το Α όπως φαίνεται από τη γη(Apparent trajectory) και στο άλλο με το οποίο θα ασχοληθούμε η πραγματική τροχιά του Β ως προς το Α σαν να την κοιτάμε κάθετα στο επίπεδό της. Η αρχή των αξόνων είναι το αστέρι Α και η κλίμακα σε mm που με τηλεσκόπιο,φωτογραφία, κλίμακα ειδώλου έχουν μετατραπεί σε arcsec. Στην τροχιά έχουν σημειωθεί η θέσεις του αστέρα Β ανά δεκαετία. Προσέξτε ότι κοντά στο περίαστρο οι κουκίδες είναι πιό αραιές δηλαδή η ταχύτητα πιό μεγάλη όπως είναι φυσικό. Αυτή η δουλειά παλιά γινόταν με χαρτί και μολύβι τώρα αναλαμβάνει ο υπολογιστής σε χρόνο dt. Από την τροχιά προκύπτουν τα πάντα. Τέρμα δεξιά του Α έως τέρμα αριστερά 49 arcsec = 49×3,4865 = 170,8385 AU = 2α => μεγάλος ημιάξονας α = 85,42 ΑU. Για το b μέτρησα με χάρακα 22,4 arcsec = 22,4×3,4865 => b = 78 AU. γ = (α² – b²)^1/2 = 34,822 ΑU , e = γ/α = 0,4. Οι κουκίδες γύρω γύρω είναι 68 άρα 68 δεκαετίες => Περίοδος 680 χρόνια. Τα αποτελέσματα διαφέρουν λίγο από τα πραγματικά είδαμε όμως πόσο βοηθάει η έννοια της κλίμακας εικόνας. Γενικά η αστροφωτογραφία είναι επιστήμη από μόνη της. Μπελαλίδικη δουλειά, πρέπει να τόχεις, εγώ δεν το έχω ούτε θέλω να το έχω.