by 
Aνοίξαμε ένα σημειωματάριο και βρήκαμε μέσα γραμμένες τις εξής 100 προτάσεις.
1. Υπαρχει 1 ψευδης προταση σε αυτο το σημειωματαριο.
2. Υπαρχουν 2 ψευδεις προτασεις σε αυτο το σημειωματαριο.
3. Υπαρχουν 3 ψευδεις προτασεις σε αυτο το σημειωματαριο.
.
.
.
99. Υπαρχουν 99 ψευδεις προτασεις σε αυτο το σημειωματαριο.
100. Υπαρχουν 100 ψευδεις προτασεις σε αυτο το σημειωματαριο.
Ποιές από αυτές τις προτάσεις είναι αληθείς και ποιές ψευδείς;
Παιδιά είναι πολλοί οι 100.
Με 4 προτάσεις:
Έστω ν οι ψευδείς προτάσεις. Τότε οι προτάσεις 1,2,3,…,ν είναι αληθείς ενώ οι ν+1,ν+2,…,99,100 είναι ψευδείς. Θα είναι ν+ν=100, οπότε ν=50. Τότε όμως η 50 είναι αληθής. Άτοπο
Σπυρο αν ειναι ν οι ψευδεις προτασεις τοτε η υπ αριθμον ν ειναι αληθης προταση,αρα οι 1,2,…,ν ειναι αληθεις προτασεις και ειναι ν τοπληθος και οι ν+1,ν+2,…,100 θα ειναι ψευδεις και 100-(ν+1)+1 το πληθος,οποτε ν+100-(ν+1)+1=100 ή 100=100 που ειναι ταυτοτητα. 🙂
Το πρόβλημα αλλάζει αν:
Γεια σου Γιωργο
Γράψτε λάθος. Οι 50 πρώτες αληθείς και οι άλλες 50 ψευδείς. (Κωνσταντίνε ζαλίστηκα)
Γιάννη η αφηρημενη μεθοδος δεν λεει να τα παιρνεις με την σειρα. Αν σου βαλω 10000 τι θα κανεις? 🙂
ΛΥΣΗ: Iσχυουν τα εξης:
S1: Αν η προταση κ ειναι αληθης τοτε και ολες οι κ-1,κ-2,…,1 ειναι αληθεις.
S2: Αν η προταση λ ειναι ψευδης τοτε ,και ολες οι λ+1,λ+2,…,100 θα ειναι ψευδεις.
Η αποδειξη των S1,S2 ειναι τελειως απλη και παραλειπεται.
Εστω οτι υπαρχουν α το πληθος αληθεις και ψ το πληθος ψευδεις προτασεις με α+ψ=100
1.Εστω α<ψ Η προταση ψ ειναι αληθης διοτι δηλωνει οτι υπαρχουν ψ ψευδεις προτασεις που ισχυει εξ υποθεσεως. Αρα λογω S1 ολες οι ψ,ψ-1,…,1 ειναι αληθεις και ειναι ψ το πληθος.Επισης υπαρχουν ψ το πληθος ψευδεις προτασεις εξ υποθεσεως. Αρα μεταξυ των 100 προτασεων εχουμε ψ+ψ αληθεις και ψευδεις προτασεις με ψ+ψ>100. (γιατι?)
Άτοπον.
2.Εστω α>ψ Η προταση α ειναι ψευδης διοτι δηλωνει οτι υπαρχουν α ψευδεις προτασεις και εξ υποθεσεως υπαρχουν και α αληθεις προτασεις οποτε α+α>100 (γιατι?)Oπερ Άτοπον. Αρα λογω S2,ολες οι α,α+1,…,100 ειναι ψευδεις και ειναι 100-α+1 το πληθος. Επισης υπαρχουν α το πληθος αληθεις προτασεις εξ υποθεσεως.Αρα μεταξυ των 100 προτασεων εχουμε α+100-α+1=101 αληθεις και ψευδεις προτασεις Oπερ Άτοπον.
Αρα ο μονος τροπος για να εχουμε ενα λογικο και χωρις αντιφασεις συνολο προτασεων ειναι να εχουμε 50 αληθεις,τις 1,2,…,50 και 50 ψευδεις προτασεις τις 51,52,…,100
Αυτό λέω Κωνσταντίνε. Αν ν οι ψευδείς τότε οι πρώτες ν είναι αληθείς κι αν προσθέσουμε τις ν ψευδείς θα έχουμε το σύνολο των προτάσεων που είναι 100.
Κωνσταντίνε δεν έδωσα λύση.
Υπόδειξη έκανα.
Aρα ο Σπυρος ειπε το εξης: Eστω οτι υπαρχουν ν και μονο ν το πληθος ψευδεις προτασεις. Τοτε η υπ αριθμον ν προταση ειναι αληθης διοτι δηλωνει οτι υπαρχουν ν ψευδεις προτασεις που ισχυει. Αρα οι ν,ν-1,…,1 ειναι αληθεις και ν το πληθος. Δεν υπαρχουν αλλες αληθεις προτασεις διοτι η ν+1 ειναι προφανως ψευδης και ολες απο εκει και πανω.Αρα εχουμε ν και μονο ν το πληθος αληθεις προτασεις. Επισης υπαρχουν ν και μονο ν το πληθος ψευδεις προτασεις εξ υποθεσεως. Αρα ν=50. Μπραβο Σπυρο πολυ εξυπνο! Αξιζε η ζαλάδα 🙂
Εξαιρετική Κωνσταντίνε.
Μπερδεύει το μυαλό αλλά είναι λογική η λύση σου.
🙂
Καλησπέρα Κωνσταντίνε και χρόνια πολλά.Επειδη μάλλον κάτι έχω καταλάβει λανθασμένα αλλά δεν ξέρω τί καταθέτω τη σκέψη μου.Για να είναι αληθής ή 1 πρέπει να υπάρχει τουλάχιστο μία ψευδής πρόταση.Για να είναι και η δεύτερη σωστή πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο ψευδείς προτάσεις και πάει λέγοντας μέχρι την 50.Δεν εμποδίζει κάτι όμως την 51 να είναι και αυτή αληθής εκτός αν αλλάξουμε το τουλάχιστο 51 ψευδείς με το ακριβώς 51 ή το πολύ 51 ψευδείς προτάσεις.Άν εξαρχής η κάθε μία εννοεί ακριβώς μία ή ακριβώς 2… ψευδείς προτάσεις τότε η μόνη αληθής θα ήταν η προτελευταία όποια και αν ήταν αυτή.
Kαλησπερα Θύμιο.Χρονια Πολλα. Γραφεις: .”Για να είναι αληθής ή 1 πρέπει να υπάρχει τουλάχιστο μία ψευδής πρόταση.Για να είναι και η δεύτερη σωστή πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο ψευδείς προτάσεις και πάει λέγοντας μέχρι την 50.”
Συμφωνουμε. Πρεπει μεχρι εδω να δικαιολογησεις βεβαια, γιατι πρεπει να φτασεις αναγκαστικα στην 50 και δεν μπορεις να σταματησεις νωριτερα.Αν σταματησεις ας πουμε στην 30,τοτε η 31 ειναι ψευδης και ολες απο εκει και πανω ειναι επισης ψευδεις.(τσεκαρε το αυτο).Ειναι η προταση S2 στην δικια μου λυση. Αρα η 31 που λεει οτι υπαρχουν τουλαχιστον 31 ψευδεις προτασεις,ειναι αληθης διοτι αυτες οντως υπαρχουν. Αρα εχουμε αντιφαση.
Συνεχιζουμε και φτανουμε στην 50.Αρα εχουμε 50 αληθεις απο το 1 εως το 50 και 50 ψευδεις απο το 51 εως το 100. Εκει δεν υπαρχει καμια αντιφαση ολα ταιριαζουν τελεια.
Στην συνεχεια γραφεις :” Δεν εμποδίζει κάτι όμως την 51 να είναι και αυτή αληθής..”
Την εμποδιζει.Δεν μπορεις να συνεχισεις πιο πανω απο το 50.Την 51 την εμποδιζει η λογικη να ειναι και αυτη αληθης διοτι αν ηταν αληθης θα επρεπε αυτο που δηλωνει να ειναι αληθες δηλαδη θα επρεπε να υπαρχουν 51 ψευδεις προτασεις κατι το οποιο δεν γινεται αφου τις αληθεις τις εφτασες μεχρι το 51 και οι ψευδεις το πολυ να ειναι οι υπολοιπες δηλαδη 49.
Η μονη επιλογη η οποια δεν σε παει σε ατοπο ειναι να τις χωρισεις μισες μισες δηλαδη μεχρι το 50 οι αληθεις και απο εκει και πανω ολες ψευδεις.