Θα φτιάξω μία μακαρονάδα σε χρόνο dt. (και με θετική ενέργεια!)

Έστω μια συναρτηση y=f(x),παντου συνεχης και παραγωγισιμη,οπως ας πουμε ειναι η y=x² .Eστω ενα ξ και ενα x που ανηκουν στο πεδιο ορισμου της.

1) .Ορίζω διαφορικο dx=Δx=x-ξ .

2).Ορίζω  Δy=f(x)-f(ξ) .

3). Οριζω f'(ξ)=lim_x→ξ (f(x)-f(ξ))/x-ξ= lim _Δx→0(Δy/Δx).

4). Oρίζω διαφορικό dy=dy(ξ,Δx)=f'(ξ)Δx=f'(ξ)dx.

5).Λόγω του 4) εχουμε  f'(ξ)=dy/dx.

Παρατηρησεις:  α) Οπως βλεπουμε στο 5),η παραγωγος μιας συναρτησεως ισουται με το πηλικο δυο ποσοτητων dy,dx οι οποιες ονομαζονται διαφορικα τα οποια δεν ειναι απαραιτητως μικρα (απειροστά). Η σχεση f'(ξ)=dy/dx ειναι απολυτα ακριβής ειτε το dx ειναι μικρο ειτε ειναι μεγαλο. Οταν το dx ειναι μικρo απλως το πηλικο dy/dx ειναι πολυ κοντα στο πηλικο Δy/Δx. Παραδειγμα: Eστω y=x² και ξ=2 , dx=Δx=3. Tότε dy(ξ,Δx)=f’Δ(ξ)Δx=f'(2)3=12. Aρα η παράγωγος της συναρτησεως y=x² στο σημειο ξ=2 ειναι f'(2)=dy/dx= 12/3=4 Δηλαδη η παραγωγος ισουται με το πηλικο των ποσοτητων 12 και 3 οι οποιες δεν ειναι απειροστες. Τα διαφορικα βεβαιως δεν απαγορεύεται να ειναι μικρά. Υπαρχουν τεχνικοι λογοι για τους οποιους σε καποιες περιπτωσεις πρεπει να ειναι μικρα,οπως οταν προκειται να ολοκληρωσουμε ως προς την ανεξαρτητη μεταβλητη .                           Η στιγμιαια ταχυτητα ειναι υ=dx/dt με dt oχι κατ αναγκην μικρο,διοτι η σχεση υ=dx/dt ειναι απο την φύση της ακριβής σχέση. Μονο αν προσεγγισουμε την στιγμιαια ταχυτητα γραφοντας                    υ=Δx/Δt,πρεπει να πουμε οτι το Δt ειναι μικρό.Η παρατηρηση οτι καθως για να βελτιωσουμε την ακριβεια αυτης της προσεγγισεως μικραινουμε ολο και περισσοτερο το Δt,oπότε οταν αυτο γινει πολυ μικρο,γινεται dt,ειναι λανθασμένη.Τα dt,Δt,ταυτιζονται συνεχως,εξ ορισμου. Και οταν ειναι μεγαλα και οταν ειναι μικρα.

β)Το dx/dt μπορει καλιστα να περιγραφεί στους μαθητες μικρότερων τάξεων ως ενα συμπαγές σύμβολο που σημαινει ρυθμό μεταβολής και οχι ως πηλικο δύο ποσοτήτων.

γ) Η παραγωγος της συναρτησεως στο σημειο ξ,ισουται με την εφαπτομένη της γωνιας φ (σχήμα)

δ) Το διαφορικο dy=dy(ξ,Δx) ειναι συναρτηση δύο μεταβλητών και οπως ειπαμε δεν εχει κανένα λόγο να ειναι απειροστό.

ε)Οταν το dx ειναι μικρο,τοτε το διαφορικο dy μπορει να ειναι πολυ κοντα στο Δy οποτε τοτε με καλη ακριβεια εχουμε Δy=f'(ξ)(x-ξ) ή f(x)-f(ξ)=f'(ξ)(x-ξ) ή f(x)=f(ξ)+ f'(ξ)(x-ξ) που ειναι η εξισωση της εφαπτομενης της καμπύλης στο σημειο (ξ,f(ξ)) και αρα με καλη προσεγγιση εχουμε κανει μια γραμμικοποιηση της συναρτησεως για μια μικρη περιοχη γυρω απο το ξ. Αν θελουμε πιο μεγαλη ακριβεια πρεπει να χρησιμοποιησουμε και ανωτερας ταξεως παραγωγους οποτε τοτε εχουμε μια σειρα Taylor γυρω απο το ξ. Παραδειγμα: Aν εκτρεψουμε ενα απλο εκρεμες μήκους l απο την θεση ισορροπιας κατα γωνια φ ,τοτε η δυναμη επαναφορας ειναι F=-mgημφ. Αν ομως η γωνια ειναι μικρη τοτε μια γραμμικοποιηση της συναρτησεως y=ημφ γυρω απο το μηδεν,δινει ημφ≅ημ0+(φ-0)συν0 ή ημφ≅φ.Οποτε τοτε η δυναμη επαναφορας ειναι F≅-mgφ=-mgx/l=-Dx. Αρα για μικρες γωνιες το εκρεμες κανει ΑΑΤ και η περιοδος ειναι Τ=2π(m/D)^1/2=2π(l/g)^1/2

Ασκηση: Nα υπολογισετε προσεγγιστικα τo 29^1/3 χρησιμοποιωντας διαφορικα και κανοντας μια γραμικοποιηση της συναρτησης y= x^1/3 γυρω απο το ξ=27.