by 
Έστω μια συναρτηση y=f(x),παντου συνεχης και παραγωγισιμη,οπως ας πουμε ειναι η y=x2 .Eστω ενα ξ και ενα x που ανηκουν στο πεδιο ορισμου της.
1) .Ορίζω διαφορικο dx=Δx=x-ξ .
2).Ορίζω Δy=f(x)-f(ξ) .
3). Οριζω f'(ξ)=limx→ξ (f(x)-f(ξ))/x-ξ= lim Δx→0(Δy/Δx).
4). Oρίζω διαφορικό dy=dy(ξ,Δx)=f'(ξ)Δx=f'(ξ)dx.
5).Λόγω του 4) εχουμε f'(ξ)=dy/dx.
Παρατηρησεις: α) Οπως βλεπουμε στο 5),η παραγωγος μιας συναρτησεως ισουται με το πηλικο δυο ποσοτητων dy,dx οι οποιες ονομαζονται διαφορικα τα οποια δεν ειναι απαραιτητως μικρα (απειροστά). Η σχεση f'(ξ)=dy/dx ειναι απολυτα ακριβής ειτε το dx ειναι μικρο ειτε ειναι μεγαλο. Οταν το dx ειναι μικρo απλως το πηλικο dy/dx ειναι πολυ κοντα στο πηλικο Δy/Δx. Παραδειγμα: Eστω y=x2 και ξ=2 , dx=Δx=3. Tότε dy(ξ,Δx)=f’Δ(ξ)Δx=f'(2)3=12. Aρα η παράγωγος της συναρτησεως y=x2 στο σημειο ξ=2 ειναι f'(2)=dy/dx= 12/3=4 Δηλαδη η παραγωγος ισουται με το πηλικο των ποσοτητων 12 και 3 οι οποιες δεν ειναι απειροστες. Τα διαφορικα βεβαιως δεν απαγορεύεται να ειναι μικρά. Υπαρχουν τεχνικοι λογοι για τους οποιους σε καποιες περιπτωσεις πρεπει να ειναι μικρα,οπως οταν προκειται να ολοκληρωσουμε ως προς την ανεξαρτητη μεταβλητη . Η στιγμιαια ταχυτητα ειναι υ=dx/dt με dt oχι κατ αναγκην μικρο,διοτι η σχεση υ=dx/dt ειναι απο την φύση της ακριβής σχέση. Μονο αν προσεγγισουμε την στιγμιαια ταχυτητα γραφοντας υ=Δx/Δt,πρεπει να πουμε οτι το Δt ειναι μικρό.Η παρατηρηση οτι καθως για να βελτιωσουμε την ακριβεια αυτης της προσεγγισεως μικραινουμε ολο και περισσοτερο το Δt,oπότε οταν αυτο γινει πολυ μικρο,γινεται dt,ειναι λανθασμένη.Τα dt,Δt,ταυτιζονται συνεχως,εξ ορισμου. Και οταν ειναι μεγαλα και οταν ειναι μικρα.
β)Το dx/dt μπορει καλιστα να περιγραφεί στους μαθητες μικρότερων τάξεων ως ενα συμπαγές σύμβολο που σημαινει ρυθμό μεταβολής και οχι ως πηλικο δύο ποσοτήτων.
γ) Η παραγωγος της συναρτησεως στο σημειο ξ,ισουται με την εφαπτομένη της γωνιας φ (σχήμα)
δ) Το διαφορικο dy=dy(ξ,Δx) ειναι συναρτηση δύο μεταβλητών και οπως ειπαμε δεν εχει κανένα λόγο να ειναι απειροστό.
ε)Οταν το dx ειναι μικρο,τοτε το διαφορικο dy μπορει να ειναι πολυ κοντα στο Δy οποτε τοτε με καλη ακριβεια εχουμε Δy=f'(ξ)(x-ξ) ή f(x)-f(ξ)=f'(ξ)(x-ξ) ή f(x)=f(ξ)+ f'(ξ)(x-ξ) που ειναι η εξισωση της εφαπτομενης της καμπύλης στο σημειο (ξ,f(ξ)) και αρα με καλη προσεγγιση εχουμε κανει μια γραμμικοποιηση της συναρτησεως για μια μικρη περιοχη γυρω απο το ξ. Αν θελουμε πιο μεγαλη ακριβεια πρεπει να χρησιμοποιησουμε και ανωτερας ταξεως παραγωγους οποτε τοτε εχουμε μια σειρα Taylor γυρω απο το ξ. Παραδειγμα: Aν εκτρεψουμε ενα απλο εκρεμες μήκους l απο την θεση ισορροπιας κατα γωνια φ ,τοτε η δυναμη επαναφορας ειναι F=-mgημφ. Αν ομως η γωνια ειναι μικρη τοτε μια γραμμικοποιηση της συναρτησεως y=ημφ γυρω απο το μηδεν,δινει ημφ≅ημ0+(φ-0)συν0 ή ημφ≅φ.Οποτε τοτε η δυναμη επαναφορας ειναι F≅-mgφ=-mgx/l=-Dx. Αρα για μικρες γωνιες το εκρεμες κανει ΑΑΤ και η περιοδος ειναι Τ=2π(m/D)1/2=2π(l/g)1/2
Ασκηση: Nα υπολογισετε προσεγγιστικα τo 291/3 χρησιμοποιωντας διαφορικα και κανοντας μια γραμικοποιηση της συναρτησης y= x1/3 γυρω απο το ξ=27.
Καλημέρα συνάδελφοι. Αυτη η αναρτηση ηταν ιδέα που μου ηρθε λογω της αναρτησεως του Διονύση. Μέση και στιγμιαία ισχύς. με του οποίου τα σχόλια συμφωνώ.Δεν αποτελει σε καμία περίπτωση διδακτική προταση. Περιγραφει απλως τα Μαθηματικα που ισχύουν και αφου ενας καθηγητης τα γνωριζει,μπορει να χρησιμοποιει και να διδασκει τα ντε,τα δέλτα,τους ρυθμους μεταβολης στιγμιαιους,μεσους κλπ,οπως νομιζει αυτος καλυτερα. Ο τιτλος ειναι χιουμοριστικος δεν ειναι ειρωνεια για αυτους που χρησιμοποιουν αυτες τις εκφρασεις 🙂
Κωνσταντίνε έχει πλάκα να διαφωνώ με κάτι που Μαθηματικά στέκει.
Παιδαγωγικά δεν μου αρέσουν τα παρακάτω:
β)Το dx/dt μπορει καλλιστα να περιγραφεί στους μαθητες μικρότερων τάξεων ως ενα συμπαγές σύμβολο που σημαινει ρυθμό μεταβολής και οχι ως πηλικο δύο ποσοτήτων.
γ) Η παραγωγος της συναρτησεως στο σημειο ξ,ισουται με την εφαπτομένη της γωνιας φ (σχήμα)
Γιατί διαφωνώ;
Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα της Φυσικής και το δέχομαι. Θέλω όμως να καταλάβουν κάτι όσοι με ακούν.
Όταν μου περιγράφουν την πλοκή μιας ταινίας ή έναν πίνακα ή μια τοποθεσία προτιμώ να κάνουν καλή περιγραφή με γλώσσα που περιέχει ασυνταξίες και Ελληνικούρες παρά μια ασαφή ή γενικόλογη περιγραφή που γίνεται με άψογο συντακτικό και άριστη γραμματική.
Γενικολογώ όμως και κατάφερα να εκνευρίσω ακόμα και τον εαυτό μου.
Έτσι ανακαλώ τι μου είπαν όταν ήμουν στην Δ΄ Γυμνασίου του Πρακτικού και κατάλαβα όσα δεν θα καταλάβαινα αν μου έλεγαν ότι το dx/dt είναι ένα σύμβολο (συμπαγές;;;) που σημαίνει τον ρυθμό μεταβολής!!
Ένα τεράστιο “γιατί;” θα μου ερχόταν στο νου και θα το μάθαινα όπως τον κανόνα “Στη γενική πληθυντικού κατεβαίνει ο τόνος όταν…”
Ειρήσθω εν παρόδω σήμερα έχω καταλάβει τον παραπάνω κανόνα και σκέφτομαι:
-Τόσο δύσκολο ήταν να μου εξηγήσουν γιατί κατεβαίνει ο τόνος;
Ευτυχώς στη Φυσική μου εξηγήθηκε η φύση του dτάδε και κατάλαβα το πως αλλά κυρίως το γιατί.
Σαν καθηγητής αποφάσισα να λέω το δέλτα δέλτα και το Ντε Ντε.
Με εξηγήσεις, προσομοιώσεις , καλαμπούρια με σταγόνες και φανάρια οι περισσότεροι μαθητές μου κατάλαβαν το εστί Ντε.
Μετά άλλη φασαρία για το ρυθμό μεταβολής και επανάληψη της φασαρίας όταν έφτανα στην ταχύτητα.
Όταν οι μαθητές μου διδάσκονταν και την παράγωγο (κάποτε διδασκόταν και στη Γενική Παιδεία) ξανά πάλι για πολύ λίγο. Έβλεπαν ότι αυτά που είχαν αισθανθεί και καταλάβει μπορούσαν εύκολα (αλλά φευ μηχανικά) να τα βγάλουν και με παραγώγους.
Έτσι χρησιμοποιούσα τα Μαθηματικά αλλά ουδέποτε επέτρεψα να με χρησιμοποιήσουν αυτά.
Περάσανε τα χρόνια και νταραβερίστηκα με Λαγκράνζιαν, τανυστές αδράνειας, μετασχηματισμούς συντεταγμένων σχεδιασμό φίλτρων με χρήση πολυωνύμων Τσέμπυτσεφ, ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα συστημάτων και άλλα γλαφυρά. Όμως μηχανικά (φευ).
Ακόμα και τις αδρανειακές δυνάμεις (που κατάλαβα στην Στ΄ Γυμνασίου) μηχανικά χειριζόμουν. Πολλά άλλα φαινόμενα δεν τα αισθανόμουν.
Σήμερα βλέπω αρκετούς να χειρίζονται άψογα τα Μαθηματικά της Φυσικής αλλά να κολλάνε σε απλά πράγματα που απαιτούν κατανόηση και όχι μόνο χειρισμούς.
Συνειδητοποίησα ότι καταλαβαίνεις κάτι όταν αναγκαστείς να το πεις με απλά λόγια σε παιδιά.
Δεν είμαι αντίθετος με την αυστηρότητα σε ορισμούς αλλά προσπαθώ να καταλάβω πότε αυτή βολεύει και πότε πρέπει να την παρακάμπτουμε και να επανερχόμαστε σ’ αυτήν αργότερα.
Όμως πάλι μιλάω γενικά (δηλαδή δεν λέω τίποτα) και ίσως γράψω κάτι για το Ντε.
Αν βρω ιδέες….
Γιάννη με μπερδεψες λιγο. Σπανιως ειδικα εσυ. 🙂 Δεν προτεινω καμμια διδακτικη μεθοδολογια εκτος ισως απο την προταση περι συμπαγους συμβόλου αλλα αυτο δεν εχει τοση σημασια. Περιγραφω απλως τα σωστα Μαθηματικα και ο καθε ενας απο εμας βρισκει τον τροπο να τα εξηγησει στους μαθητες οπως νομιζει αυτος καλυτερα. Ομως αναγκαια προυποθεση ειναι να τα γνωριζει ο ιδιος! Οχι να νομιζει οτι οταν το δελτα μικρυνει πολυ,τοτε γινεται ντε.
Δεν καταλαβα με τι ακριβως διαφωνεις.
Σ’ αυτό που μόλις είπες διαφωνώ.
Ξέρω ότι όταν ένα δέλτα μικρύνει δεν αποκτά τον τίτλο του Ντε.
Διότι δεν πρόκειται για τίτλο (Ντ’ Αρτανιάν λ.χ.).
Επειδή όμως το ξέρω δεν σημαίνει ότι αποφεύγω να το λέω σε παιδιά.
Ήξερα επίσης ότι τα δώρα των γιών μου δεν τα έφερε ο Αγιοβασίλης αλλά καθυστέρησα να τους το πω.
Παλι δεν σε καταλαβα. Επαναλαμβανω οτι το τι θα πει ο καθενας στα παιδια δεν με απασχολει ιδιαιτερως ουτε προτεινα καποια μεθοδο διδασκαλιας. Ομως οφειλει ο καθηγητης να γνωριζει τι εστι διαφορικό και οτι επ’ ουδενί λόγω αυτο δεν ειναι αναγκαστικα μικρο. Αυτη ειναι η κεντρικη ιδεα αυτής της αναρτησεως και αυτο λεει και ο τιτλος της με χιουμοριστικο τροπο. Πρεπει κανεις να ειναι γνώστης για να μπορεσει να κανει μια πετυχημενη εκλαικευση.Αν και εσυ ο ιδιος νομιζες οτι τα δωρα τα φερνει ο Αγιος Βασιλης,μαλλον θα υπηρχε προβλημα 🙂
Καλό απόγευμα Κωνσταντίνε και Γιάννη.
Κωνσταντίνε σωστά όλα όσα γράφεις παραπάνω, αλλά και γω αναπολώ το πρακτικό τμήμα κάπου εκεί στις αρχές της δεκαετίας του 70…
Ίσως φταίει η περίοδος και ταυτίζομαι … ψυχικά με το Γιάννη.
Αν πας να εξηγήσεις ότι το dx ταυτίζεται με το Δx, αλλά το dy είναι διαφορετικό από το Δy, μάλλον θα ,,,χάσεις όλους τους ακροατές ( μαθητές) σου…
Καλό απόγευμα Διονύση. Δεν εγραψα Διονύση πως πρεπει κανεις να το εξηγησει. Εχω την μεθοδο μου αλλα δεν θεωρησα σκοπιμο να την εκθέσω.Αυτη η αναρτηση απευθυνεται στους καθηγητές και στους μαθητες που εχουν καποιο επιπεδο σε αυτο που στα ελληνικα λέμε Calculus. 🙂
Καλημέρα Γιαννη και Διονυση. Απευθυνομαι κυριως σε εσας διοτι εισαστε οι μόνοι που δωσατε καποια σημασια στην αναρτηση 🙂 Ας το παμε στην Διδακτικη διοτι αυτα που γραφω πιο πανω δεν ειναι κατι καινουργιο,δεν ειναι δικά μου,ειναι γραμμενα σε ολα τα γνωστα καλα βιβλια,οπως Spivak,Apostol,Thomas-Finney,κλπ,και φυσικα ειναι σωστα.
Οταν διδασκεις κατι σε Α Λυκειου ,ή και σε πιο μικρους,δεν μπορεις να το διδασκεις στην πληρη του αυστηρότητα,δεν θα καταλαβει κανενας τιποτα,το ξερουμε αυτό.Ομως πρεπει να παρουσιασεις ενα αφηγημα,απλο μεν,ελλειπές ισως αλλα οχι λανθασμενο. Δεν λεμε οτι το Δt οταν μικρυνει πολυ,τοτε γινεται dt,διοτι ειναι λαθος.Δεν προκειται να το πω ποτε αυτο,διοτι ειναι Μαθηματικο μαργαριτάρι. Το κακό ειναι οτι οι πιο πολλοι καθηγητες,ετσι το παρουσιαζουν στα παιδια,διοτι νομιζουν οτι αυτο ειναι σωστο! Εχω συζητησει και εδω πιο παλια τετοια θεματα και εχω ακουσει τετοιες απόψεις.
Για να μην μιλαμε αόριστα,η δικια μου μεθοδος με την οποια εχετε καθε δικαιωμα να διαφωνειτε και πιθανον να εχω εγω αδικο,διοτι τα περι διδακτικων μεθοδων ειναι υποκειμενικα,ειναι η εξης:
1) Aφιερωνω πολυ χρονο στο να δειξω οτι το Δx/Δt (με Δt απο ενα t0 εως t),δεν επηρεαζεται απο το ποσο μεγαλο Δt θα παρουμε και βγαινει παντα το ιδιο οταν η συναρτηση x(t) ειναι ευθεια ή γραμμικη. Αυτο με πολλα παραδειγματα και σχηματα και οχι με θεωρητικες μεθοδους.
2) Δειχνω οτι οταν η συναρτηση x(t) δεν ειναι ευθεια ή γραμμικη, οταν παιρνουμε άλλο Δt,τοτε και το Δx/Δt,βγαινει άλλο.Και αυτο με παραδειγματα και σχηματα,με την πιο καταλληλη συναρτηση για αυτο,που ειναι η x=t^2.
3) Tους δειχνω με σχηματα και με παραδειγματα,οτι οταν το Δx ολο μικραινει και μικραινει,τοτε το πηλικο Δx/Δt πλησιαζει σε καποιον αριθμο που ειναι η στιγμιαια ταχυτητα την στιγμη t0.Ειναι αυτη που δειχνει το κοντερ του αυτοκινητου. Μία τετοια διαιρεση κανει.
4) Toυς εξηγω οτι δεν γινεται να μικρυνουμε το Δx τελειως διοτι δεν μπορουμε να διαιρεσουμε με το μηδεν,αλλα οσο πιο πολυ το μικραινουμε,τοσο πιο μεγαλη ακριβεια εχουμε,και ετσι σταματαμε σε καποιο σημειο που η ακριβεια μας ικανοποιει.
5) (Μεχρι τωρα δεν εχουμε πει τιποτα για ντε. Εχουμε γραψει μονο δέλτα.)Ποια ειναι τοτε η στιγμιαια ταχυτητα; Ειπαμε ποια ειναι αλλα πως την συμβολιζουμε; Tην συμβολιζουμε dx/dt. Τι ειναι το dx/dt; Eιναι ενα συμβολο,ολοκληρο οπως το βλεπετε. Δεν ειναι κλασμα με αριθμητη το dx και παρανομαστη το dt. Δεν θα μας αποσχολει προς το παρον τι ειναι το dx μόνο του και τι ειναι το dt μόνο του.Θα τα μαθουμε σε μεγαλυτερες ταξεις.Αντιμετωπιζουμε λοιπον το dx/dt σαν ενα συμπαγες συμβολο οπως λενε οι μαθηματικοι.(Εκφραση που δεν αρεσε και παρα πολυ του Γιάννη 🙂 )
Aυτα ειναι τα βηματα που ακολουθω εγω στην ταξη για να περασω απο το Δx/Δt στο dx/dt. Εκιμω οτι κανω δραστική εκλαικευση και απλοποιηση,συντομη,φιλικη στο ακροατηριο,χωρις να λεω κατι λαθος και χωρις να τρομαζουν τα παιδια. Αν δεχθω καποια ερωτηση απο καποιον Σπύρο Τερλεμέ ξερω τι να απαντησω δεν τα εχω στο μυαλο μου λάθος.
Κανενας απο το Ακροατήριο μου δεν εφυγε Διονύση εκτος απο τους οριτζινάλε τουρίστες,που τους ξερεις αφου εισαι στα σχολεια τοσα χρόνια.
Εκτιμω Γιαννη οτι αν εμπαινα στο αεροπλανοφόρο Νίμιτς και γυρνώντας πισω στον χρονο γινομουνα καθηγητης σου οταν ησουνα στο γυμνάσιο θα τα επιανες όλα με την πρωτη και θα ενθουσιαζόσουνα κιόλας. 🙂
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Προτίμησα πάντα άλλη οδό στην αρχή γιατί για το πηλίκο dx/dt δεν διαφέρω από σένα. Δίνεις ιδέες για να γράψω κάτι.
Περιμένουμε Γιάννη αφου οτι γράφεις ειναι πάντα χρήσιμο.
Καλησπέρα μετά από καιρό!
Στο email μου έπεσε το μάτι μου στην ανάρτηση του Κωνσταντίνου και έτσι βρίσκω την ευκαιρία να μπω και εγώ στην ενδιαφέρουσα συζήτηση.
Πολύ χαρακτηριστικός ο τίτλος της ανάρτησης και απόλυτα σωστό ότι το «ντε τε» δεν είναι αποκλειστικά κάτι πολύ μικρό – μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Πχ το «ντε τε» βρασμού για τα μακαρόνια Στέλλα Νο 7 είναι 8 με 9 λεπτά. Θεωρώ και εγώ ότι το να χρησιμοποιούμε την έκφραση «σε χρόνο ντε τε» για να εκφράσουμε το πολύ σύντομο, «το στιγμιαίο» είναι λάθος που οφείλεται σε κάποια σύγχυση που απορρέει από τον τρόπο γραφής των σχετικών συμβολισμών.
Σχετικά με αυτό δηλαδή τη γραφή των συμβολισμών:
Kαλησπερα Μανωλη και σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Αυτες οι εκφρασεις εχουν σχεδον περασει στα επισημα ελληνικα χωρις να ειναι ομως σωστες επιστημονικα. Αυτος ο Ανθρωπος λεει εκπεμπει θετικη ενέργεια. Tρεχα γυρευε δηλαδή 🙂
Καλησπέρα Κωνσταντίνε
Έτσι είναι
Βέβαια
Για την έκφραση «θετική ενέργεια» είμαι κατά κάποιο τρόπο πιο συγκαταβατικός μια και έχει να κάνει με αυτό που λέμε θετική αύρα – κάτι που όταν το έχει κάποιος καθιστά την παρουσία του «ευχάριστη» ή μάλλον αντίστροφα όταν κάποιου η παρουσία δημιουργεί ευχάριστη αίσθηση λέμε ότι έχει θετική αυρα. Για κάποιο λόγο έχει επικρατήσει γλωσσικά το θετικό να ταυτίζεται με αυτό που προσδίδει κάτι καλό. Λέμε θετική συνεισφορά, θετικό αποτύπωμα … Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με το δεξιά λέμε (όχι εγώ) να έρθουν όλα δεξιά, all right που λένε και ο Άγγλοι.
Το «ντε τε» όμως θεωρώ ότι πρέπει να το αφήσουμε στην ησυχία του.