by 
Σε πρόσφατη ανάρτηση του Πάνου εδώ, συζητήθηκε η ανάκλαση του φωτός και η αρχή του Fermat. Στην παρούσα μελέτη εξετάζω την αρχή του Fermat στην ανάκλαση από επίπεδα και ελλειψοειδή κάτοπτρα. Τα ελλειψοειδή κάτοπτρα παρουσιάζουν ενδιαφέρον επειδή, ορισμένες ανακλώμενες διαδρομές παρουσιάζουν μέγιστο ως προς το χρόνο διαδρομής. Στην εικόνα παρουσιάζω τον Pierre de Fermat.
Το άρθρο αφιερώνεται στον Πάνο Μουρούζη.
Το αρθρο σε .pdf εδώ.
Πολύ όμορφη!
Το είχες ξαναθέσει πριν χρόνια και είχα εκπλαγεί τότε.
Ακρότατο, όχι μέγιστο!!
Καλησπέρα Γιάννη.
Ναι, το είχα ξαναθέσει, αλλά για ανάκλαση από σφαιρικά κάτοπτρα και ήθελε πολύ ανάλυση για να προκύψει το συμπέρασμα που για ελλειψοειδή κάτοπτρα προκύπτει απλούστατα. Ένα άλλο ενδιαφέρον που έχουν τα ελλειψοειδή είναι ότι, αν η πηγή είναι στη μια εστία και ο παρατηρητής στην άλλα εστία, δεν υπάρχει ούτε μέγιστος ούτε ελάχιστος χρόνος. Όλοι οι χρόνοι είναι ίσοι.
Σ' ευχαριστώ Νικόλα για την αφιέρωση. Ομολογώ ότι την εξαίρεση με τον μέγιστο χρόνο στην αρχή του Φερμά δεν την ήξερα ή την είχα ξεχάσει. Γι αυτό η φυσική είναι ωραία. Γιατί διαπιστώνεις συνεχώς ότι "Γηράσκω αεί διδασκόμενος"
Καλησπέρα Νίκο. Πολύ ενδιαφέρον άρθρο. Αναμένουμε και τη συνέχεια.
Πάνο και Αποστόλη σας ευχαριστώ.
Θα σου εξομολογηθώ κάτι Πάνο. Μερικές φορές μου έρχονται στο κεφάλι ιδέες σε ανύποπτο χρόνο κι από το πουθενά. Έτσι μου ήρθε μια ωραία στιγμή η ιδέα ότι, αν η σημειακή πηγή είναι στην επιφάνεια ενός σφαιρικού κατόπτρου και σε κάποιο άλλο σημείο της επιφάνειάς του είναι ο παρατηρητής, η ανακλώμενη ακτίνα από την πηγή στον παρατηρητή θα έχει σημείο ανάκλασης το μέσο του τόξου που τους ενώνει και η διαδρομή της θα είναι μέγιστη και όχι ελάχιστη που θέλει ο Fermat. Να σου πω τώρα που ήμουν όταν μου ήρθε αυτή η ιδέα. Καθόμουν σ΄ έναν καναπέ στο ισόγειο ενός ξενοδοχείου στη Θεσσαλονίκη κάποιο απόγευμα. Ήταν στη διάρκεια κάποιου EUSO και ήταν το ξενοδοχείο που μας φιλοξενούσε. Την ανάλυση όμως την έκανα όταν επέστερεψα στα Γιάννενα και τη δημοσίευσα σ΄ αυτό το δίκτυο.
Όταν διάβασα το πρόσφατο άρθρο σου μου κινήθηκε το ενδιαφέρον να μελετήσω το φαινόμενο και στους άλλους τύπους κατόπτρων. Βρήκα λοιπόν ότι και στα ελλειπτικά υπάρχουν ανακλάσεις με μέγιστο χρόνο. Όχι όμως στα παραβολικά και τα υπερβολικά.
Ένα αρχείο geogebra:
Έλλειψη.
Τοποθετήσατε όπου θέλετε τα Ε και Η, αφετηρία και τέρμα της φωτεινής ακτίνας.
Σύρατε το Δ πάνω στην έλλειψη ώστε η ανακλώμενη (μπλε εστιγμένη) να συμπέσει με την ΔΗ. Τότε η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης.
Δεξιά μετράται το μήκος της διαδρομής και φαίνεται επίσης από το πράσινο ευθύγραμμο τμήμα ΘΙ.
Θα δείτε ότι το συνολικό μήκος είναι άλλοτε μέγιστο και άλλοτε ελάχιστο.
Και εδώ.
Γιάννη μελετάς τη γενική περίπτωση που η πηγή και ο παρατηρητής είναι σε τυχαία σημεία στο εσωτερικό του ελλειψοειδούς. Όπως και στην περίπτωση που ο ένας από τους δύο είναι στην εστία, έτσι και δω περιμένουμε κάποιες ανακλώμενες διαδρομές να είναι ελάχιστες και κάποιες μέγιστες. Χρειάζεται και δω ανάλυση ώστε να προσδιοριστούν τα κριτήρια για ελάχιστες και μέγιστες διαδρομές.
Γεια σου Νίκο.
Δεν μελετώ κάτι εγώ. Εσύ θα βάλεις όπου θέλεις τα σημεία.
Βάλε το Ε (αρχή) πάνω στο Α ή στο Β (εστίες). Βάλε το Η (τέλος) όπου θέλεις. Αν το βάλεις και αυτό σε εστία οι διαδρομές είναι ισομήκεις.
Βάλε τα έξω και τα δύο. Κάνε ότι θέλεις εσύ. Μπορείς να υλοποιήσεις τις περιπτώσεις της ανάρτησής σου, ή όποιες θέλεις.
Εγώ ένα εργαλείο υλοποίησα και άφησα τα Ε και Η σε τυχαίες θέσεις. Ο αναγνώστης θα παίξει ποικιλοτρόπως και θα επιβεβαιώσει όλα όσα γράφεις.
Και φυσικά έχεις δίκιο. Κάποιες διαδρομές είναι μέγιστες και κάποιες ελάχιστες.
Το παιχνίδι είναι πολύ εύκολο με την κατασκευή αυτήν.
Καλύτερα άνοιξε τον δεύτερο σύνδεσμο.
Μπορείς ακόμα και να αλλάξεις την έλλειψη πειράζοντας τις εστίες Α και Β.
Γιάννη το έτρεξα (πρώτη φορά τρέχω geogebra). Είναι 4 τα ακρότατα: ελάχιστο 9,13, μετά μέγιστο 11,32, μετά ελάχιστο 8,26 και τέλος μέγιστο 9,94. Αν είχε και ο Fermat geogebra, θα είχε διατυπώσει αλλιώς την αρχή.
Μόνο 4 ακρότατα;
Εγώ βγάζω άπειρες περιπτώσεις ανάλογα με τις θέσεις που δίνω στα Ε και Η.
Όλες επιβεβαιώνουν το γραπτό σου.
Όταν γράψεις για τα παραβολικά κάτοπτρα θα στείλω σχετική οπτικοποίηση.
Αλλά, για δεδομένα Ε και Η, υπάρχουν 4 ακρότατα καθώς το Δ διατρέχει την έλλειψη.
Έκανα μια σχετική ανάλυση του προβλήματος και κατάφερα να εκφράσω το άθροισμα προσπίπτουσας και ανακλώμενης ακτίνας σαν συνάρτηση μιας μεταβλητής. Μετά παραγώγισα ως προς τη μεταβλητή για να βρώ τα ακρότατα. Προφανως οι ρίζες της παραγώγου δεν βγαίνουν αναλυτικά.