by 
Έστω ένα κυλινδρικό δοχείο ύψους Η με ανοιχτή την επιφάνεια του στον ατμοσφαιρικό αέρα. Το δοχείο περιέχει μια ποσότητα υγρού. Αρχίζουμε να περιστρέφουμε το δοχείο γύρω από άξονα κάθετο στην ανοιχτή επιφάνεια, με γωνιακή ταχύτητα ω και παρατηρούμε ότι το υγρό οριακά δεν ξεχειλίζει.
Πόση θα πρέπει να είναι η ακτίνα R του δοχείου ώστε η ποσότητα του υγρού να είναι η μέγιστη δυνατή που να ικανοποιεί τα παραπάνω?
Αφιερωμένη στον κ. Πρόδρομο.
Μπράβο Σπύρο.
Σπύρο ευχαριστώ για την αφιέρωση αυτής της όμορφης άσκησης!!
Είναι ό,τι πρέπει για Φυσικούς και φοιτητές.
Δεν νομίζω να λύνεται με Λυκειακή Φυσική, αλλά αύριο θα κάνω μια .. απόπειρα…
Να είσαι πάντα καλά και να δημιουργείς!!
Γειά σου και πάλι Σπύρο.
Αφού αποδείξεις ότι μια κατακόρυφη τομή που διέρχεται από το κέντρο του κυλίνδρου, είναι παραβολή, αρκεί να θέσεις
y=H , x=R και θα έχεις:
2gH/ω^2=R^2 => R=√(2gH)/ω
Ούτε ολοκληρώματα ούτε παραγωγίσεις. Το θέμα που μένει είναι να αποδειχθεί ότι μια κατακόρυφη τομή της ελεύθερης επιφάνειας που διέρχεται από το κέντρο του κυλίνδρου, είναι παραβολή.
Με το τελευταίο θα ασχοληθώ αύριο, με Λυκειακή Φυσική φυσικά.
Καλό βράδυ.
Γεια σου Σπύρο. Έκανα τη λύση της άσκησής σου με τρόπο τέτοιο, ώστε να μπορεί να τη διαβάσει μαθητής της Γ' Λυκείου!
Η λύση είναι εδώ σε pdf.
Επειδή την τροποποίησα λίγο, και για να είναι πιο ..εύπεπτη, θα την αναρτήσω κι εγώ.
Να είσαι καλά.
κ. Προδρομε μπράβο!!
Πολύ καλή αντιμετώπιση, εξαιρετική λύση!!
Πράγματι έτσι μπορεί να διαβαστεί από μεγαλύτερο ποσοστό.
Ο λόγος που επέλεξα να το λύσω υπολογίζοντας τον όγκο της παραβολής και μετά χρησιμοποιώντας τον πίνακα Hessian είναι γιατί έτσι μπορούμε να βρούμε και την ποσότητα του αρχικού υγρού. Δηλαδή το ποσό υγρό περιείχε αρχικά το δοχείο.
Συγχαρητήρια Σπύρο για την εργασία σου! Το ερώτημα που θέτεις δεν είναι το σύνηθες για το περιστρεφόμενο υγρό. Παλιότερα είχα αναρτήσει μια ανάλογη εργασία με παρόμοια ερωτήματα. Μπορείς να τη δεις εδώ.
Ευχαριστώ κ. Δημήτρη. Εξαιρετική η εργασία σας, με πολλά παραδείγματα.