by 
Ένα αβαρές κυλινδρικό δοχείο μεγάλου ύψους και εμβαδού βάσης Α1=0,2m2 περιέχει πετρέλαιο η πυκνότητα του οποίου είναι ρπ=800kg/m3 μέχρι ύψος Η=0,4m. Στο πάνω τμήμα τοποθετούμε εφαρμοστό έμβολο που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Αναποδογυρίζουμε το δοχείο και το τοποθετούμε μέσα σε μια δεξαμενή νερού πολύ μεγάλων διαστάσεων έτσι ώστε ο πυθμένας του δοχείου να βρίσκεται στην επιφάνεια του νερού της δεξαμενής.
Ανοίγουμε μια οπή εμβαδού Α2=2cm2 στον πυθμένα του δοχείου.
i) Υπολογίστε το βάρος του εμβόλου ώστε να μην εξέρχεται πετρέλαιο από το δοχείο.
ii) Αν αντικαταστήσουμε το έμβολο με ένα άλλο διπλάσιας μάζας να βρείτε σε ποιο βάθος θα πρέπει να τοποθετηθεί το έμβολο για να ισορροπήσει.
Αντικαθιστούμε το έμβολο με ένα άλλο αβαρές.
iii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα εκροής όταν θα έχει αδειάσει το μισό δοχείο με το πετρέλαιο. Θεωρείστε ότι το δοχείο που περιέχει το πετρέλαιο μένει ακλόνητο.
iv) Αν η φλέβα που εξέρχεται θέλουμε να έχει μέγιστη τιμή βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου ίση με U/dV=1600J/m2, να βρείτε τη μάζα του πετρελαίου που πρέπει να έχει το δοχείο.
v) Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να αδειάσει το δοχείο στην περίπτωση που το έμβολο είναι αβαρές.
Υπόδειξη να εφαρμόσετε την εξίσωση Bernoulli σε ένα σημείο της επιφάνειας του εμβόλου και ένα στην έξοδο του νερού έχοντας το έμβολο ανέβει κατά y από την αρχική θέση. Επιπλέον η εξίσωση υ2=υ02–2α·y περιγράφει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.
Σε όλη τη διάρκεια του πειράματος το δοχείο που περιέχει το πετρέλαιο βρίσκεται συνεχώς ακλόνητο με κατάλληλο μηχανισμό.
Δίνονται: πυκνότητα νερού ρν=1000kg/m3, η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s2 και η ατμοσφαιρική πίεση patm=105pa.
Απάντηση
Ένα μήνα πριν τις πανελλήνιες δεν συνηθίζω να ανεβάζω ασκήσεις μην αποπροσανατολίζουμε τα παιδιά. Η αλήθεια είναι όμως ότι έχω αρκετές έτοιμες και θεωρω ότι αυτή εκτός του τελευταίου ερωτήματος είναι συμβατή.
Το τελευταίο ερώτημα μπήκε για να επιβεβαιώσω την γνωστή σχέση που είχε αναδείξει ο Μιχαήλ Μιχαήλ για το χρόνο εκροής. Η άσκηση προήλθε από ιδέα της 5ης άσκησης του ακόλουθου συνδέσμου 15 ασκήσεις ρευστοδυναμικής όπου ο χρόνος εκροής υπολογίζεται με ολοκληρωτικό λογισμό και συμπίπτει με αυτόν αν δοθούν οι ίδιες τιμές. Επιπλέον απο το αρχείο αυτό έχει προκύψει μια ακόμη άσκηση που βάλαμε σε διαγώνισμα αλλά είναι λίγο δύσκολη και θα περιμένει…
Καλημέρα Χρήστο.
Και έλεγα ότι μας ξέχασες…
Δυνατό θέμα!
Η διατύπωση: “το έμβολο με ένα άλλο διπλάσιας μάζας να βρείτε σε ποιο
βάθος θα πρέπει να τοποθετηθεί το έμβολο για να ισορροπήσει.”
μήπως θα μπορούσε να αλλάξει, αφού μάλλον δεν τοποθετούμε το έμβολο, απλά ανοίγοντας την τρύπα εισχωρεί αέρας στο δοχείο και κατεβαίνει το έμβολο;
Η παρούσα διατύπωση, εμένα τουλάχιστον δεν μου δημιούργησε την σωστή εικόνα…
Διονύση καλημέρα.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Η τρύπα είναι ανοιχτή εξ αρχής απλώς μετά αντικαθιστούμε το έμβολο με ένα άλλο διπλάσια μάζας και πρέπει να κατέβει με το πετρέλαιο για να ισορροπήσει. Ήθελα να βάλω ερώτημα να βρείτε που θα ισορροπήσει το έμβολο αν απλώς το αφήναμε, αλλά θα μπορούσε να ισχυριστεί κάποιος ότι εφόσον κινείται μπορεί να μην ακινητοποιηθεί. Όπως επίσης τον ίδιο ενδοιασμό είχα αν ρωτούσα βρείτε πως πρέπει να μεταβάλλεται η δύναμη που πρεπει να ασκούμε στο δοχείο για να μένει ακλόνητο όταν υπάρχει ροή
Καλημέρα σας, θα ήθελα να ρωτήσω, γιατί στο ερώτημα iii ως P1 πηραμε αυτή του νερού στο ίδιο ύψος ως ίδια με του πετρελαίου εσωτερικά; Στο εσωτερικό δεν θα είναι P1=Patm+ρ(π)g(H-y)? Αν η αιτιολόγηση είναι ότι “Δεδομένου ότι η δεξαμενή με το νερό είναι πολύ μεγάλη “, μπορείτε μήπως να το εξηγήσετε;
Γιώργο καλησπέρα.
Το σημείο που αναφέρεις είναι λεπτό και έχει συζητηθεί εκτενώς. Δεδομένου ότι ξέχασα ότι είσαι μαθητής το πρόσθεσα και στη λύση μην αφήνεται στον άερα.
Η πίεση στο εσωτερικό δεν είναι αυτή που αναφέρεις καθώς δεν υπάρχει ισορροπία στο πετρέλαιο.
Το έμβολο είναι αβαρές από όπου προκύπτει ότι σε ένα σημείο εντός και εκτός του αβαρούς εμβόλου η πίεση είναι ίδια. Στο ακόλουθο σχήμα τα σημεία Α και Β είναι στην ίδια ευθεία και το νερό κάθε στιγμή μπορούμε να δεχτούμε ότι είναι σε ισορροπία ή ότι η πίεση στο Β είναι ίση με την στατική πίεση του νερού στο σημέιο αυτό. Δηλαδή p=Patm+ρνg(H-y)
Καλή επιτυχία στις εξετάσεις σου.
Σωστά, δεν είναι σε ισορροπία. Σας ευχαριστώ πολύ για την εξήγηση σας!