by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 30 Νοέμβριος 2013 και ώρα 18:00
Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:
y= 0,2∙ημ2π(t-2,5x+4,5) με tϵR και t ≥ 2,5x-4,5 μονάδες στο S.Ι.
i) Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Να βρεθεί η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t2=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m ≤ x ≤ 0,5 m.
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο …
Η συνέχεια στο Blogspot.
ή
Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος.
Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος.
Διονύση καλησπέρα
Πολύ ωραίο θέμα. Είναι εμφανές ότι η αφόρμηση πηγάζει από τη συζήτηση που τρέχει περί φάσης.
Μου αρέσει αλλά και μου φαίνεται απαραίτητο αυτό που έκανες και καθάρισες τη θέση σου εξ αρχής: έθεσες τον ανισωτικό περιορισμό για τη φάση που οδηγούσε – γιατί όχι – και σε αρνητικούς χρόνους καταγραφής του φαινομένου.
Διονύση πολύ ωραίο θέμα αλλά μήπως θα πρέπει να γνωρίζουμε την αρχική φάση της πηγής που παράγει το κύμα διότι το τελευταίο σημείο μπορεί να έχει φάση και π και 0. Η εξίσωση του κύματος δυστυχώς δεν μας δίνει αυτή την πληροφορία. Όταν το σημείο στη θέση χ=0 έχει φάση 9π το τελευταίο σημείο μπορεί να είναι στη θέση χ =4λ και να έχει φάση π ενώ αν έχει φάση ίση με το μηδέν θα βρίσκεται στη θέση χ=4,5λ. Στη λύση απαίτησες το τελευταίο σημείο να έχει φάση ίση με το μηδέν για μια συγκεκριμένη στιγμή φυσικά. Πως προκύπτει αυτό από την εξίσωση του κύματος;
Καλησπέρα Μανώλη. Σωστά το είδες…
Αριστείδη, αυτό που λες το απέδειξα.
Στο iii) ερώτημα έχω γράψει:
" Τη χρονική στιγμή t1 το κύμα έχει φτάσει σε κάποιο σημείο, έστω Σ, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του. Αλλά αν πάρουμε την εξίσωση της φάσης:
φ=t-2,5x+4,5 t ≥ 2,5x-4,5
και θέσουμε t = 2,5x-4,5 παίρνουμε, φ= 2,5x-4,5-2,5x+4,5=0
πράγμα που σημαίνει ότι σε κάθε σημείο που φτάνει το κύμα, ξεκινά την ταλάντωσή του προς τη θετική κατεύθυνση.".
Στη συνέχεια βέβαια, απαίτησα και από κάθε άλλο σημείο να ισχύει το ίδιο.
Αριστείδη, το ότι για το τυχαίο σημείο t>=2,5χ-4,5 εξασφαλίζει ότι φ>=0, οπότε κάθε σημείο ξεκινά την ταλάντωσή του προς τη θετική κατεύθυνση. Δες τι γράφει ο Διονύσης στο iii) στο τέλος της πρώτης σελίδας.
Διονύση πολύ όμορφο θέμα. Τα σημεία στο iv) θα μπορούσαν να βρεθούν και με το στιγμιότυπο, έτσι;
Καλησπέρα Ελευθερία.
Ναι, προφανώς θα μπορούσαν να βρεθούν και από το στιγμιότυπο, αλλά προτίμησα να χρησιμοποιήσω άλλη τεχνική…
Ναι Ελευθερια αυτο κοιτουσα τωρα στο iv το κυμα εχει φτασει στο χ=1.8m =4.5λ.
Διονύση δεν είχα κάνει ανανέωση και δεν είδα ότι απάντησες ήδη στον Αριστείδη.
Κώστα, αυτό κοίταξα και γω, μέχρι πού έχει φτάσει.
Διονύση καλησπέρα. Είσαι δεινός υπερασπιστής της άποψής σου και ασφαλώς σε τιμά. Θα πω τι βλέπω σ΄αυτό που μας έδωσες απόψε. Καταρχήν να ομολογήσουμε ότι ο περιορισμός που βάζεις για το χρόνο είναι εντελώς ασυνήθιστος απο όσα έχω δει εγώ. Εγώ νομίζω ότι αντιλαμβάνεσαι απολύτως ότι μόνο έτσι η φάση του …….(δεν το είπα) γίνεται δεσμευτικά φάση ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου. Εγώ να παρατηρήσω: 1) Επειδή ισχύει και πάλι φαντάζομαι t μεγαλύτερο ή ίσο απο μηδέν, η φάση σου έχει νόημα για x μεγαλύτερο ή ίσο απο 1,8 m. Είναι λογικό αφού υπάρχει στο κύμα αρχικό στιγμιότυπο μέχρι εκεί. 2) Επειδή τα πράγματα τώρα είναι κάπως έτσι που δεν μπορούμε να έχουμε κοινό χρόνο για οποιοδήποτε σημείο ακόμη και για αυτά που δεν έχουν αρχίσει ακόμη ταλάντωση, στην ουσία η φυσική σου διαίσθηση σου επέβαλε να δηλώσεις ακόμη και ότι διαδίδεται απο αριστερά πρός τα δεξιά πράγμα που δεν με ενθουσιάζει γενικά αφού όταν κοιτάμε ένα σχοινί αυτό που είναι αριστερά για σένα είναι δεξιά για μένα, ενώ στη φάση βλέπω ότι την ίδια στιγμή όσο μεγαλύτερο το x, τόσο μικρότερο το φ, δηλαδή διαδίδεται πρός τα θετικά του άξονα που βάλαμε. Φυσικά στη συνάρτηση φάσης που δίνεις έχεις νομίζω ξεχάσει το 2π. Θα σκεφτώ και άλλο σε αυτό που δίνεις στο υπόσχομαι, αλλά το σύνηθες είναι για το χρόνο να εννοείται συνθήκη t > ή ίσο απο μηδέν. Νομίζω όμως ότι αυτός ο απλός περιορισμός για το χρόνο προυποθέτει να αναγνωρίσουμε φάση κύματος (το είπα).
Συγχώρεσέ μου την επάνοδο. Νομίζω ότι η μαγεία του κύματος είναι ότι το παρακολουθεί ένας παρατηρητής με ένα ρολοι. Νομίζω ότι όπως το θέτεις χρειάζονται άπειροι παρατηρητές με άπειρα ρολόγια που αρχίζουν τη μέτρηση όταν περνάει απο μπροστά τους. Η μαγεία χάνεται.
Καλημέρα συνάδελφοι και καλή Κυριακή.
Η εξίσωση του κύματος, έχει δίπλα της το πεδίο ορισμού της. Για μεγαλύτερη σαφήνεια πρόσθεσα ότι tϵR.
Μπορεί να είναι ασυνήθιστο αυτό. Άλλωστε κάποιος λόγος υπάρχει, που να μην δώσω την άσκηση με τον κλασσικό τρόπο…
Όταν λοιπόν δίνω το πεδίο ορισμού και δεν έχω δώσει ότι t>0, σημαίνει ότι μπορώ να έχω και αρνητικούς χρόνους…
Αν στην εξίσωση του κύματος θέσουμε t=0, x=0, θα βρούμε ότι τη στιγμή αυτή το σημείο στη θέση x=0, έχει εκτελέσει 4,5 ταλαντώσεις οπότε το κύμα έχει ήδη φτάσει στη θέση 1,8m και το στιγμιότυπο, είναι αυτό του σχήματος.
Έχει νόημα το -4,5s; Ναι, 4,5s πριν τη στιγμή που μηδενίσαμε (ΜΟΝΟ ένας παρατηρητής και ΜΟΝΟ για μια φορά) το χρονόμετρο, το κύμα έφτασε στο σημείο χ=0.
Δεν χάνεται καμιά μαγεία Μενέλαε.
ΔΙΟΝΥΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΔΕΙΞΗ. ΔΕΝ ΕΙΧΑ ΠΡΟΣΕΞΕΙ ΤΟΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΘΕ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΙ Ο ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΦΑΣΗ ΕΧΕΙ ΞΕΧΑΣΕΙ ΤΟ 2Π ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΠΗΡΕΑΖΕΙ ΦΥΣΙΚΑ ΤΗΝ ΛΥΣΗ. ΔΙΟΝΥΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΜΠΡΑΒΟ ΔΙΟΤΙ Ο ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΕΙΣ ΔΕΝ ΓΡΑΦΕΤΑΙ ΣΥΧΝΑ (ΚΑΘΟΛΟΥ) ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΣ Ο ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΡΥΒΕΙ ΤΗΝ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Η ΟΠΟΙΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η΄0 Ή Π. ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΔΥΟ