by 
Η Κέλλυ και ο Διονύσης είναι σε διακοπές και παίζουν με την μπάλα στην παραλία. Ο Διονύσης που φέτος θα πάει στο δεύτερο έτος στο Φυσικό ρωτάει την Κέλλυ που μόλις τελείωσε την Α’ Λυκείου: ” Aν πετάξεις την μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω και αυτή καθώς κινείται δέχεται δύναμη από τον αέρα αντίρροπη της ταχύτητας και μέτρου ανάλογου του μέτρου της ταχύτητας, θα κάνει περισσότερο χρόνο να ανέβει ή να κατέβει; 🙂 ” Και του λέει η Κέλλυ: “Nαι; Για πες μου εσύ που μας κάνεις τον έξυπνο, αν δεν υπήρχε καθόλου δύναμη από τον αέρα τότε η μπάλα, θα έμενε για περισσότερο συνολικό χρόνο στον αέρα , απ’ ότι με δεδομένη τη συγκεκριμένη αντίσταση, ή για λιγότερο; Σου δίνω g=9.80665 m/s2 🙂 ”
Πως θα απαντήσουν τα παιδιά;
Ωραίο Κωνσταντίνε.
Χωρίς αντίσταση του αέρα προφανώς ο συνολικός χρόνος είναι 2υ0/g
Με αντίσταση από τον αέρα μεγαλώνει ο χρόνος καθόδου, νομίζω, άρα και ο συνολικός χρόνος κίνησης.
Η μορφή της αντίστασης του αέρα είναι της μορφής Fαντ = – bυ ;
Γεια σου Κώστα,ναι -bυ,b>0. Τα παιδια πρεπει να απαντησουν με βαση τις γνωσεις τους στο σταδιο σπουδων που βρισκονται. Ο Διονυσης γνωριζει Διαφορικο και Ολοκληρωτικο Λογισμο ενω η Κέλλυ οχι.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Μια απάντηση, χωρίς χρήση χαρτιού και μολυβιού (καλοκαίρι γαρ…)
Για το κορίτσι:
Η άνοδος είναι πιο σύντομη αφού η επιτάχυνση είναι μεγαλύτερη από g, ενώ κατά την κάθοδο η επιτάχυνση είναι διαρκώς μικρότερη από g, για την ίδια απόσταση.
Για το αγόρι.
Ο χρόνος κίνησης παρουσία αέρα είναι μεγαλύτερος, αφού στην κάθοδο είναι πολύ μεγαλύτερος ο χρόνος πτώσης, αφού πιθανόν το σώμα θα αποκτήσει και οριακή ταχύτητα, οπότε θα πάψει και να επιταχύνεται…
Καλησπέρα σε όλους.
Η καλοκαιρινη ραστωνη δε με αφηνει να ασχοληθω συστηματικα!με τα ωραια θεματα που εχουν αναρτηθεί. Αναφερομαι στις ασκησεις του Διονυση που δεν εχω καταφέρει να δω.
Τωρα βρηκα λιγο χρονο και βρηκα και σήμα ! (ειμαι απέναντι στον Διονύση στην Κεφαλονιά) και ειδα το ερωτημα του Κωνσταντίνου.
Κωνσταντινε συμφωνώ απόλυτα με τον Διονύση. Να συμπληρώσω σε καθε ιδια θεση που θα βρεθεί το σωμα στην ανοδο και περνώντας στην καθοδο στη φαση ανοδου θα έχει μεγαλύτερο μετρο ταχύτητας απο ΑΔΕ.
u=dx/dt=>dt=dx/u για καθε ιδιο dx στην ανοδο το dt θα ειναι μικρότερο. Οποτε και συνολικα ταν<τκαθ.
Κατι παρόμοιο εδω
καλησπέρα σε όλους
πολύ καλή Κωνσταντίνε
(αν την είχα σκεφτεί το βιβλίο μου θα έχε τίτλο 183 Σπαζοκεφαλιές…)
συμφωνώ με τον Διονύση διότι προτιμώ τις απαντήσεις “με το νου”
με δύο μικροδιαφορές: επιβράδυνση και όχι επιτάχυνση κατά την άνοδο και ίδια απάντηση και για το αγόρι, διότι δεν ξέχασε αυτά που έμαθε στην Α Λυκείου
Καλησπέρα σε ολη την παρεα που μου κανει την τιμη να επισκεφθει την αναρτηση. Ως προς την ερωτηση στο αγορι ο Διονυσης απανταει διαισθητικα. Δεν λεω οτι κανει λαθος ομως καμια φορα η διαισθηση ξεγελαει. Υπαρχουν αντικρουομενοι παραγοντες που επηρεαζουν τον χρονο κινησεως. Οταν υπαρχει αντισταση αερα η μπαλα κινειται πιο αργα και για αυτο ο χρονος κινησεως μεγαλωνει. Ομως η μπαλα δεν φτανει τοσο ψηλα και για αυτο ο χρονος κινησεως μικραινει. Μαλλον δυσκολο με την διαισθηση να δουμε ποιος παραγοντας υπερισχυει. Αν καταλαβα καλα Διονύση συγκρινεις τους δυο χρονους πτωσεως,με ή χωρις αντισταση αερα.Αυτο που λες οτι κατα την καθοδο παρουσια αερα είναι πολύ μεγαλύτερος ο χρόνος πτώσεως, δεν προκυπτει απο καπου για τους λογους που εγραψα πριν. Αλλα και μεγαλυτερος να ειναι αυτος ο χρονος,δεν ξερουμε τι συμβαινει κατα την ανοδο,οπου πιθανον ο χρονος να ειναι αρκετα μικροτερος,οποτε συμπερασμα ουδεν!
Παρτε ως δεδομενο οτι η μπαλα δεν αποκταει οριακη ταχυτητα.
Βαγγελη και εγω προτιμω τις απαντησεις με το νου και μαλιστα φανατικά. Οπως οι απαντησεις του Χρηστου και του Διονυση στο ερωτημα προς το κοριτσι ή ας πουμε οπως η απαντηση σε αυτο το ερωτημα: Μία γνωστή άσκηση χωρίς χαρτί και μολύβι. Oμως μια απαντηση με το νου πρεπει να ειναι αυστηρη και χωρις κενά. Ως προς την ερωτηση προς το αγορι,μαλλον πρεπει κανεις να κανει αναλυτικο υπολογισμο για να ειναι σιγουρος.
Γεια σου Κωνσταντίνε για την απάντηση του αγοριού έχω κάνει κάποιες σκέψεις χωρίς να θεωρώ πως είναι απόδειξη προσπαθώντας να χρησιμοποιήσω κάποια δεδομένα και την γραφική παρασταση υ – t. Πολύ πιθανό να μην μπορώ να εξάγω ένα γενικό συμπέρασμα αφού χρησιμοποιώ ποιοτικές γραφικές παραστάσεις θεωρώντας την γραφική παράσταση υ – t της κίνησης του σώματος με αέρα – αντιστάσεις καμπύλη.
Γεια σου Παύλο. Μαλλον πρεπει να μεγαλωσει λιγο το σχημα σου διοτι δυσκολευομαι να δω τις γραφικες παραστασεις. Παντως απ οτι βλεπω διαφωνεις με την υπολοιπη παρεα. 🙂
Βάζω την λύση και σε σύνδεσμο για να είναι πιο ευδιάκριτα τα σχήματα. Να προσθέσω ότι την θεώρηση που έκανα και στην οποία αντιστοιχεί το δεύτερο σχήμα την επαναλαμβάνω για όλο και μεγαλύτερα b. Διαφωνώ Κωνσταντίνε αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος 🙂 .
https://drive.google.com/file/d/1vmaXreSqIObBSog7KS-a1VyXdZ8v2Izd/view?usp=drivesdk
«Κι εσύ δίκιο έχεις»! (Νασρεντίν Χότζα) 🙂
Καλημέρα Κωνσταντίνε, καλημέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε, είπαμε φυσική διακοπών!!! Οπότε πράγματι διαισθητικά απάντησα.
Αφού με … αποπήρες, το έριξα πρωί-πρωί, εν μέσω καύσωνα με τις διαφορικές !!!
Δουλεύω με σώμα μάζας 1kg, με υο=20m/s και δύναμη αντίστασης F=-kυ=-0,1υ.
Χωρίς αντίσταση προφανώς tαν=tκ=2s και hmax=20m
Για την άνοδο:
Αλλά εδώ … κόλλησα…
Δεν νομίζω ότι λύνεται αναλυτικά η εξίσωση αυτή.
Πάντως με αντικατάσταση t=2s βρίσκω y= 200-1000(1-0,82)=200-180=20m, συνεπώς ο χρόνος πτώσης είναι μικρότερος από 2s, οπότε ο συνολικός χρόνος είναι μικρότερος από 3,8s.
καλό μεσημέρι σε όλους,
τώρα είδα την, πολύ καλή, παλιά Κωνσταντίνε και δεν πολυκατάλαβα τη λύση,
(ίσως διότι Ίλιον, 41ο C)
η δική μου προσέγγιση
για να μόλις και το κάτω σώμα, πρέπει το ελατήριο, που αρχικά είναι συμπιεσμένο κατά (F+mg)/k, να επιμηκυνθεί κατά mg/k
μόλις φύγει η F, το πάνω σώμα θα βρίσκεται σε θέση όπου το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά (F+mg)/k, θα εκτελέσει ταλάντωση με ΘΙ όπου το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά mg/k, θα βρίσκεται πιο κάτω από τη ΘΙ του κατά F/k και θα βρεθεί πιο πάνω κατά 2mg/k, όπου το ελατήριο θα είναι επιμηκυμένο κατά mg/k, και επειδή F/k=2mg/k προκύπτει ότι F =2mg
(προσθέτω και μια ερώτηση: πόση δύναμη δέχεται αρχικά το κάτω σώμα από το δάπεδο;
απάντηση: 4mg)
Απάντηση σε Κώστα,Διονύση.Χρηστο.Βαγγελη.Παυλο. Καλησπέρα σε ολους.Κάνω αναλυτικό υπολογισμό του χρόνου κινήσεως της μπάλας,παρουσία αντίστασης αέρα η οποία κατά μέτρο είναι της μορφής bυ , b>0
Ότι βλέπετε στις διαφορικές εξισώσεις κινήσεως είναι μέτρα διανυσμάτων.Η λογική αυτή μου φαίνεται πιο απλή από ότι με αλγεβρικές τιμές.Δεν χρειάζεται να λύσουμε κάποια διαφορική εξίσωση,μια απ’ ευθείας ολοκλήρωση λύνει το πρόβλημα.
Τελικά αποδεικνύεται ότι ο χρόνος κινήσεως παρουσία αέρα είναι μικρότερος από ότι στο κενό.Ενας αναλυτικός υπολογισμός πολλές φορές διαψεύδει αυτό που λέει η διαίσθηση.Τα μαθηματικά μας τα λένε ολα.Αυτο είναι και η κεντρική ιδέα αυτής της αναρτήσεως.
Ο υπολογισμος
?