by Δημοσιεύτηκε από τον/την ΑΝΔΡΕΑΣ ΡΙΖΟΠΟΥΛΟΣ στις 24 Οκτώβριος 2015 και ώρα 11:00
Μεταλλική πλάκα εμβαδού Α = 10cm2 και μάζας m = 1kg, αφήνεται από την ηρεμία να ολισθήσει σε κεκλιμένο επίπεδο, η επιφάνεια του οποίου είναι στρωμένη ομοιόμορφα με νευτώνειο ρευστό πάχους L = 1,6mm και συντελεστή ιξώδους n = 0,8 Pa.s
α) Να γράψετε την εξίσωση του μέτρου τη τριβής που ασκεί το ρευστό σε συνάρτηση με την ταχύτητα.
Να γράψετε την εξίσωση του μέτρου της επιτάχυνσης της πλάκας σε συνάρτηση με την ταχύτητα.
β) Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή, η πλάκα θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα και να βρείτε το μέτρο της.
γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση a = f(υ).
δ) Ποιες ενεργειακές μετατροπές συμβαίνουν
i) τη στιγμή που η ταχύτητα είναι υ = υορ/2;
ii) μετά την απόκτηση της οριακής ταχύτητας;
Δίνεται g = 10m/s2 και η γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου φ = 300.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 25 Οκτώβριος 2015 στις 10:05
Καλημέρα Ανδρέα.
Μια πολύ καλή ανάρτηση με άρωμα…επαγωγής!
Καλημέρα Ανδρέα
Παρά το γεγονός ότι η δομή της άσκησης μου αρέσει, έχω σοβαρούς προβληματισμούς όσον αφορά στην ορθότητά της.
Κατά την εξαγωγή της σχέσης (3.22) του σχολικού βιβλίου είναι κρίσιμο το δεδομένο ότι η ροή είναι μόνιμη.
Το δεδομένο αυτό σε συνδυασμό με τις εξισώσεις Navier- Stokes μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ∂yvx = σταθερό.
Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ως προς y στην θέση της πάνω πλάκας είναι ίσος με τον μέσο ρυθμό μεταβολής από την κάτω στην πάνω πλάκα.
Ταυτόχρονα το πεπερασμένο της πλάκας δημιουργεί δυσκολίες στις συνοριακές συνθήκες στα άκρα της.
Διονύση σ΄ευχαριστώ. Βαγγέλη προβληματίζομαι για τις συνθήκες στα άκρα, αλλά δε νομίζω ότι επηρεάζει αυτό την ορθότητα της άσκησης αφού το ρευστό ανήκει στα λεγόμενα Νευτώνεια ρευστά στα οποία η βαθμίδα ταχύτητας είναι σταθερή ή αλλιώς η εσωτερική τριβή είναι ανάλογη της βαθμίδας ταχύτητας. Τα Νευτώνεια ρευστά δεν είναι παραδοχή, είναι πραγματικά ρευστά μπορεί να είναι νερό, λάδι, γλυκερίνη. Μάλιστα βρήκα και ένα βίντεο που δείχνει την παράξενη συμπεριφορά μη Νευτώνειων υγρών.
Ανδρέα στα Νευτώνεια ρευστά η βαθμίδα ταχύτητας δεν είναι υποχρεωτικά σταθερή.
Στα Νευτώνεια ρευστά η εσωτερική τριβή είναι ανάλογη της βαθμίδας της ταχύτητας χωρίς να είναι υποχρεωτικά σταθερή.
Για παράδειγμα στην ροή Poiseuille είναι γραμμική συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της διατομής.
Στην ροή Couette ανάμεσα σε δύο πλάκες η βαθμίδα της ταχύτητας είναι σταθερή σαν αποτέλεσμα των εξισώσεων Navier – Stokes για μόνιμη ροή.
Μια συμπληρωματική τοποθέτηση
Στην περίπτωση της μόνιμης ροής οι εξσώσεις Navier- Stokes οδηγούν στην εξίσωση
d2 v / d y2 = 0
με λύση dv / dy = σταθερό.
Στην περίπτωση της μη μόνιμης ροής οι εξσώσεις Navier- Stokes οδηγούν στην εξίσωση διάχυσης
λ ∂2 v / ∂ y2 = ∂v / ∂t
με λύσεις δραστικά διαφορετικές.
Ποιοτικά πρόκειται για το εξής γεγονός:
Η πλάκα επιβάλει στο στρώμα του υγρού που βρίσκεται σε επαφή με αυτήν την ταχύτητά της. Για να προσαρμοστούν τα στρώματα που βρίσκονται σε "μεγαλύτερο βάθος" απαιτείται κάποιο χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο η ταχύτητα της πλάκας αλλάζει κ.ο.κ.
Βαγγέλη ποιο είναι αυτό το χρονικό διάστημα;
Ο χρόνος που θέλει ένα κύμα να διασχίσει 1,6mm;
Η ταχύτητα της πλάκας πόσο έχει διαφοροποιηθεί σε αυτόν τον χρόνο;
Γιάννη καλησπέρα.
Με την τοποθέτησή σου ανοίγεις ένα τεράστιο θέμα.
Έχω ένα αποτέλεσμα για μόνιμη ροή.
Πιθανόν σε κάποιο φαινόμενο μη μόνιμης ροής να μπορώ να την θεωρήσω σχεδόν μόνιμη.
Έχω το δικαίωμα να χρησιμοποιήσω το αποτέλεσμα για την μόνιμη ροή χωρίς σχολιασμό;
Πολύ περισσότερο έχω το δικαίωμα να βάλω σε εξετάσεις θέμα μη μόνιμης ροής που χρησιμοποιεί συμπεράσματα της μόνιμης ακόμη και αν η ροή είναι σχεδόν μόνιμη;
Επανερχόμενος στο σχόλιό σου:
Πιθανόν οι λύσεις που προκύπτουν από την εξίσωση διάχυσης να είναι ίδιες με τις λύσεις που
προκύπτουν από την εξίσωση Laplace και το προφιλ ταχυτήτων να είναι σχεδόν γραμμικό.
Για να υιοθετήσουμε όμως ένα τέτοιο συμπέρασμα οφείλουμε να το τεκμηριώσουμε.
ΥΓ
Φοβάμαι ότι τα ατοπήματα που πιθανόν να κάνουμε στα ρευστά είναι πολύ περισσότερα από τα ατοπήματα που κάνουμε στις φθίνουσες ή τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις.
Για τον λόγο αυτό κάποιες φορές γίνομαι "μίζερος" στην κριτική μου.
Θα συμφωνήσω στο ότι τα ατοπήματα που θα ακολουθήσουν τα ρευστά θα είναι πολλά.
Τώρα για το τι έχουμε δικαίωμα να κάνουμε:
Ρίχνεις νερό σε ένα από αυτά.
Αν εφαρμόσεις εδώ τον νόμο Bernoulli κάνεις λάθος.
Η ροή δεν είναι μόνιμη και το λάθος μεγάλο.
Όταν όμως αδειάζει μια στέρνα όγκου 20 κ.μ. για να ποτίσεις το χωράφι τότε η παροχή της κάθε στιγμή υπολογίζεται με παρανοϊκή ακρίβεια από τον εν λόγω νόμο.
Θα ήταν σπατάλη χρόνου και δυνάμεων η χρήση άλλων εξισώσεων όπως λ.χ. αυτής που πρότεινε ο Διονύσης Μητρόπουλος. Η οποία όμως δίνει καλό αποτέλεσμα στην περίπτωση των συγκοινωνούντων δοχείων.
Γιάννη, παίρνοντας αφορμή από το τελευταίο σχόλιό σου ρωτάω σαν πρωτοετής φοιτητής.
Για ποιο λόγο κύριε η ροή την περίπτωση της δεξαμενής μπορεί να θεωρηθεί σχεδόν μόνιμη ενώ στην περίπτωση των συγκοινωνούντων δοχείων όχι;
Πρέπει να θυμάμαι κατά περίπτωση;
Να το πω αλλιώς:
Υπάρχουν ένα τσούρμο ασκήσεις με βαρέλια που έχουν τρύπα και ζητάμε σε ποιο σημείο του εδάφους θα πάει το νερό.
Κανονικά η ροή δεν είναι μόνιμη. Το θεώρημα Τορικέλι ως προκύπτον από νόμο Μπερνούλι δεν ισχύει. Εκτός αν μια βρυσούλα κρατάει την στάθμη σε σταθερό ύψος αναπληρώνοντας το νερό που χύνεται. Όμως οι ασκήσεις δεν βάζουν βρύσες.
Είναι λανθασμένες ασκήσεις;
Γράφαμε μαζί Βαγγέλη. Όταν η ταχύτητα (και η επιτάχυνση) του νερού στο μεγάλο δοχείο είναι αμελητέα η ροή είναι "στιγμιαία" μόνιμη.
Γράφαμε μαζί
Ακόμη και αν είναι σωστές, πρέπει να διδάξω τέτοιες ασκήσεις;
Πολύ περισσότερο έχω δικαίωμα να εξετάσω βάσει τέτοιων θεμάτων;
Πρέπει ,κατά τη γνώμη μου, Βαγγέλη.
Καραδοκεί ο κίνδυνος να δοθεί άσκηση με συγκοινωνούντα δοχεία στενά οπότε η αηδία θα γίνει.
Αυτά πρέπει να αποφευχθούν. Οι εδώ συζητήσεις βοηθούν σ' αυτήν την κατεύθυνση.
Ο Διονύσης Μητρόπουλος πρότεινε την:
Η τιμή του ολοκληρώματος είναι ασήμαντη για στέρνα που αδειάζει αλλά σημαντική για στενά δοχεία.
Αν θεωρείς άτοπα τα θέματα με τρύπες στα δοχεία ποια θέματα θα μπορούσαμε να διδάξουμε και να εξετάσουμε;
Μόνο θέματα στα οποία το νερό αναπληρώνεται;
Γιάννη αμελητέα σε σχέση με τι;
Το αμελητέον μπορώ να το ξέρω πριν λύσω τις εξισώσεις Euler, μετά την λύση τους ή το υποδεικνύει το πείραμα;
Για παράδειγμα στις εξισώσεις Euler ο χρονικός ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του ρευστού αφαιρείται από την επιτάχυνση της βαρύτητας. Το γεγονός ότι η εμπειρία που έχω είναι ότι η επιτάχυνση της ελεύθερης στάθμης του νερού στην δεξαμενή είναι αμελητέα σε σχέση με το g με οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μάλλον μπορώ να παραλείψω τον χρονικό ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. Τι γίνεται όμως κοντά στην οπή που η ταχύτητα και η επιτάχυνση πολλαπλασιάζονται με ένα παράγοντα 1000000;
Αν κάποιος μας διαβάσει αύριο θα πάθει παράκρουση.
Η σχέση αιτίου αιτιατού στην σειρά των σχολίων έχει ανατραπεί.
Πριν κάποια ώρα έκανα μια ανάρτηση.
Στο τέλος λύνω ένα πρόβλημα δυο φορές θεωρώντας το νερό ιδανικό υγρό και την άλλη όχι ιδανικό.
Διαφορά 6mm στα 1,25m.
Προσέγγιση αποδεκτή επομένως.
Θα έλεγα λοιπόν το εξής:
Υπολογίζουμε με ακρίβεια απόλυτη την ταχύτητα εκροής. Αν η διαφορά μας από την πρόβλεψη Τορικέλι είναι στο 5ο δεκαδικό ψηφίο τότε αποδεχόμαστε την ροή ως μόνιμη με πολύ καλή προσέγγιση.
Διαβάζουμε λ.χ. στον Αλεξόπουλο ότι ο νόμος Μπερνούλι δίνει πολύ καλά αποτελέσματα στα αέρια, για ταχύτητες όχι πολύ μεγάλες,μολονότι και συμπιεστά είναι και η ροή είναι τυρβώδης.
Τελικά τι ονομάζουμε νευτώνειο ρευστό; Στις σημειώσεις μου από το Πανεπιστήμιο της Πάτρας βρήκα ότι είναι εκείνο που η διατμητική τάση είναι ανάλογη της βαθμίδας ταχύτητας, μάλιστα βλέπω και μια γραφική παράσταση αναλόγων ποσών. Η άσκηση είναι λάθος δηλαδή; Δε μπορεί να στηριχτεί στη θεωρία του Σχολικού βιβλίου; Δεν μπορεί να πέσει σε εξετάσεις;
Καλημέρα Ανδρέα
Καλά το γράφεις:
Νευτώνειο είναι το ρευστό στο οποίο η διατμητική τάση είναι ανάλογη της βαθμίδας ταχύτητας.
Δηλαδή Τ ~ dv/dy
Για να γίνει η παράγωγος dv/dy = Δv / Δy απαιτούνται συνθήκες που δεν τις έχεις.
Το αν μπορεί να στηριχτεί στην θεωρία του σχολικού βιβλίου και να πέσει στις εξετάσεις είναι άλλο θέμα.
Βαγγέλη σε "άπειρη" επιφάνεια δεν ισχύει το ότι dv/dy = Δv / Δy;
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 26 Οκτώβριος 2015 στις 12:30
Γιάννη καλημέρα.
Μελετώντας τον μόνιμη ροή ενός Νευτώνειου ρευστού ανάμεσα σε δύο άπειρες επιφάνειες που η μία είναι ακίνητη και η άλλη κινείται με σταθερή ταχύτητα v0 καταλήγουμε στο συμπέρασμα
(λύνοντας τις εξισώσεις N-S ή ακολουθώντας λογική παρόμοια με αυτήν που ακολούθησε ο Διονύσης στην ροή Poiseuille )
ότι d2v /dy2 =0 από την οποία προκύπτει ότι dv /dy = σταθερό.
Επομένως, η γραμμική κατανομή ταχυτήτων δεν είναι υπόθεση ( όπως αναφέρει ο Αλεξόπουλος) αλλά συμπέρασμα που απορρέει από την υπόθεση του Νευτώνειου ρευστού τον δεύτερο νόμο της κίνησης και την εξίσωση συνέχειας.
Βαγγέλη απορρέει από τις εξισώσεις Ν-S ή αυτές απορρέουν από το πειραματικό δεδομένο πως η τριβή είναι ανάλογη της επιφάνειας και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης;
Στην ανάρτησή μου "το πραγματικό υγρό Νο 1" ξεκινώντας από το πειραματικό δεδομένο ότι η τριβή είναι ανάλογη της επιφάνειας και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης δείχνω ότι dυ/dz= σταθ.
Δεν την εξέλαβα επομένως ως υπόθεση αλλά ως κάτι που προκύπτει από την Γεωμετρία (σταθερή επιφάνεια Α). Η μεταβολή της επιφάνειας στην ροή Poiseuille μεταβάλλει την dυ/dz.
Αυτό το "υπόθεση του Νευτώνειου υγρού" πειραματική προέλευση δεν έχει;
Οι εξισώσεις Ν-S προηγήθησαν των πειραμάτων ή προσπάθησαν να καλύψουν το πείραμα;
Καλησπέρα Γιάννη
Από όσο μπορώ να γνωρίζω δεν υπάρχει πειραματικός νόμος της μορφής
Η δύναμη τριβής μεταξύ των στρωμάτων του ρευστού είναι ανάλογη της ταχύτητας και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης.
Οι εξισώσεις Navier Stokes είναι ο δεύτερος νόμος της κίνησης για ένα στοιχειώδες τμήμα του ρευστού. Στην συνισταμένη των δυνάμεων έχει προστεθεί η δύναμη τριβής που ασκεί το ένα στρώμα στο άλλο. Η δύναμη αυτή εμφανίζεται λόγω σχετικής κίνησης του ενός επί του άλλου. Επομένως υπάρχει λόγω διαφοράς στην ταχύτητα των στρωμάτων.
Αν θεωρήσουμε ένα στρώμα πάχους dh τότε η δύναμη τριβής είναι ανάλογη του ρυθμού dv/dh. Προφανώς μπορούν να οριστούν εννέα τέτοιοι ρυθμοί.
Όσον αφορά την δύναμη τριβής ανά μονάδα επιφάνειας υπάρχουν εννέα τέτοιες δυνάμεις οι οποίες αποτελούν τον τανυστή καταπόνησης (stress tensor).
Σύμφωνα με την υπόθεση Stokes o τανυστής καταπόνησης είναι ανάλογος των ρυθμών μεταβολής της ταχύτητας.
Η υπόθεση Stokes δεν είναι άμεσα επιβεβαιώσιμη. Όμως τα συμπεράσματα πο&u
Συνέχεια σχολίου από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 26 Οκτώβριος 2015 στις 18:59
Η υπόθεση Stokes δεν είναι άμεσα επιβεβαιώσιμη. Όμως τα συμπεράσματα που προκύπτουν από αυτήν συμφωνούν με το πείραμα.
Αντιλαμβάνεσαι ότι ένα πειραματικό δεδομένο για την τριβή που ασκεί το ρευστό στην πλάκα στην ροή Couette "είναι πολύ λίγο" για να περιγράψει τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των στοιχειωδών τμημάτων του ρευστού.