by 
Ομογενές σώμα σχήματος κύβου ακμής α και μάζας m εφάπτεται με μια έδρα του, σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως θ με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Να βρεθεί η συνθήκη, ώστε ο κύβος να ανατρέπεται περί την κατώτερη ακμή του Γ, όταν αφεθεί ελεύθερος. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κύβου ως προς μια ακμή του, ίση με 2mα2/3.
Ενδεικτική λύση ΑΝΑΤΡΟΠΗ ΚΥΒΟΥ ΠΟΥ ΔΕΝ ΟΛΙΣΘΑΙΝΕΙ
Καλημέρα συνάδελφε κ. Αλεβιζόπουλε.
Με προβληματίζεις για να μην σου πω ότι μου βάζεις ζόρικα
Να σου πως τις πρώτες σκέψεις μου …
Και στον τίτλο φαίνεται να διερευνάς ακίνητο κύβο που δεν ολισθαίνει και στην ανάλυση σου για τις δυνάμεις φαίνεται να δέχεσαι ότι οι επιταχύνσεις είναι μόνο οι αεx και αεy ….γιατί λοιπόν προκύπτει διαφορετικό αποτέλεσμα ;
Μετά αναρωτήθηκα που είναι η κεντρομόλος ως προς τον στιγμιαίο άξονα ;….ή οφείλω αν ο στιγμιαίος άξονας επιταχύνεται να δω και την δύναμη D' Alembert ;
Δεν είμαι σίγουρος
Θα το δω λίγο αργότερα … γιατί βιάζομαι και η βιασύνη δεν είναι ότι καλύτερο για την περίπτωση .
Να σαι καλά.
Καλημέρα κ.Γκενέ και ευχαριστώ για την ενασχόληση σας !
Η εργασία αυτή αφορμάται από μια απλή άσκηση δυναμικής στην οποία ένας κύβος κατηφόριζε σε ένα κεκλιμένο επίπεδο. Σκέφτηκα λοιπόν να βρω την συνθήκη ανατροπής του κύβου όταν αυτός αφεθεί ελεύθερος στο κεκλιμένο κινούμενος χωρίς να ολισθαίνει.
Νομίζω ότι είναι ξεκάθαρο ότι δεν αντιπαραβάλω το αποτέλεσμα μου με το δικό σας. Η μελέτη σας με βοήθησε στο να φτάσω στην λύση του δικού μου προβλήματος γι ‘αυτό και την ανέφερα.
Όσον αφορά το θέμα της επιτάχυνσης του σημείου επαφής , νομίζω ότι εάν αc είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας C του κύβου κατά την χρονική στιγμή t=0, αυτή θα είναι επιτρόχια επιτάχυνση, διότι η ταχύτητα του κέντρου μάζας την στιγμή αυτή είναι μηδενική.
Αν είχαμε ολίσθηση τότε :
Ο κύβος εκτελεί κίνηση που μπορεί να αναλυθεί σε μια μεταφορική κίνηση προς την κατεύθυνση Γx της γραμμής μέγιστης κλίσεως του κεκλιμένου επιπέδου και μιας στροφικής κίνησης περί την ακμή ανατροπής Γ. Έτσι το κέντρο μάζας έχει την χρονική στιγμή t=0 μεταφορική επιτάχυνση a C(μ )= (d^2xc/dt^2)i και επιτάχυνση λόγω περιστροφής αc(π)=αγων Γc όπου αγων η γωνιακή επιτάχυνση του κύβου την στιγμή t=0.
Τέλος για την δύναμη D' Alembert δεν μπορώ να βοηθήσω .Οι γνώσεις μου δεν φτάνουν εκεί ακόμα…
Και πάλι ευχαριστώ για τον χρόνο που διαθέσατε..
Καλησπέρα κ. Αλεβιζόπουλε …και πάλι …
κοίταξα όλες τις πράξεις σου δεν βρίσκω λάθος …
Συνεπώς το θέμα που θέτεις έχει όχι απλά βάση αλλά αποτελεί για εμένα γρίφο σοβαρό
Πάντως
αν με ρώταγαν εμένα ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αφήσω ένα κύβο επί ράμπας και να ανατραπεί χωρίς να ολισθήσει….
Θα απαντούσα α) για να μην ολισθήσει απαιτείται εφθ > (α/α) δηλαδή εφθ > 1. ( Σε κάθε άλλη περίπτωση η ροπή του ζεύγους δημιουργεί ευσταθή ισορροπία
Άρα για να ανατραπεί χωρίς ολίσθηση ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι μ(ορ)>1
Εσύ υπολογίζεις ένα άλλο τύπο για τον οποίο με μ(ορ)=1 για παράδειγμα δίνει ότι υπάρχει ανατροπή για κάθε γωνία μικρότερη των 45 μοιρών, η για μ(ορ)=0.8 ότι ανατρέπεται χωρίς να ολισθαίνει για κάθε γωνία μικρότερη των 21 μοιρών . Εξ αρχής διαισθάνομαι ότι η απάντηση είναι παράλογη … αφύσικη … Αλλά δοκιμάζω να ελέγξω τις πράξεις σου και δεν βρίσκω το λάθος …
Σε κάθε περίπτωση η δική σου (8) σχέση προέκυψε από την ανισότητα Τ<μΝ και άρα Θα εξασφάλιζε μόνο την μη ολίσθηση Η ανατροπή απαιτεί α(γ)>0 οπότε από την σχέση σου (1) θα προέκυπτε ότι εφθ >[(4α)/(3g)]
Θα επανέλθω γιατί το πρόβλημα με … τσάντισε .
Απάντηση
Καλησπέρα Βλάση, καλησπέρα Μήτσο.
Στο πρόβλημα Βλάση ακολουθείς μια μάλλον ανορθόδοξη πορεία. Συνήθως πάμε από την ισορροπία στην ολίσθηση ή στην ανατροπή, αλλά εσύ ακολούθησες την αντίστροφη πορεία. Το πρωί με μια ματιά που της έριξα δεν διαπίστωσα κάποιο πρόβλημα.
Αλλά διαβάζοντας τώρα το σχόλιο του Μήτσου, και, τα περί «τσαντίλας», είπα να το δω λίγο ξανά.
Γράφω λοιπόν κάποιες σκέψεις, πρόχειρα, όπως μου ήρθαν.
Παίρνεις Βλάση ως δεδομένο ότι ο κύβος δε θα ισορροπήσει και δεν θα ολισθήσει, οπότε θα έχεις περιστροφή γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από την κορυφή Γ.
Για να μην υπάρξει ολίσθηση, πρέπει για το συντελεστή οριακής στατικής τριβής, να ισχύει:
μs> εφθ
Και αν θεωρήσουμε ότι μ=μs, πρέπει μ>εφθ (1)
Αλλά αν ανατραπεί ο κύβος πρέπει το βάρος να μην περνά από τη βάση στήριξης ή ισοδύναμα η ροπή του βάρους να επιταχύνει στροφικά τον κύβο. Αλλά τότε η γεωμετρία δίνει ότι πρέπει θ>45°. (2)
Από (1) και (2) παίρνουμε ότι πρέπει μ>1 και εφθ>1 και μ>εφθ.
Πώς τα παραπάνω συνδυάζονται με την εξίσωση (8)
Η παραπάνω εξίσωση δίνει άνω φράγμα στην γωνία, ενώ θα περίμενα ένα ελάχιστο!!!
Καλησπέρα Διονύση .
Έχεις δίκιο τό έγραψα λάθος
Διορθώνω λοιπόν
Πάντως
αν με ρώταγαν εμένα ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αφήσω ένα κύβο επί ράμπας και να ανατραπεί χωρίς να ολισθήσει….
Θα απαντούσα α) για να μην ολισθήσει απαιτείται εφθ < (α/α) δηλαδή εφθ < 1. ( Σε κάθε άλλη περίπτωση η ροπή του ζεύγους δημιουργεί ευσταθή ισορροπία
Για να ανατραπεί θ>45 μοίρες εφθ>1
Άρα για να ανατραπεί χωρίς ολίσθηση ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι μ(ορ)>1>εφθ
Όμως Διονύση για να γράψω το προηγούμενο μήνυμα χρειάστηκε να το γράψω καμια δεκαριά φορές να ενημερώνω και να τον εμφανίζω ανασύρωντας το από τα ανεπιθύμητα και φτου από την αρχή … ( Έγραφα μικρότερο αντί για μεγαλύτερο εμφάνιζε κάτι ακατανόητα και στο τέλος βγήκε ένα ακατανόητο μήνυμα ) …. Ελπίζω να μην γίνει και με αυτό το μήνυμα
Μήτσο, κάπου σε χάνω…
“α) για να μην ολισθήσει απαιτείται εφθ < (α/α) δηλαδή εφθ < 1
Αυτή είναι συνθήκη για μη ολίσθηση ή για μη ανατροπή;
Για να μην ολισθήσει δεν πρέπει η τριβή να είναι στατική, συνεπώς η οριακή τριβή μεγαλύτερη της συνιστώσας του βάρους της παράλληλης στο επίπεδο; Δηλαδή:
mg∙ημθ<μmg∙συνθ → εφθ<μ
Δηλαδή διαφωνείς για τη σχέση που έδωσα παραπάνω ότι:
μ>εφθ>1
Εμ έεετσι είναι : εφθ<μ για μη ολίσθηση …
Άσε Διονύση κάτι δεν πάει καλά με μένα σήμερα …
Μια σκέψη- ένα παράδειγμα:
Αν μ=1,2, τότε η (8) δίνει:
εφθ<2,14, δηλαδή θ<65°.
Άρα για θ<45° έχουμε ισορροπία
Για 45°<θ< 50° έχουμε ανατροπή (μ>εφθ) και…
Και τότε οι 65° δεν βλέπω πού κολλάνε…
Κλείνω για ταινία… περιμένοντας κάποια παρέμβαση-απάντηση από κάποιον φίλο με ποιο καθαρό μυαλό.
Kαλησπέρα Διονύση.Πράγματι για να μην ολισθαίνει πρέπει εφθ<μ ενώ για να ανατρέπεται πρέπει εφθ>1.Στην ανάρτηση του κ Αλεβιζόπουλου η απορία που έχω είναι στην ανάλυση τηs επιτάχυνσηs σε δυο συνιστώσεs. Γράφονταs mgημθ- Τ= ma αυτομάτωs είναι σαν να λέμε ότι η τριβή είναι ολίσθησηs κάτι που η εκφώνηση το απαγορεύει.Αν για παράδειγμα η σφήνα με το σώμα κινούνταν με σταθερή ταχύτητα και κάποια στιγμή η σφήνα επιβραδύνεται και μαs έλεγε η εκφώνηση ότι το σώμα ανατρέπεται χωρίs να ολισθαίνει πιστεύω ότι τότε θα μπορούσαμε να αναλύσουμε την επιτάχυνση σε δυο συνιστώσεs,μια παράλληλη και μια κάθετη στο κεκλιμένο και να εφαρμόσουμε το β νόμο για το σώμα γιατί τότε η τριβή θα ήταν στατική.
Καλησπέρα και πάλι ,
Όταν τελείωσα την εργασία κατάλαβα και εγώ ότι δεν έχει φυσική σημασία το αποτέλεσμα.
Όμως όπως διαπίστωσε και ο κ.Γκενές λάθη στα μαθηματικά δεν έχω κάνει ..
κ.Τσιφτελή όντως είναι λεπτός ο χειρισμός της τριβής ..Το παράδειγμα σας παρουσιάζεται αν κατάλαβα καλά εδώ
http://ylikonet.gr/2017/03/25/ούτε-ανατροπή-ούτε-ολίσθηση/ από τον Μ.Λαμπράκη..
Kαλησπέρα.Ναι, ακριβώs την ανάρτηση του κ Λαμπράκη είχα στο μυαλό μου.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Μια σκέψη, πάνω στο πρόβλημα που μας απασχολεί, μια πρωινή σκέψη (έχει σημασία…)
Παραπάνω έγραψα ότι για να μην έχουμε ολίσθηση, θα πρέπει να ισχύει εφθ<μ.
Η σχέση είναι σωστή για ένα υλικό σημείο και μας εξασφαλίζει ότι το υλικό σημείο δεν αποκτά επιτάχυνση.
Αν όμως πρόκειται για ένα στερεό; Για ένα κύβο;
Μπορεί το κέντρο μάζας να αποκτά επιτάχυνση, χωρίς να υπάρχει ολίσθηση. Με άλλα λόγια μπορεί με ένα πολύ μικρότερο συντελεστή τριβής, να επιταχύνεται το κέντρο μάζας, χωρίς να ολισθαίνει ο κύβος, αλλά να ανατρέπεται, δηλαδή να περιστρέφεται γύρω από την ακμή του.
Να το διατυπώσω με άλλα λόγια.
Σκεφτόμαστε με την εξής σειρά:
1) Για μικρές γωνίες (και αρκετά σημαντική τριβή), ο κύβος ισορροπεί.
2) Αν αυξηθεί η γωνία ο κύβος θα αρχίσει να ολισθαίνει
3) Αυξάνοντας, για μια ορισμένη γωνία, το μ, ο κύβος μπορεί να ανατρέπεται.
Η σωστή σειρά νομίζω είναι:
1) Για μικρές γωνίες (και αρκετά σημαντική τριβή), ο κύβος ισορροπεί.
2) Αν αυξηθεί η γωνία ο κύβος θα αρχίσει να ανατρέπεται (για γωνία μεγαλύτερη των 45°).
3) Αυξάνοντας, ακόμη περισσότερο τη γωνία, ο κύβος θα ολισθήσει.
Αν είναι έτσι, τότε η λύση του Βλάση είναι σωστή και για το αριθμητικό παράδειγμα που έδωσα παραπάνω για μ=1,2 σημαίνει:
α) Για θ<45° ο κύβος ισορροπεί.
β) 45° <θ<65° ο κύβος ανατρέπεται
γ) Για θ>65° ο κύβος ανατρέπεται ολισθαίνοντας.
ΥΓ
Μετέφερα την ανάρτηση στο φόρουμ, αφού προσφέρεται πολύ περισσότερο για προβληματισμό και συζήτηση και όχι για διδασκαλία
Καλημέρα παιδιά.
Στέλνω μια προσομοίωση. Η εφθ είναι περίπου 1,11. Θα δούμε εύκολα ότι ανατρέπεται από έναν συντελεστή και πάνω.
Ανατροπή.
Καλημέρα Γιάννη.
Επί του συγκεκριμένου:
Ανατρέπεται και με συντελεστή τριβής 1, δηλαδή δεν χρειάζεται να ισχύει η σχέση ότι μ>εφθ, χωρίς να έχουμε ολίσθηση.
Με άλλα λόγια συμφωνείς με το παραπάνω σχόλιό μου ή όχι;
Καλημέρα σε όλους
Διονύση δεν είναι μόνο αυτή η παρατήρηση που αξίζει σχολιασμό
Μολις έπεξα λίγο με το i.p. του Γιάννη
Διαπιστώνω ότι ενώ με μεγάλους συντελεστές τριβής που απαγορεύουν την ολίσθηση ανατρέπεται σε γωνίες που υπερβαίνουν τις 45 μοίρες όπως σωστά προβλέπεις προβλέψαμε
Αλλά αντί να αναρωτηθείς τι κάνει σε μεγαλύτερες κλίσεις …σκέψου λίγο τι θα γινόταν στην ίδια γωνία αν ο συντελεστής επέτρεπε την ολίσθηση … φαίνεται να μην ανατρέπεται στις 46 ,,,48 κ.λπ.
Νομίζω πως αυτο θέλει μια ερμηνεία. (αν δεν παίζει ρόλο η αδρανειακή δύναμη )