by 
Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις περιγράφονται από τις σχέσεις: x1=Aημ10t και x2=Aημ1,17t. Να αποδειχτεί ότι από τη σύνθεσή τους προκύπτει περιοδική κίνηση.
Λύση εδώ:https://www.dropbox.com/s/7zyw6yhn7lyucvx/SYNTHESI%20TALANTVSEVN.pdf?dl=0
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις περιγράφονται από τις σχέσεις: x1=Aημ10t και x2=Aημ1,17t. Να αποδειχτεί ότι από τη σύνθεσή τους προκύπτει περιοδική κίνηση.
Λύση εδώ:https://www.dropbox.com/s/7zyw6yhn7lyucvx/SYNTHESI%20TALANTVSEVN.pdf?dl=0
Ενδιαφερουσα η αποδειξη της περιοδικοτητας ! Θα επρεπε βεβαια να ειχαμε
x(t) = x(t+T) = x(t-T) ειδα ομως οτι ισχυει και ετσι .
Απλα σε καποια σημεια του κειμενου χρειαζονται μικρες διορθωσεις .
Στην αρχη αντι 1.18 ειναι 1.17 μετα στην σχεση (4) πρεπει να ειναι ημ(1.17t) και στην σχεση (6) οχι κ1 αλλα κ2 και στο τελος οχι 1.18 αλλα 1.17 .
Εβαλα στο Wolfram την εξισωση με Α=1 και μου εδωσε το παρακατω .
Συνάδελφε Κώστα,
σ' ευχαριστώ πάρα πολύ για τις επισημάνσεις σου. Ήδη τις συμπεριέλαβα στο κείμενο.
Εμπνεύστηκα αυτή την άσκηση από το Κεφάλαιο των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας της Β' Λυκείου που αφορά τις περιοδικές συναρτήσεις και τις τριγωνομετρικές εξισώσεις, το οποίο αυτή την εποχή διδάσκονται οι μαθητές της Β' Λυκείου. Φοβάμαι ότι στη Γ' Λυκείου οι μαθητές θα δυσκολευτούν περισσότερο να τη λύσουν απ' όσο στην Β΄!
Είχα κι εγώ δει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο Wofram. Ωστόσο, αν και υπολογίζουμε περίοδο 200π, στη γραφική παράσταση η περιοδικότητα μοιάζει μικρότερη. Προφανώς η εικόνα μάς ξεγελά.
Για τυχαίες συχνότητες ω1 και ω2 είναι δυνατό να προκύψει με παρόμοιο τρόπο το ίδιο συμπέρασμα, δηλαδή ότι από τη σύνθεση των δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων προκύπτει περιοδική κίνηση. Επίσης ακολουθώντας παρόμοια απόδειξη είναι δυνατό να προκύψει το ίδιο συμπέρασμα και για περισσότερες ταλαντώσεις. Αυτό αποτελεί κατάλληλη προετοιμασία για την αποδοχή του ισχυρισμού ότι: "…ένα σύνθετο κύμα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων, με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος." (Σχολικό Βιβλίο Γ' Λυκείου, Ενότητα 2.3).