Απόδειξη εξισώσεων α.α.τ με χρήση κύκλου αναφοράς.

Στο σχολικό βιβλίο Φυσικής παρατίθεται η απόδειξη και των 3 εξισώσεων απλής αρμονικής ταλάντωσης με χρήση παραγώγων. Μπορούν όμως να αποδειχθούν με αρκετά ευκολότερο τρόπο κατανοητό και από μαθητές π.χ του ιατροφαρμακευτικού κλάδου που δεν έχουν διδαχθεί μαθηματικά Γ Λυκείου.

Από τον παραπάνω κύκλο που αναπαράγει τη κίνηση ενός αρμονικά ταλαντούμενου σώματος προκύπτει:

1. Η απομάκρυνση ενός σώματος που εκτελεί α.α.τ από τη Θ.Ι είναι η προβολή της ακτίνας ( που αντιστοιχεί σε μήκος ίσο με το πλάτος ταλάντωσης ) πάνω στον άξονα y’y. Άρα x=Aημ( ωt+φ) γιατί η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα με τον χ’χ μετά από χρόνο t είναι η αρχική φάση και η γωνία που διήνυσε η οποία δίνεται από τον ορισμό της γωνιακής ταχύτητας ή συχνότητας.
2. Η ταχύτητα με την οποία κινείται το ταλαντούμενο σώμα είναι ίση με τη ταχύτητα με την οποία μεταβάλετε η προβολή της ακτίνας στον y’y. Αλλά συνεχώς η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας είναι υ=ωΑ αφού Α=R. Αναλύοντας την υ σε άξονες έχουμε για την ταχύτητα ταλάντωσης ότι υy=ωΑσυν(ωt+φ)
3. Το σώμα που ταλαντώνεται επιβραδύνεται ή επιταχύνεται με συνεχώς μεταβαλλόμενη επιτάχυνση λόγω του ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απόστασης του σώματος από Θ.Ι η οποία αλλάζει. Για ένα σημείο της περιφέρειας του κύκλου θα πρέπει να ισχύει ότι α=ω²A όπου α η κεντρομόλος επιτάχυνση που του αλλάζει συνεχώς την επιτρόχια ταχύτητα ( κανονικά βέβαια του <<προκαλεί>> επιτρόχια ταχύτητα αφού μπορεί το μέτρο της να είναι σταθερό, αλλά η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος και της μεταβάλει τη διεύθυνση). Η κεντρομόλος έχει φορά όπως στο σχήμα και συνεπώς για την επιτάχυνση του ταλαντούμενου σώματος θα είναι αy=−ω²Αημ(ωt+φ)