Πολύ δυνατή. Προπαγανδιστής του στρεφόμενου ή παρεξήγησα;
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 22 Σεπτέμβριος 2011 στις 22:50
Γιάννη το λέω.Αλλά διαπιστώνω αντιδράσεις από συναδέλφους που σε πολλές περιπτώσεις φθάνουν στα όρια του εκφοβισμού ότι “στις εξετάσεις θα εκληφθεί ως λάθος”.Προσωπικά εξηγώ ότι δεν αρκεί η σχεδίαση ενός κύκλου, αλλά ότι πρέπει να εξηγηθεί όλη η διαδικασία.Όμως παραθέτω και την τριγωνομετρική λύση για αυτούς που δεν θέλουν να “προσχωρήσουν”.Όμως για μένα η αξία της χρήσης του κύκλου έχει να κάνει διδακτικά και με όσα γράφω στις παρατηρήσεις, τα οποία έχω διαπισώσει ότι δεν είναι καθόλου αυτονόητα.
Σχόλιο από τον/την Μαρούσης Βαγγέλης στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:50
Γιατί σε μερικά σημεία είμαστε “Βασιλικότεροι του Βασιλέως” ;
Αν θυμάστε στις Δέσμες στα κυκλώματα L – C, L – R – C, κλπ η χρήση των περιστρεφόμενων διανυσμάτων ήταν απαραίτητη.
Επίσης δεν ξεχνώ από την εποχή που ήμουν μαθητής Λυκείου (πριν 30 χρόνια περίπου) ότι τις σχέσεις: tολ=υο/α και xολ= υο^2/2α για την ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση μέχρι το κινητό να σταματήσει, τις χρησιμοποιούσαμε χωρίς απόδειξη.(όπως και τις αντίστοιχες της κατακόρυφης βολής προς τα πάνω).
Τώρα ας υποθέσουμε ότι στις Πανελλαδικές ένα εκ των ερωτημάτων είναι σαν και αυτό του Ξενοφώντα και βαθμολογείται έστω με 6 μόρια. Υπάρχει συνάδελφος που θα έκοβε μόρια αν η απάντηση δινόταν με περιστρεφόμενα;Η απάντηση είναι σίγουρα ναι!!
Αυτό όμως δεν θα ήταν άδικο, αφού και εμείς οι ίδιοι όταν θέλουμε να δώσουμε απάντηση σε τέτοιου είδους ερωτήματα καταφεύγουμε στη γρήγορη λύση, στα περιστρεφόμενα;
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 12:50
Η λύση δεν απλοποιείται με παραδοχή που δεν μας δίνεται.Κάποιος άλλος θα μπορούσε να απλοποιήσει την λύση θεωρώντας αρχική φάση φ0=0.Όμως όλα αυτά αποτελούν εισαγωγή δεδομένων που δεν δίνονται και προκαλούν βλάβη της γενικότητας, προς χάριν της οποίας φτιάχτηκε η άσκηση.Ο στόχος ήταν να καταδειχθούν ισοδύναμοι τρόποι λύσης ,όταν τα δεδομένα είναι “απελπιστικά” λίγα.
Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 13:25
Δηλώνω φανατικός χρήστης του κύκλου αναφοράς και του στρεφόμενου διανύσματος – Phasor – για κάθε αρμονικά μεταβαλλόμενο μέγεθος.
Τη χρήση αυτή προτείνω στους μαθητές μου τώρα και τρεις δεκαετίες περίπου για λόγους μεθοδολογικούς και αισθητικούς.
Στα βαθμολογικά κέντρα που έχω θητεύσει είτε ως βαθμολογητής είτε ως συντονιστής δεν τέθηκεποτέ ζήτημα να ληφθεί ως λάθος η χρήση αυτή. Άλλωστε, αποτελεί μια μαθηματική μέθοδο αντιμετώπισης των προβλημάτων που συμμετέχουν αρμονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη και τίποτα παραπάνω.
Προφανώς δεν απαιτείται καμιά απολύτως επεξήγηση της μαθηματικής αυτής μεθόδου , όπως δεν απαιτείται να αποδεικνύουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων ή των ολοκληρωμάτων , ή των παραγώγων όταν τις χρησιμοποιούμε στη φυσική ή οπουδήποτε αλλού.
Κάθε άλλη σωστή μαθηματική επεξεργασία είναι προφανώς αποδεκτή και δεν απαιτείται η αιτιολόγηση της ορθότητάς της.
Σχόλιο από τον/την ΙΝΤΖΕΜΠΕΛΗΣ ΙΩΣΗΦ στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 14:56
Πολύ καλή Ξενοφώντα. Μπράβο!!
Και εγώ διδάσκω στους μαθητές μου και τις δύο λύσεις, λέγοντάς τους μάλιστα ότι με το στρεφόμενο μπορούν να επιλύσουν πιό εύκολα ασκήσεις στις οποίες ζητούνται ή δίνονται χρονικά διαστήματα όπως επίσης ότι μπορούν να εκμεταλεύονται την αναλογία χρόνων- γωνιών , κάτι πού δέν ισχύει για απομάκρυνση – χρόνο. Παρόλ’ αυτά οι μαθητές (όπως παρατήρησαν και οι άλλοι συνάδελφοι σε διπλανή σελίδα) δένδέχονται το στρεφόμενο με θέρμη. ‘Ισως ο Γιάννης (Κυρ) να έχει δίκιο ότι αυτό οφείλεται στον παραγκωνισμό της Γεωμετρίας τα τελευταία χρόνια.
Μανώλη μήν είσαι τόσο σίγουρος για την αποδοχή του στρεφόμενου απο όλους τους βαθμολογητές. Φίλος, βαθμολογητής χρόνια, πολύ καλός δάσκαλος και ιδιαίτερα αγαπητός στούς μαθητές του, σε συζήτησή μας για το θέμα μού είπε ορθά κοφτά:” Άν μου το αποδείξει δέν έχω πρόβλημα να του δώσω όλα τα μόρια ” ……;;;
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 15:19
Ιωσήφ ευχαριστώ.Με την ευκαιρία να σου ευχηθώ καλή σχολική χρονιά, αλλά πρωτίστως υγεία και οικογενειακή ευτυχία.Πράγματι και εγώ έχω γίνει αποδέκτης της άποψης που δεν δέχεται λύσεις με τη χρήση του κύκλου αναφοράς και του στρεφόμενου διανύσματος γι’ αυτό προέταξα τη “νομιμόφρονα λύση”.Έκανα την ανάρτηση για να την αντιπαραθέσω σ΄αυτήν του Γιάννη(Κυρ) και δεν περίμενα να απασχολήσει μετά από τόσο έντονες συζητήσεις που έχουν προηγηθεί.
Να συγχαρώ κατ’ αρχήν τον Ξενοφώντα για τα θέματα που θίγει 🙂
Σχετικά με τα στρεφόμενα τώρα (κυρίως με τη μορφή του «κύκλου αναφοράς») πιστεύω κι εγώ ότι είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που συχνά διευκολύνει ή απλοποιεί τη λύση ενός προβλήματος και δεν μπορώ να διακρίνω τον λόγο εξοβελισμού της χρήσης του από τους μαθητές. Εξ άλλου τα παιδιά διδάσκονται ακόμα τον τριγωνομετρικό κύκλο στα μαθηματικά (ή κάνω λάθος;)
Δεν γνωρίζω αν υπάρχει συνάδελφος που θα έκοβε μονάδες στη βαθμολογία λόγω χρήσης του κύκλου αναφοράς. Προσωπικά δεν θα το έκανα, διότι και σύμφωνα με την οδηγία, «κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη …». Αλλά και όλοι μας δεν λέμε ότι «η καλύτερη λύση είναι η πιο απλή λύση»;
Πέρα από αυτά όμως νομίζω ότι υπάρχουν διδακτικοί λόγοι που συνηγορούν στη χρήση του κύκλου αναφοράς:
Πρώτος και κύριος λόγος είναι ότι ο κύκλος αναφοράς δίνει μια οπτική απεικόνιση της φάσης. Σε όλη τη θεωρία των ταλαντώσεων μιλάμε για φάσεις και αρχικές φάσεις, αλλά γωνίες δεν βλέπουμε πουθενά! Και φτάνουμε στη σύνθεση να παπαγαλίζουμε τύπους για το νέο πλάτος κλπ. (συμφωνώ ότι μπορούν να αποδειχθούν και χωρίς στρεφόμενα, αλλά δεν είναι εκεί το θέμα).
Τίθεται ίσως το παιδαγωγικό ερώτημα «ωφελεί να δώσουμε μια οπτική απεικόνιση της φάσης και γιατί;» Δεν μπορώ να απαντήσω τεκμηριωμένα σ’ αυτό, αλλά πιστεύω ότι γενικότερα οι πολλαπλές αναπαραστάσεις αποτελούν ένα χρήσιμο και αποτελεσματικό διδακτικό εργαλείο.
Δεύτερος σημαντικός λόγος είναι αυτός που επισημαίνει ο Ξενοφώντας στην 3η του παρατήρηση: «Η μεταβολή φάσης είναι ανάλογη του χρόνου, αλλά η απομάκρυνση δεν είναι». Πόσες φορές δεν έτυχε να ακούσουμε «αφού χρειάζεται χρόνο Τ/4 για να φτάσει στην ακραία θέση, άρα στα μισά θα φτάσει σε Τ/8»!
Από τη γραφική παράσταση των x και t είναι πιο δυσδιάκριτη η μη αναλογία (μη γραμμικότητα) μεταξύ τους. Αυτό το βλέπουν κυρίως μαθητές με καλό μαθηματικό υπόβαθρο (που ούτως ή άλλως δεν είχαν τέτοια παρανόηση). Στον κύκλο αναφοράς όμως είναι πιο ξεκάθαρο ότι π.χ. η θέση x=A/2 δεν αντιστοιχεί σε 45º (δηλ σε Τ/8).
Εκτός όμως από τους πιο πάνω λόγους υπάρχουν και πρακτικοί καθαρά λόγοι για την εισαγωγή και χρήση του κύκλου αναφοράς:
Ακόμη κι αν υποθέσουμε ότι οι γεωμετρικές λύσεις «υπάρχει φόβος να μην γίνουν δεκτές», μπορεί ο μαθητής να λύσει το πρόβλημά του κανονικά με τριγωνομετρικό τρόπο, αλλά να έχει δίπλα σχεδιασμένο και τον κύκλο αναφοράς, που θα τον βοηθήσει να αποφύγει πιθανά υπολογιστικά λάθη, αλλά να «διακρίνει» και πιο εύκολα τη ζητούμενη λύση. Π.χ. σε ερωτήματα του τύπου «περνάει για 4η φορά από κάποια θέση», ή «περνάει για 3η φορά με κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας», κλπ., είναι πολύ πιο εύκολο να «δεις» στον κύκλο αναφοράς σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η ζητούμενη γωνία – φάση και να χρησιμοποιήσεις την ανάλογη «οικογένεια» τριγωνομετρικής λύσης.
Αυτό το τελευταίο συνιστώ κι εγώ στα παιδιά:
Να δουλεύουν γενικά τριγωνομετρικά, αλλά έχοντας δίπλα τον κύκλο αναφοράς, ώστε να έχουν εποπτική εικόνα των λύσεών τους.
Και βέβαια, σε περίπτωση ανάγκης, η γεωμετρική λύση είναι σίγουρα καλύτερη από την … μη λύση!
Τέλος, για τη συμβολή μου στην … «υπεράσπιση» του κύκλου αναφοράς, μια παλαιότερη ανάρτηση, ΕΔΩ.
Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 16:36
ΙΩΣΗΦ, στα βαθμολογικά κέντρα δεν κάνει ο καθένας ότι θέλει. Η γενική γραμμή αποφασίζεται ύστερα από αναλυτική συζήτηση και συμφωνία – δέσμευση – των βαθμολογητών. Πέρσι για παράδειγμα διατυπώθηκε η άποψη στο θέμα με την ταλάντωση, να ζητήσουμε απόδειξη ότι D = k ( σταθερά ελατηρίου) . Η άποψη όμως αυτή δεν έγινε δεκτή.
Η ανάλυση του Διονύση Μητρόπουλου με βρίσκει σύμφωνο.
Έπρεπε να βλέπατε ένα αστέρι που σηκώθηκε σήμερα το πρωί στον πίνακα, και υπολόγισε τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους δυο στιγμιαίες ταχύτητες χρησιμοποιώντας τον κύκλο αναφοράς με περιστρεφόμενο την μέγιστη ταχύτητα !
Και παραπάνω μόρια θα του βάζατε είμαι σίγουρος.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 21:10
Γιάννη(Φιορ) και Διονύση(Μητρ) σας ευχαριστώ.Απαντώ με καθυστέρη και εκ του πίνακος ερχόμενος.Διονύση θυμάμαι την ανάρτησή σου και έκανες πολύ καλά που την επανέφερες. Χαίρομαι που συμφωνείς με τα της τρίτης παρατήρησης.
η άποψή μου για θέματα που σχετίζονται με χρόνους σε προβλήματα ταλαντώσεων είναι ότι:
αν ζητούνται οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το σώμα που ταλαντώνεται βρίσκεται σε θέσεις Σ1, Σ2, χρειάζεται η αρχική φάση (ή η χρονική στιγμή περάσματος από άλλη θέση)
αν, όμως ζητείται το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε για να μετακινηθεί από μια θέση Σ1 σε μια άλλη Σ2, η αρχική φάση δεν χρειάζεται και μπορεί να θεωρηθεί, για διευκόλυνση, ίση με μηδέν, διότι το χρονικό διάστημα είναι ανεξάρτητο από τη χρονική στιγμή κατά την οποία το κινητό βρισκόταν στη Θ.Ι. του και
πολλές φορές, διευκολύνει, ένα χρονικό διάστημα να θεωρείται άθροισμα μικρότερων, κατάλληλων, χρονικών διαστημάτων.
χρήσιμες είναι και οι δύο λύσεις Ξενοφώντα.
εναλλακτικά καταθέτω (συνοπτικά) και μια τρίτη λύση:
τ1: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Θ.Ι. έως Σ1 (απομακρυνόμενο)
τ2: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Θ.Ι. έως Σ1 (επιστρέφον)
τ3: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Σ1 έως Θ.Ι. (επιστρέφον)
τ4: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Θ.Ι. έως Σ2 (απομακρυνόμενο)
=t3-t1 (σύμβολα του Ξενοφώντα) =(t2+0,75s)-t1=(t1+1.5s+0,75s)-t1=2.25s,
άρα Τ=4,5s
και μια παρατήρηση:
τα στρεφόμενα διανύσματα προφανώς και δεν είναι “εκτός ύλης”, διότι συμπεριλαμβάνονται στη θεωρία του σχολικού βιβλίου και συγκεκριμένα στη σελίδα 26
οι εξισώσεις 1.27 και 1.28 τι άλλο υποδηλώνουν παρά σύνθεση στρεφομένων διανυσμάτων;
(τώρα γιατί, εδώ και 11 χρόνια, απουσιάζει το σχήμα, τα τρία διανύσματα και οι τρεις κύκλοι με ακτίνες τα προηγούμενα διανύσματα, δηλαδή σχεδόν όλα (!) δεν το γνωρίζω)
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 22:40
Βαγγέλη καλησπέρα.Συμφωνώ ότι το χρονικό διάστημα δεν εξαρτάται από την παρουσία αρχικής φάσης,αλλά η γενική θέση μου είναι ότι αν δεν δίνεται άμεσα ή έμμεσα ότι δεν υπάρχει, καλό είναι να γίνεται “καλή συνήθεια” να την θέτουμε ,γιατί όταν θα πρέπει να την θέσουμε υποχρεωτικά ( το περιγράφεις ) και την ξεχάσουμε , θα είναι αργά…Θα ήθελα όμως να πω, ότι η αιτιολόγηση της ισότητας τ4=τ1 κατά τη γνώμη μου πρέπει να γίνει. Αν ναι πως;από την συμμετρία των Σ1 και Σ2 ως προς τη Θ.Ι;Μήπως άθελα μας παραπέμπουμε σε λογική ευθύγραμμης ομαλής;
τ4=τ1 διότι πρόκειται ακριβώς για την ίδια κίνηση:
το σώμα φεύγει από τη Θ.Ι. του και μετατοπίζεται κατά την ίδια απόσταση d,
δεν έχει καμία σημασία, για τον υπολογισμό του χρονικού διαστήματος,
αν μετατοπίζεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά,
(μπορώ δηλαδή και για τις δύο περιπτώσεις, ως προς τον υπολογισμό του χρονικού διαστήματος, να γράψω d=Αημωτ4=Αημωτ1, διότι μπορώ να μηδενίζω τον χρόνο πολλές φορές)
δυσκολότερη είναι η δικαιολόγηση (που εδώ δεν του κάνω χρήση) ότι και τ3=τ4,
(έγραψα σχετικά στην ανάλογη δημοσίευση του Γιάννη),
καταθέτω μια ποσοτική αιτιολόγηση:
d=Aημωt *( *=συνεπάγεται !) ημωt=d/A
t1= … (οξεία γωνία, απομακρυνόμενο) και
t2= … (οξεία γωνία, επιστρέφον)
τ3=Τ/2-t2= … = t1-0=τ1=τ4
και μια (περιληπτικά) ποιοτική:
ίσες στοιχειώδεις, συμμετρικές ως προς τη Θ.Ι. μετατοπίσεις πραγματοποιούνται από το σώμα σε ίσους στοιχειώδεις χρόνους, είτε το σώμα πλησιάζει είτε απομακρύνεται, διότι οι ταχύτητές του έχουν ίσα μέτρα (διότι οι κινητικές του ενέργειες είναι ίσες, επειδή οι δυναμικές είναι ίσες και η ολική σταθερή)
αυτό συμβαίνει για όλα τα ζεύγη συμμετρικών μετατοπίσεων και ο ολικός χρόνος είναι το άθροισμα όλων των στοιχειωδών …
(συμφωνώ με την “καλή συνήθεια”,
ιδιαίτερα όταν δεν τους κυνηγά κανείς και … “τους μπαινοβγαίνουν τα παπούτσια”,
ξαναδές τη σελίδα 26 του σχολικού,
καλή ξεκούραση …)
Σχόλιο από τον/την ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:04
Ξενοφώντα να σε συγχαρώ και εγώ για την άψογη παρουσίαση της άσκησή σου.Πιστεύω πως η μεγαλύτερη μερίδα των μαθητών δεν μπορεί να λύσει ασκήσεις αυτού του είδους είτε με τη βοήθεια του κύκλου αναφοράς είτε με τον τριγωνομετρικό τρόπο.Προσωπικά έχω δει καλά αποτελέσματα με “μπακάλικους” τρόπους.Π.χ. μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι ο χρόνος από την Θ.Ι.Τ. στο Α/2 είναι Τ/12 και άρα από Α/2 στο Α είναι Τ/4-Τ/12=Τ/6.Αντίστοιχα αν παίξουμε με το A/2^1/2 και το Τ/8 νομίζω ότι μπορούμε να δουλέψουμε σχετικά εύκολα το 80% των ασκήσεων αυτού του είδους.Αυτή νομίζω πως είναι η αλήθεια και δεν θα έπρεπε σαν δάσκαλος να την αποδεχτώ αλλά “πενίας τέχνας κατεργάζεται”
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:51
Βαγγέλη συμπεραίνω από την τελευταία ανάλυσή σου ότι συμφωνείς με την ανάγκη δικαιολόγησης της ισότητας των χρονικών διαστημάτων με όποιο τρόπο προκρίνεις.Τα της σελίδας 26 του σχολικού βιβλίου τα έχω υπόψη μου και μάλιστα επειδή δεν μου πάει να παραθέσω έτοιμους τύπους ,τους αποδεικνύω με χρήση περιστρεφόμενων διανυσμάτων -πλατών.Η απόδειξη μάλιστα γίνεται συνήθως εύκολα αποδεκτή και βοηθάει και στην λύση ασκήσεων.Περιττό να σου πω, ότι όσες φορές επιχείρησα την τριγωνομετρική- αλγεβρική απόδειξη με τις ατέρμονες πράξεις ,ακόμη και σε τμήματα με μαθητές ιδιαίτερα ικανούς, εισέπραξα “άγριες ματιές” και μαζική προτίμηση της διανυσματικής απόδειξης.Καληνύχτα και ευχαριστώ.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:56
Γειά σου Χρήστο και σ΄ευχαριστώ.Καταλαβαίνω τα “της πενίας”, αλλά φοβάμαι την “μπακαλική” ( δύσκολη δουλειά -:)).Σε μακαρίζω για την δυνατότητα που έχεις να στέκεσαι στη γέφυρα και να ατενίζεις τον ατελείωτο Αλιάκμονα.Να είσαι πάντα καλά.
Μια γενικότερη πρόταση για την ισότητα χρόνων όπως οι τ3, τ4 που αναφέρει πιο πάνω ο Βαγγέλης (χωρίς να μου βάλετε τις φωνές :-)):
Μετατοπίσεις μεταξύ θέσεων συμμετρικών ως προς τη Θ.Ι., προς οποιαδήποτε φορά, αντιστοιχούν σε ίσα τόξα επί του βοηθητικού κύκλου, επομένως σε ίσες μεταβολές φάσης Δφ. Αλλά Δφ=ωΔt, επομένως καλύπτονται σε ίσους χρόνους.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 8:34
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 13:06
Μόλις τώρα βλέπω την λύση που κατέθεσε η συνάδελφος Μ.Α.Αφού την ευχαριστήσω ,να προσθέσω ότι η λύση είναι πολύ όμορφη γιατί είναι λιτή, άρα δύσκολη.Απαιτεί από τον μαθητή να πάρει την πρωτοβουλία να “περιλάβει- κρύψει” τις άγνωστες παραμέτρους (ω, t,φ0) μέσα στη γενική έννοια της φάσης, κάτι πολύ λογικό, αλλά δύσκολο γιατί υπερβαίνει τα “εσκαμμένα”. Με αφορμή λοιπόν αυτού του τρόπου λύσης και για να την ευχαριστήσω για την υπενθύμιση, θέλω να της αφιερώσω την από 8 Δεκεμβρίου 2010 ανάρτηση μου με τίτλο “ΤΟ ΚΥΜΑ, Η ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ Η ΦΑΣΗ”, όπου εξηγώ τα πλεονεκτήματα αυτού του τρόπου, όταν τα δεδομένα είναι “απελπιστικά” λίγα.Από εδώ.
Σχόλιο από τον/την Γιώργος Γεωργαντάς στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 16:18
Καλή σας μέρα. Μια ακόμα μικρή συνεισφορά: Το χρονικό διάστημα μετάβασης από τη ΘΙ στη θέση x=+Α/2 είναι προφανώς ίσο με το χρονικό διάστημα μετάβασης από τη ΘΙ στη θέση x=-Α/2, διότι με αντιστροφή της φοράς του άξονα τα δύο σημεία εναλλάσσονται.
Και μια ερώτηση: Στις εξετάσεις, για ένα σώμα που εκτελεί αατ, πρέπει να αποδεικνύεται το ότι η κίνηση από σημείο Α σε σημείο Β είναι ισόχρονη με την κίνηση από το Β στο Α;
Γιώργο στο ερώτημα: Στις εξετάσεις, για ένα σώμα που εκτελεί αατ, πρέπει να αποδεικνύεται το ότι η κίνηση από σημείο Α σε σημείο Β είναι ισόχρονη με την κίνηση από το Β στο Α; θα απαντούσα όχι δεν χρειάζεται. Η αρμονική καμπύλη παρουσιάζει συμμετρίες τις οποίες επικαλούμαστε πολύ συχνά (π.χ τα γραμμοσκιασμένα εμβαδά είναι ίσα στο βιβλίο των Δεσμών κ.λ.π). Άλλο να το αποδεικνύεις στην τάξη ως εφαρμογή στρεφομένων και άλλο να το απαιτείς.
Ένα σχόλιο που αφορά την παρατήρηση του Georgios Aloizos και την απάντηση του Ξενοφώντα.
Θεωρούμε ένα δεύτερο σύστημα αναφοράς, το οποίο έχει τους ίδιους άξονες με το δοθέν αλλά τα ρολόγια του καθυστερούν κατά t1 σε σχέση με τα ρολόγια του δοθέντος.
Έτσι την στιγμή t΄=0 το σώμα βρίσκεται στο σημείο Σ1 απομακρυνόμενο από την θέση ισορροπίας, την στιγμή t΄=1.5s ξαναβρίσκεται για πρώτη φορά στην θέση Σ1 και την στιγμή t΄=2.25s βρίσκεται στην θέση Σ2.
Έτσι η λύση είναι και ποιό απλούστερη και ποιό φυσική.
Με την λύση που δίνει ο Ξενοφώντας ( η οποία πολύ μου αρέσει) το ρολόι του διαιτητή την στιγμή που ξεκινά ο αγώνας δείχνει 8:15 και όχι μηδέν.
Και ένα μικρό σχόλιο γαι το στρεφόμενο διάνυσμα.
Η επαφή μου με αυτό ως μαθητής της Γ τάξης του Λυκείου ήταν συγκρουσιακή.
Η μαθηματική μου παιδεία δεν μου επέτρεπε να αποδεχθώ την λογική που λέει επειδή η εξίσωση της απομάκρυνσης της ποροβολής του στρεφομένου διανύσματος είναι ίδια με την εξίσωση της απομάκρυσνης σώματος που είναι δεμένο στο ελατήριο το ίδιο θα ισχύει και για τις ταχύτητές τους. Η φυσική μου διαίσθηση έλεγε ότι είναι σωστό αλλά ήθελα απόδειξη.
Όπως καλά θα καταλάβατε είμαι πολέμιος του στρφομένου διανύσματος.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 22:04
Καλησπέρα Βαγγέλη(Κορφιάτη).Προφανώς και μπορεί κάποιος να ορίσει διαφορετική αρχή των χρόνων ώστε να απλοποιήσει τις εξισώσεις και να γράψει :ωt +φ0=ωt’….Ήθελα όμως να δείξω ότι η παρουσία της άγνωστης αρχικής φάσης δεν εμποδίζει τη λύση.Η παρέμβαση σου αυτή και μόνο πάντως αρκεί, για να καταλάβει κάποιος την “ειδική σχέση” που έχεις με την Σχετικότητα.Να είσαι καλά.
Βαγγέλη Κουντούρη έχεις δίκιο. Η παρατήρησή σού, όπως πάντα, ήταν έγκαιρη και εύστοχη.
Ο ορισμός που μου είχε δοθεί στο Φροντιστήριο που πηγαινα ( δεν θυμάμαι αν υπήρχε σε όλα τα βιβλία της εποχής) ήταν:
Ονομάζουμε απλή αρμονική ταλάντωση την κίνση που είναι ακριβώς ίδια με την κίνηση που κάνει η προβολή του στρεφομένου διανύσματος στον άξονα y΄y.
Στην πραγματικότητα αυτό που δεν δεν έβλεπα ( και με τσάντιζε) ήταν η σχέση που έχει η κίνηση αυτής της προβολής με την κίνση ενός σώματος που είναι δεμένο σε ένα ελατήριο.
Αυτό που δεν μπορούσα να δεχθώ ήταν και οι δύο κατευθύνσεις της ισοδυναίας
ΣF=-Dx <-> x=Aημ(ωt+φ)
Με τον τριγωνομετρικό ορισμό και στοιχειώδη γνώση παραγώγων θα μπορούσα να αποδείξω τουλάχιστον την μια (<-) και να κάνω την αβαρία να πιστέψω την δεύτερη.
Έχοντας αυτή την εμπειρία, στην παράδοσή μου αποδεικνύω ποιοτικά την συνεπαγωή
ΣF=-Dx -> ταλάντωση.
Επειδή πάντα υπάρχουν οι μαθητές που δεν “καταπίνουν αμάσητο τίποτα”, προσπαθώ να ορκίζομαι για όσο το δυνατόν λιγότερα πράγματα.
by 
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 22 Σεπτέμβριος 2011 στις 22:29
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 22 Σεπτέμβριος 2011 στις 22:50
Σχόλιο από τον/την Μαρούσης Βαγγέλης στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:50
Γιατί σε μερικά σημεία είμαστε “Βασιλικότεροι του Βασιλέως” ;
Αν θυμάστε στις Δέσμες στα κυκλώματα L – C, L – R – C, κλπ η χρήση των περιστρεφόμενων διανυσμάτων ήταν απαραίτητη.
Επίσης δεν ξεχνώ από την εποχή που ήμουν μαθητής Λυκείου (πριν 30 χρόνια περίπου) ότι τις σχέσεις: tολ=υο/α και xολ= υο^2/2α για την ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση μέχρι το κινητό να σταματήσει, τις χρησιμοποιούσαμε χωρίς απόδειξη.(όπως και τις αντίστοιχες της κατακόρυφης βολής προς τα πάνω).
Τώρα ας υποθέσουμε ότι στις Πανελλαδικές ένα εκ των ερωτημάτων είναι σαν και αυτό του Ξενοφώντα και βαθμολογείται έστω με 6 μόρια. Υπάρχει συνάδελφος που θα έκοβε μόρια αν η απάντηση δινόταν με περιστρεφόμενα;Η απάντηση είναι σίγουρα ναι!!
Αυτό όμως δεν θα ήταν άδικο, αφού και εμείς οι ίδιοι όταν θέλουμε να δώσουμε απάντηση σε τέτοιου είδους ερωτήματα καταφεύγουμε στη γρήγορη λύση, στα περιστρεφόμενα;
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 12:50
Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 13:25
Δηλώνω φανατικός χρήστης του κύκλου αναφοράς και του στρεφόμενου διανύσματος – Phasor – για κάθε αρμονικά μεταβαλλόμενο μέγεθος.
Τη χρήση αυτή προτείνω στους μαθητές μου τώρα και τρεις δεκαετίες περίπου για λόγους μεθοδολογικούς και αισθητικούς.
Στα βαθμολογικά κέντρα που έχω θητεύσει είτε ως βαθμολογητής είτε ως συντονιστής δεν τέθηκε ποτέ ζήτημα να ληφθεί ως λάθος η χρήση αυτή. Άλλωστε, αποτελεί μια μαθηματική μέθοδο αντιμετώπισης των προβλημάτων που συμμετέχουν αρμονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη και τίποτα παραπάνω.
Προφανώς δεν απαιτείται καμιά απολύτως επεξήγηση της μαθηματικής αυτής μεθόδου , όπως δεν απαιτείται να αποδεικνύουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων ή των ολοκληρωμάτων , ή των παραγώγων όταν τις χρησιμοποιούμε στη φυσική ή οπουδήποτε αλλού.
Κάθε άλλη σωστή μαθηματική επεξεργασία είναι προφανώς αποδεκτή και δεν απαιτείται η αιτιολόγηση της ορθότητάς της.
Σχόλιο από τον/την ΙΝΤΖΕΜΠΕΛΗΣ ΙΩΣΗΦ στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 14:56
Πολύ καλή Ξενοφώντα. Μπράβο!!
Και εγώ διδάσκω στους μαθητές μου και τις δύο λύσεις, λέγοντάς τους μάλιστα ότι με το στρεφόμενο μπορούν να επιλύσουν πιό εύκολα ασκήσεις στις οποίες ζητούνται ή δίνονται χρονικά διαστήματα όπως επίσης ότι μπορούν να εκμεταλεύονται την αναλογία χρόνων- γωνιών , κάτι πού δέν ισχύει για απομάκρυνση – χρόνο. Παρόλ’ αυτά οι μαθητές (όπως παρατήρησαν και οι άλλοι συνάδελφοι σε διπλανή σελίδα) δένδέχονται το στρεφόμενο με θέρμη. ‘Ισως ο Γιάννης (Κυρ) να έχει δίκιο ότι αυτό οφείλεται στον παραγκωνισμό της Γεωμετρίας τα τελευταία χρόνια.
Μανώλη μήν είσαι τόσο σίγουρος για την αποδοχή του στρεφόμενου απο όλους τους βαθμολογητές. Φίλος, βαθμολογητής χρόνια, πολύ καλός δάσκαλος και ιδιαίτερα αγαπητός στούς μαθητές του, σε συζήτησή μας για το θέμα μού είπε ορθά κοφτά:” Άν μου το αποδείξει δέν έχω πρόβλημα να του δώσω όλα τα μόρια ” ……;;;
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 15:19
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 15:25
Να δηλώσω και εγώ φανατικός “οπαδός” του περιστρεφόμενου διανύσματος.
Ξενοφώντα εξαιρετική άσκηση. Σημαντικές οι παρατηρήσεις σου στο τέλος της άσκησης.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 16:13
Συνάδελφοι καλησπέρα,
Να συγχαρώ κατ’ αρχήν τον Ξενοφώντα για τα θέματα που θίγει 🙂
Σχετικά με τα στρεφόμενα τώρα (κυρίως με τη μορφή του «κύκλου αναφοράς») πιστεύω κι εγώ ότι είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που συχνά διευκολύνει ή απλοποιεί τη λύση ενός προβλήματος και δεν μπορώ να διακρίνω τον λόγο εξοβελισμού της χρήσης του από τους μαθητές. Εξ άλλου τα παιδιά διδάσκονται ακόμα τον τριγωνομετρικό κύκλο στα μαθηματικά (ή κάνω λάθος;)
Δεν γνωρίζω αν υπάρχει συνάδελφος που θα έκοβε μονάδες στη βαθμολογία λόγω χρήσης του κύκλου αναφοράς. Προσωπικά δεν θα το έκανα, διότι και σύμφωνα με την οδηγία, «κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη …». Αλλά και όλοι μας δεν λέμε ότι «η καλύτερη λύση είναι η πιο απλή λύση»;
Πέρα από αυτά όμως νομίζω ότι υπάρχουν διδακτικοί λόγοι που συνηγορούν στη χρήση του κύκλου αναφοράς:
Πρώτος και κύριος λόγος είναι ότι ο κύκλος αναφοράς δίνει μια οπτική απεικόνιση της φάσης. Σε όλη τη θεωρία των ταλαντώσεων μιλάμε για φάσεις και αρχικές φάσεις, αλλά γωνίες δεν βλέπουμε πουθενά! Και φτάνουμε στη σύνθεση να παπαγαλίζουμε τύπους για το νέο πλάτος κλπ. (συμφωνώ ότι μπορούν να αποδειχθούν και χωρίς στρεφόμενα, αλλά δεν είναι εκεί το θέμα).
Τίθεται ίσως το παιδαγωγικό ερώτημα «ωφελεί να δώσουμε μια οπτική απεικόνιση της φάσης και γιατί;» Δεν μπορώ να απαντήσω τεκμηριωμένα σ’ αυτό, αλλά πιστεύω ότι γενικότερα οι πολλαπλές αναπαραστάσεις αποτελούν ένα χρήσιμο και αποτελεσματικό διδακτικό εργαλείο.
Δεύτερος σημαντικός λόγος είναι αυτός που επισημαίνει ο Ξενοφώντας στην 3η του παρατήρηση: «Η μεταβολή φάσης είναι ανάλογη του χρόνου, αλλά η απομάκρυνση δεν είναι». Πόσες φορές δεν έτυχε να ακούσουμε «αφού χρειάζεται χρόνο Τ/4 για να φτάσει στην ακραία θέση, άρα στα μισά θα φτάσει σε Τ/8»!
Από τη γραφική παράσταση των x και t είναι πιο δυσδιάκριτη η μη αναλογία (μη γραμμικότητα) μεταξύ τους. Αυτό το βλέπουν κυρίως μαθητές με καλό μαθηματικό υπόβαθρο (που ούτως ή άλλως δεν είχαν τέτοια παρανόηση). Στον κύκλο αναφοράς όμως είναι πιο ξεκάθαρο ότι π.χ. η θέση x=A/2 δεν αντιστοιχεί σε 45º (δηλ σε Τ/8).
Εκτός όμως από τους πιο πάνω λόγους υπάρχουν και πρακτικοί καθαρά λόγοι για την εισαγωγή και χρήση του κύκλου αναφοράς:
Ακόμη κι αν υποθέσουμε ότι οι γεωμετρικές λύσεις «υπάρχει φόβος να μην γίνουν δεκτές», μπορεί ο μαθητής να λύσει το πρόβλημά του κανονικά με τριγωνομετρικό τρόπο, αλλά να έχει δίπλα σχεδιασμένο και τον κύκλο αναφοράς, που θα τον βοηθήσει να αποφύγει πιθανά υπολογιστικά λάθη, αλλά να «διακρίνει» και πιο εύκολα τη ζητούμενη λύση. Π.χ. σε ερωτήματα του τύπου «περνάει για 4η φορά από κάποια θέση», ή «περνάει για 3η φορά με κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας», κλπ., είναι πολύ πιο εύκολο να «δεις» στον κύκλο αναφοράς σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η ζητούμενη γωνία – φάση και να χρησιμοποιήσεις την ανάλογη «οικογένεια» τριγωνομετρικής λύσης.
Αυτό το τελευταίο συνιστώ κι εγώ στα παιδιά:
Να δουλεύουν γενικά τριγωνομετρικά, αλλά έχοντας δίπλα τον κύκλο αναφοράς, ώστε να έχουν εποπτική εικόνα των λύσεών τους.
Και βέβαια, σε περίπτωση ανάγκης, η γεωμετρική λύση είναι σίγουρα καλύτερη από την … μη λύση!
Τέλος, για τη συμβολή μου στην … «υπεράσπιση» του κύκλου αναφοράς, μια παλαιότερη ανάρτηση, ΕΔΩ.
Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 16:36
ΙΩΣΗΦ, στα βαθμολογικά κέντρα δεν κάνει ο καθένας ότι θέλει. Η γενική γραμμή αποφασίζεται ύστερα από αναλυτική συζήτηση και συμφωνία – δέσμευση – των βαθμολογητών. Πέρσι για παράδειγμα διατυπώθηκε η άποψη στο θέμα με την ταλάντωση, να ζητήσουμε απόδειξη ότι D = k ( σταθερά ελατηρίου) . Η άποψη όμως αυτή δεν έγινε δεκτή.
Η ανάλυση του Διονύση Μητρόπουλου με βρίσκει σύμφωνο.
Έπρεπε να βλέπατε ένα αστέρι που σηκώθηκε σήμερα το πρωί στον πίνακα, και υπολόγισε τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους δυο στιγμιαίες ταχύτητες χρησιμοποιώντας τον κύκλο αναφοράς με περιστρεφόμενο την μέγιστη ταχύτητα !
Και παραπάνω μόρια θα του βάζατε είμαι σίγουρος.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 21:10
Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 21:34
η άποψή μου για θέματα που σχετίζονται με χρόνους σε προβλήματα ταλαντώσεων είναι ότι:
αν ζητούνται οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το σώμα που ταλαντώνεται βρίσκεται σε θέσεις Σ1, Σ2, χρειάζεται η αρχική φάση (ή η χρονική στιγμή περάσματος από άλλη θέση)
αν, όμως ζητείται το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε για να μετακινηθεί από μια θέση Σ1 σε μια άλλη Σ2, η αρχική φάση δεν χρειάζεται και μπορεί να θεωρηθεί, για διευκόλυνση, ίση με μηδέν, διότι το χρονικό διάστημα είναι ανεξάρτητο από τη χρονική στιγμή κατά την οποία το κινητό βρισκόταν στη Θ.Ι. του και
πολλές φορές, διευκολύνει, ένα χρονικό διάστημα να θεωρείται άθροισμα μικρότερων, κατάλληλων, χρονικών διαστημάτων.
χρήσιμες είναι και οι δύο λύσεις Ξενοφώντα.
εναλλακτικά καταθέτω (συνοπτικά) και μια τρίτη λύση:
τ1: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Θ.Ι. έως Σ1 (απομακρυνόμενο)
τ2: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Θ.Ι. έως Σ1 (επιστρέφον)
τ3: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Σ1 έως Θ.Ι. (επιστρέφον)
τ4: το χρονικό διάστημα για την κίνηση Θ.Ι. έως Σ2 (απομακρυνόμενο)
Τ/2= τ2+τ3= τ2+τ3+τ4-τ4 (;)=(τ2+τ3+τ4)-τ1 (διότι τ4=τ1) =Δτ=Δt1,3=
=t3-t1 (σύμβολα του Ξενοφώντα) =(t2+0,75s)-t1=(t1+1.5s+0,75s)-t1=2.25s,
άρα Τ=4,5s
και μια παρατήρηση:
τα στρεφόμενα διανύσματα προφανώς και δεν είναι “εκτός ύλης”, διότι συμπεριλαμβάνονται στη θεωρία του σχολικού βιβλίου και συγκεκριμένα στη σελίδα 26
οι εξισώσεις 1.27 και 1.28 τι άλλο υποδηλώνουν παρά σύνθεση στρεφομένων διανυσμάτων;
(τώρα γιατί, εδώ και 11 χρόνια, απουσιάζει το σχήμα, τα τρία διανύσματα και οι τρεις κύκλοι με ακτίνες τα προηγούμενα διανύσματα, δηλαδή σχεδόν όλα (!) δεν το γνωρίζω)
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 22:40
Βαγγέλη καλησπέρα.Συμφωνώ ότι το χρονικό διάστημα δεν εξαρτάται από την παρουσία αρχικής φάσης,αλλά η γενική θέση μου είναι ότι αν δεν δίνεται άμεσα ή έμμεσα ότι δεν υπάρχει, καλό είναι να γίνεται “καλή συνήθεια” να την θέτουμε ,γιατί όταν θα πρέπει να την θέσουμε υποχρεωτικά ( το περιγράφεις ) και την ξεχάσουμε , θα είναι αργά…Θα ήθελα όμως να πω, ότι η αιτιολόγηση της ισότητας τ4=τ1 κατά τη γνώμη μου πρέπει να γίνει. Αν ναι πως;από την συμμετρία των Σ1 και Σ2 ως προς τη Θ.Ι;Μήπως άθελα μας παραπέμπουμε σε λογική ευθύγραμμης ομαλής;
Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 23 Σεπτέμβριος 2011 στις 23:42
Καλησπέρα Ξενοφών
τ4=τ1 διότι πρόκειται ακριβώς για την ίδια κίνηση:
το σώμα φεύγει από τη Θ.Ι. του και μετατοπίζεται κατά την ίδια απόσταση d,
δεν έχει καμία σημασία, για τον υπολογισμό του χρονικού διαστήματος,
αν μετατοπίζεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά,
(μπορώ δηλαδή και για τις δύο περιπτώσεις, ως προς τον υπολογισμό του χρονικού διαστήματος, να γράψω d=Αημωτ4=Αημωτ1, διότι μπορώ να μηδενίζω τον χρόνο πολλές φορές)
δυσκολότερη είναι η δικαιολόγηση (που εδώ δεν του κάνω χρήση) ότι και τ3=τ4,
(έγραψα σχετικά στην ανάλογη δημοσίευση του Γιάννη),
καταθέτω μια ποσοτική αιτιολόγηση:
d=Aημωt *( *=συνεπάγεται !) ημωt=d/A
t2= … (οξεία γωνία, επιστρέφον)
τ3=Τ/2-t2= … = t1-0=τ1=τ4
και μια (περιληπτικά) ποιοτική:
ίσες στοιχειώδεις, συμμετρικές ως προς τη Θ.Ι. μετατοπίσεις πραγματοποιούνται από το σώμα σε ίσους στοιχειώδεις χρόνους, είτε το σώμα πλησιάζει είτε απομακρύνεται, διότι οι ταχύτητές του έχουν ίσα μέτρα (διότι οι κινητικές του ενέργειες είναι ίσες, επειδή οι δυναμικές είναι ίσες και η ολική σταθερή)
αυτό συμβαίνει για όλα τα ζεύγη συμμετρικών μετατοπίσεων και ο ολικός χρόνος είναι το άθροισμα όλων των στοιχειωδών …
(συμφωνώ με την “καλή συνήθεια”,
ιδιαίτερα όταν δεν τους κυνηγά κανείς και … “τους μπαινοβγαίνουν τα παπούτσια”,
ξαναδές τη σελίδα 26 του σχολικού,
καλή ξεκούραση …)
Σχόλιο από τον/την ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:04
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:51
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:56
Γειά σου Χρήστο και σ΄ευχαριστώ.Καταλαβαίνω τα “της πενίας”, αλλά φοβάμαι την “μπακαλική” ( δύσκολη δουλειά -:)).Σε μακαρίζω για την δυνατότητα που έχεις να στέκεσαι στη γέφυρα και να ατενίζεις τον ατελείωτο Αλιάκμονα.Να είσαι πάντα καλά.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 1:48
Μια γενικότερη πρόταση για την ισότητα χρόνων όπως οι τ3, τ4 που αναφέρει πιο πάνω ο Βαγγέλης (χωρίς να μου βάλετε τις φωνές :-)):
Μετατοπίσεις μεταξύ θέσεων συμμετρικών ως προς τη Θ.Ι., προς οποιαδήποτε φορά, αντιστοιχούν σε ίσα τόξα επί του βοηθητικού κύκλου, επομένως σε ίσες μεταβολές φάσης Δφ. Αλλά Δφ=ωΔt, επομένως καλύπτονται σε ίσους χρόνους.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 8:34
Από την φίλη Μ.Α. μια λύση απάντηση στο θέμα :
Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 10:04
Δηλαδή Διονύση από χ1 έως χ2 και από -χ2 έως -χ1.
Δεκτή βέβαια (και υπερσύνολο)
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 13:06
Σχόλιο από τον/την Γιώργος Γεωργαντάς στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 16:18
Καλή σας μέρα. Μια ακόμα μικρή συνεισφορά: Το χρονικό διάστημα μετάβασης από τη ΘΙ στη θέση x=+Α/2 είναι προφανώς ίσο με το χρονικό διάστημα μετάβασης από τη ΘΙ στη θέση x=-Α/2, διότι με αντιστροφή της φοράς του άξονα τα δύο σημεία εναλλάσσονται.
Και μια ερώτηση: Στις εξετάσεις, για ένα σώμα που εκτελεί αατ, πρέπει να αποδεικνύεται το ότι η κίνηση από σημείο Α σε σημείο Β είναι ισόχρονη με την κίνηση από το Β στο Α;
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 18:04
Γιώργο στο ερώτημα: Στις εξετάσεις, για ένα σώμα που εκτελεί αατ, πρέπει να αποδεικνύεται το ότι η κίνηση από σημείο Α σε σημείο Β είναι ισόχρονη με την κίνηση από το Β στο Α; θα απαντούσα όχι δεν χρειάζεται. Η αρμονική καμπύλη παρουσιάζει συμμετρίες τις οποίες επικαλούμαστε πολύ συχνά (π.χ τα γραμμοσκιασμένα εμβαδά είναι ίσα στο βιβλίο των Δεσμών κ.λ.π). Άλλο να το αποδεικνύεις στην τάξη ως εφαρμογή στρεφομένων και άλλο να το απαιτείς.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 21:25
Ένα σχόλιο που αφορά την παρατήρηση του Georgios Aloizos και την απάντηση του Ξενοφώντα.
Θεωρούμε ένα δεύτερο σύστημα αναφοράς, το οποίο έχει τους ίδιους άξονες με το δοθέν αλλά τα ρολόγια του καθυστερούν κατά t1 σε σχέση με τα ρολόγια του δοθέντος.
Έτσι την στιγμή t΄=0 το σώμα βρίσκεται στο σημείο Σ1 απομακρυνόμενο από την θέση ισορροπίας, την στιγμή t΄=1.5s ξαναβρίσκεται για πρώτη φορά στην θέση Σ1 και την στιγμή t΄=2.25s βρίσκεται στην θέση Σ2.
Έτσι η λύση είναι και ποιό απλούστερη και ποιό φυσική.
Με την λύση που δίνει ο Ξενοφώντας ( η οποία πολύ μου αρέσει) το ρολόι του διαιτητή την στιγμή που ξεκινά ο αγώνας δείχνει 8:15 και όχι μηδέν.
Και ένα μικρό σχόλιο γαι το στρεφόμενο διάνυσμα.
Η επαφή μου με αυτό ως μαθητής της Γ τάξης του Λυκείου ήταν συγκρουσιακή.
Η μαθηματική μου παιδεία δεν μου επέτρεπε να αποδεχθώ την λογική που λέει επειδή η εξίσωση της απομάκρυνσης της ποροβολής του στρεφομένου διανύσματος είναι ίδια με την εξίσωση της απομάκρυσνης σώματος που είναι δεμένο στο ελατήριο το ίδιο θα ισχύει και για τις ταχύτητές τους. Η φυσική μου διαίσθηση έλεγε ότι είναι σωστό αλλά ήθελα απόδειξη.
Όπως καλά θα καταλάβατε είμαι πολέμιος του στρφομένου διανύσματος.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 22:04
Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 23:01
Βαγγέλη
τα “συγκρουσιακά” στη Φυσική είναι πολλά,
αλλά στην περίπτωση που αναφέρεις,
πιο δύσκολο είναι να αποδεχτείς το πρώτο μισό της πρότασης
(επειδή η εξίσωση της απομάκρυνσης …),
από το δεύτερο μισό
(είναι ίδια με την εξίσωση …)
που αποτελεί συνέπεια του πρώτου
(μου φαίνεται ότι συγκρούεσαι … “ανάποδα”).
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 24 Σεπτέμβριος 2011 στις 23:35
Βαγγέλη Κουντούρη έχεις δίκιο. Η παρατήρησή σού, όπως πάντα, ήταν έγκαιρη και εύστοχη.
Ο ορισμός που μου είχε δοθεί στο Φροντιστήριο που πηγαινα ( δεν θυμάμαι αν υπήρχε σε όλα τα βιβλία της εποχής) ήταν:
Ονομάζουμε απλή αρμονική ταλάντωση την κίνση που είναι ακριβώς ίδια με την κίνηση που κάνει η προβολή του στρεφομένου διανύσματος στον άξονα y΄y.
Στην πραγματικότητα αυτό που δεν δεν έβλεπα ( και με τσάντιζε) ήταν η σχέση που έχει η κίνηση αυτής της προβολής με την κίνση ενός σώματος που είναι δεμένο σε ένα ελατήριο.
Αυτό που δεν μπορούσα να δεχθώ ήταν και οι δύο κατευθύνσεις της ισοδυναίας
ΣF=-Dx <-> x=Aημ(ωt+φ)
Με τον τριγωνομετρικό ορισμό και στοιχειώδη γνώση παραγώγων θα μπορούσα να αποδείξω τουλάχιστον την μια (<-) και να κάνω την αβαρία να πιστέψω την δεύτερη.
Έχοντας αυτή την εμπειρία, στην παράδοσή μου αποδεικνύω ποιοτικά την συνεπαγωή
ΣF=-Dx -> ταλάντωση.
Επειδή πάντα υπάρχουν οι μαθητές που δεν “καταπίνουν αμάσητο τίποτα”, προσπαθώ να ορκίζομαι για όσο το δυνατόν λιγότερα πράγματα.
Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 25 Σεπτέμβριος 2011 στις 0:57
Το δικό μου “συγκρουσιακό” Βαγγέλη
έχει σχέση με την ενέργεια
(πρωταρχική, απαραίτητη, αλλά “άγνωστη” έννοια …)
και με τους μαθηματικούς τύπους με τους οποίους την υπολογίζουμε
και ομολογώ ότι δέχομαι, μάλλον αναγκαστικά,
αφού “πετυχαίνει” και δεν “μας πετάει έξω” στη συνέχεια,
ότι ένα σώμα επειδή κινείται έχει ενέργεια 1/2mυ^2
(προφανώς γνωρίζω την, μέσω έργου, απόδειξη),
ότι η ενέργεια που κερδίζει ένα σώμα
όταν του ασκείται σταθερή δύναμη με κατάλληλο τρόπο
είναι ίση με το έργο (;) της δύναμης …
γράφεις παραπάνω:
“θα μπορούσα να αποδείξω τουλάχιστον την μια (<-) και να κάνω την αβαρία να πιστέψω την δεύτερη.”
πράγματι κάνουμε μια μικρή απάτη και καμωνόμαστε ότι δεν …:
αποδεικνύουμε ότι όταν ένα σώμα πραγματοποιεί Γ.Α.Τ., η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται είναι …,
αλλά δεν αποδεικνύουμε (στα σχολικά βιβλία) ότι αν η συνισταμένη είναι …, τότε το σώμα πραγματοποιεί Γ.Α.Τ.
και χρησιμοποιούμε αυτή τη αναπόδεικτη σχέση, “σαν νοικοκυραίοι”, λες και την έχουμε αποδείξει …
(καλά τι οίστρος δημοσιεύσεων απόψε;
λεφτά για έξοδο περιορισμένα, μέσα πιο οικονομικά, γράφουμε και κανένα σχόλιο …
να το εμπεδώσουμε: για το καλό μας παίρνονται όλα τα μέτρα …)
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 25 Σεπτέμβριος 2011 στις 12:04
Βαγγέλη ανέκαθεν οι χώροι κοινωνικής αλληλεπίδρασης δρούσαν ως συλλογικός ψυχαναλυτής.
Να είσαι πάντα καλά.