Στάσιμα κύματα

Γράφω το ίδιο κείμενο και στην σπουδαία παρούσα ανάρτηση και στην ημέτερη.
Η θέση μου παρουσιάστηκε με πολλά σχόλια και κάμποσες αναρτήσεις. Ένας συνάδελφος μπορεί να μην τις έχει διαβάσει, ή να μην μπορεί να τις διαβάσει, ή να τις ξέχασε ή να βαριέται βρε αδερφέ να διαβάσει κατεβατά.

Όταν έπαιζα στο σχολείο με το τεράστιο ελατήριο, πάντοτε βγαίνανε δεσμοί και κοιλίες.

Πάντοτε στάσιμο δηλαδή. Από την άλλη γνωρίζω την άποψη ότι στην περίπτωση «ελεύθερο άκρο-σταθερό άκρο» το μήκος της χορδής πρέπει να είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ/4.

Επομένως να δεχτώ ότι αυτό που έκανα δεν ήταν στάσιμο αλλά μια περίεργη κυματική κατάσταση;

Ένα «μαϊμού» στάσιμο δηλαδή;

Σε μια χορδή δεδομένου μήκους προκαλούμε μια διαταραχή. Ισχύει η κυματική διαφορική εξίσωση. Αυτό που «θα στηθεί» τελικά πρέπει να είναι λύση της εξίσωσης αυτής.

Λύσεις της εξίσωσης είναι:

Αρμονικοί όροι που αντιστοιχούν σε κύματα διαδιδόμενα προς τα δεξιά.

Αρμονικοί όροι που αντιστοιχούν σε κύματα διαδιδόμενα προς τα αριστερά.

Περιοδικές συναρτήσεις που γράφονται ως αθροίσματα αρμονικών όρων.

Αθροίσματα ενός αρμονικού όρου που αντιστοιχεί σε κύμα προς τα δεξιά και ενός αρμονικού όρου που αντιστοιχεί σε κύμα προς τα αριστερά.

Κ.λ.π.

Φυσικά θα κρατήσουμε τις λύσεις που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες.

Αν έχουμε χορδή πακτωμένη στα άκρα της, ο αρμονικός όρος που αντιστοιχεί σε κύμα προς τα δεξιά δεν τις ικανοποιεί. Ούτε ο αρμονικός που αντιστοιχεί σε κύμα προς τα αριστερά.

Τις ικανοποιεί όμως το άθροισμα Α.ημω.(t-x/υ)+ Α.ημω.(t+x/υ)..

Μοιάζει σαν η λύση να πρόκυψε από ένα κύμα που πήγαινε δεξιά και ανακλάστηκε.

Αναγκαστικά βεβαίως πρέπει το μήκος της χορδής να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ/2.

Δεν είναι όμως το μοναδικό που θα δούμε. Θα δούμε όλες τις λύσεις, όλες τις συχνότητες που ικανοποιούν την L=κ.λ/2. Αυτό αν διαταράξουμε την χορδή και την αφήσουμε ελεύθερη.

Αν όμως περιοδικός διεγέρτης με ηλεκτρομαγνήτη διεγείρει την χορδή, τότε θα δούμε μόνο το στάσιμο με συχνότητα αυτής του διεγέρτη. Αν ο διεγέρτης έχει συχνότητα διαφορετική από κάθε συχνότητα της χορδής, δεν θα στηθεί στάσιμο. Θα δούμε μια περίεργη κυματική κατάσταση.

Το στάσιμο δηλαδή δεν βγαίνει στην τύχη. Πρέπει να βάλουμε σωστή συχνότητα στον διεγέρτη.

Όμως η περίπτωση:

Είναι πολύ διαφορετική.

Πάλι ισχύει η ίδια διαφορική εξίσωση. Πάλι ένα άκρο είναι ακίνητο και αποκλείει από τις λύσεις τον όρο Α.ημω.(t-x/υ) και τον Α.ημω.(t+x/υ).

Δέχεται όμως ως λύση το άθροισμά τους:

Α.ημω.(t-x/υ)+ Α.ημω.(t+x/υ)

Όπου ω αυτό του χεριού του παιδιού και Α ένα μήκος που εμείς πρέπει να καθορίσουμε.

Αν το ω του χεριού είναι κάποια από τις συχνότητες της πηγής, το πλάτος είναι άπειρο, διότι το χέρι του παιδιού δεν είναι ακριβώς δεσμός. Αυτό λέγεται συντονισμός.

Υπάρχουν συχνότητες (L=(2κ+1)λ/4) στις οποίες το Α είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης του χεριού του παιδιού.

Η κατάσταση ονομάζεται «αντισυντονισμός». Είναι μια άχαρη κατάσταση, ανεπιθύμητη σε κάθε επίδειξη.

Αν βάλουμε μια τυχαία συχνότητα, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το Α από το πλάτος ταλάντωσης του χεριού, το L και το λ.

Το στάσιμο που θα στηθεί θα έχει μόνο μία συχνότητα και δεν θα έχουμε την συνύπαρξη όλων των συχνοτήτων της χορδής, που έχουμε όταν την «τσιμπάμε» και την αφήνουμε ελεύθερη να κάνει παιγνίδι.

Αν στοιχηματίσετε ότι το παιδί μπορεί να κινήσει αρμονικά το χέρι του χωρίς να γίνει στάσιμο, χάσατε. Όποια και αν είναι η συχνότητα, θα έχουμε στάσιμο. Το παιδί όταν κάνει επίδειξη ρυθμίζει ασυναίσθητα την συχνότητα του χεριού ώστε να απομακρυνθεί από τον αντισυντονισμό και να πλησιάσει τον συντονισμό. Τότε θα έχουμε μεγάλα πλάτη ταλάντωσης στις κοιλίες.

Αν το παιδί θέλει να χάσετε το στοίχημα, το μόνο που μπορεί να κάνει είναι να βάλει μια από τις συχνότητες «αντισυντονισμού». Πάλι όμως θα κερδίσετε. Μπορεί να μην είναι θεαματικό το στάσιμο, είναι όμως στάσιμο.

Αν βάλει μια συχνότητα τυχαία, τότε γενικά το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το πλάτος ταλάντωσης του χεριού.

Το ότι η εικόνα φαίνεται θολή στους δεσμούς, οφείλεται στην αυξομείωση της συχνότητας ταλάντωσης του χεριού και στην επακόλουθη «μειοαύξηση» του μήκους των ατράκτων.