by 
Μια άσκηση που στάλθηκε στο μέιλ μου, για …απασχόληση ΣΚ 🙂 και που:
Απευθύνεται μόνο σε Καθηγητές!
Μια ομογενής ράβδος ΟΑ μήκους l και μάζας m είναι αρθρωμένη στο κάτω άκρο της Ο και ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, σε επαφή με έναν κύβο μάζας Μ, ο οποίος ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Σε μια στιγμή δίνουμε μια πολύ μικρή ώθηση στη ράβδο, με αποτέλεσμα να καταστρέφεται η ισορροπία της και να αρχίσει να περιστρέφεται, σπρώχνοντας τον κύβο προς τα δεξιά όπως στο δεύτερο σχήμα.
Η ράβδος χάνει την επαφή με τον κύβο τη στιγμή που σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση. Οι επιφάνειες είναι λείες.
i) Η τιμή του λόγου Μ/m είναι ίση:
α) 2:3, β) 3:2, γ) 4:3, δ) 3:4.
ii) Ποια η τελική ταχύτητα του κύβου;
καλημέρα και από εδώ Διονύση
μια σκέψη (με διατήρηση ενέργειας): τη στιγμή που χάνεται η επαφή, η ράβδος πραγματοποιεί στροφική κίνηση και το ελεύθερο άκρο της έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο, η οριζόντια συνιστώσα της οποίας είναι ίση με την ταχύτητα του κύβου, και η μείωση της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας της ράβδου είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής ενέργειας της ράβδου, λόγω περιστροφής, και της κινητικής ενέργειας του κύβου λόγω μεταφοράς
Καλημέρα Βαγγέλη και σε ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.
Μια ερώτηση:
Όλα αυτά που περιγράφεις δεν ισχύουν και για όλες τις προηγούμενες θέσεις, πριν φτάσει η γωνία τις 30°;
ναι, Διονύση, ισχύουν για όλες τις ενδιάμεσες, αλλά επειδή ζητείται και η τελική ταχύτητα του κύβου
(δεν βλέπω, όμως, πώς θα "απαλλαγώ" από το μήκος l της ράβδου)
Καλημέρα παιδιά.
Αν δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ ράβδου και κύβου, η ενέργεια διατηρείται. Εδώ να υποθέσουμε πως δεν υπάρχει τριβή;
Αν το αποτέλεσμα είναι το ίδιο (με τριβή και χωρίς τριβή), ορθώς η εκφώνηση παραλείπει τέτοια αναφορά.
Τότε όμως ότι βγάλουμε για λεία σώματα θα ισχύει και για μη λεία.
Αν όχι η άσκηση έχει λύσεις πολλές.
Καλημέρα Γιάννη.
Όχι δεν υπάρχουν πουθενά τριβές.
Νομίζω η εκφώνηση το λέει καθαρά.
Τότε Διονύση λύνεται. Πιστεύω πως Δ.Ε+κεντρομόλος+επιτρόχιος και βγαίνει.
Θα δοκιμάσω λύση.
Καλημέρα σε όλουs τουs φίλουs.Καλημέρα Διονύση.
Βρίσκω παιδιά τιμή λόγου Μ/m=4/3.
To αντιμετώπισα με παραγώγιση βρίσκονταs την ταχύτητα του κύβου
v=ωlημθ και το ω με την διατήρηση τηs ενέργειαs.
θα πρέπει τη στιγμή που χάνεται η επαφή να είναι μέγιστη η ταχύτητα του κύβου.Οπότε από τη συνάρτηση f(θ) μηδενίζονταs τη πρώτη παράγωγο και αφού θ=30 βρίσκω λόγο λ=4/3.
Και από τον Κώστα Ψυλάκο μια λύση:
Αλλά και σε pdf: Ράβδος – Κύβος
Καλημέρα σε όλους,
Μια μικρή … συντόμευση στη λύση του Κώστα
Ο λόγος της εμφάνισης των δυνάμεων επαφής F, -F είναι ότι το άκρο Α έχει οριζόντια συνιστώσα επιτάχυνσης, προκαλούμενη από τη δράση του βάρους και έτσι σπρώχνει τον κύβο αναγκάζοντάς τον να επιταχύνεται κι αυτός.
Στις 30º όμως η επιτάχυνση του άκρου Α γίνεται κατακόρυφη και έτσι παύει να σπρώχνει τον κύβο, μηδενίζονται δηλαδή οι δυνάμεις επαφής. Οπότε:
εφ30º = αΚ / αΕ = ω²·ℓ / (αγων·ℓ) → αγων = ω²·√3
Επίσης:
αγων = Στ(Ο) / ΙΟ = ½·mgℓ·συν30º / (⅓·mℓ²) → αγων = 3·g·√3 / (4ℓ)
και συνδυάζοντας:
ω² = 3g / (4ℓ)
(Στη συνέχεια ΑΔΜΕ …)
Καλημέρα
Η ράβδος μέχρι να οριζοντιωθεί δε χάνει την επαφή της με τον κύβο. Αν υποθέσουμε ότι πριν οριζοντιωθεί χάνεται η επαφή τότε τη στιγμή που οι δυνάμεις επαφής καταργούνται η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του πάνω άκρου της ράβδου είναι ίση με την ταχύτητα του κύβου. Η ταχύτητα του κύβου παραμένει σταθερή αφού η επιταχύνουσα δύναμη έχει καταργηθεί. Η ροπή του βάρους όμως θα συνεχίσει να δημιουργεί μια επιτάχυνση κάθετη στο πάνω άκρο της ράβδου η οποία θα δίνει μια οριζόντια συνιστώσα που θα αυξάνει την οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του άνω άκρου της ράβδου. Άτοπο.
Λίγη ώρα πριν έχω ξυπνήσει και ακόμη πίνω καφέ. Αν έχω πει και καμιά ανοσία συγχωρέστε με. Δικαιολογίες…..
Καλή Κυριακή σε όλους!
Να ευχαριστήσω όλους όσους απάντησαν στο παραπάνω πρόβλημα και κυρίως τον Ιωάννη και τον Κώστα για τις δυο λύσεις που έδωσαν. (Το συμπλήρωμα με τις επιταχύνσεις του Διονύση, ήταν το κερασάκι στην τούρτα!).
Η άσκηση που μου στάλθηκε στο email, ήταν η παρακάτω:
Η πρώτη μου σκέψη ήταν αυτή που διατύπωσε ο Βαγγέλης (με τις ταχύτητες), ενώ στο υπόβαθρο “κυκλοφορούσε” το πώς θα απορριφτεί η σκέψη που πριν λίγο, έγραψε ο Μανώλης.
Το ανάρτησα λοιπόν και το άφησα…
Έτσι όταν με πήρε τηλέφωνο ο Κώστας για να μου πει τη λύση που είχε καταλήξει, ξεκαθάρισε το τοπίο.
Το πρόβλημα δεν είναι οι ταχύτητες μόνο, αλλά και οι επιταχύνσεις και ΚΥΡΙΩΣ το τι είναι αυτές οι επιταχύνσεις.
Το έχουμε δει πάμπολλες φορές, αλλά πάντα είναι εύκολο το να γίνει το λάθος. Το άκρο Α έχει επιτάχυνση (μόνο επιτάχυνση) και είναι δική μας οπτική γωνία οι χαρακτηρισμοί κεντρομόλος ή επιτρόχια…
Αλλά και η λύση, που στο μεταξύ έδωσε ο Ιωάννης Τσιφτελής, “φώτιζε” από μια άλλη σκοπιά το πρόβλημα. Ο αποχωρισμός θα γίνει στη θέση εκείνη που η ταχύτητα του κύβου γίνεται μέγιστη, όπου ισοδύναμα οδηγεί στο ότι γίνεται μέγιστη η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του άκρου Α. Όχι η ταχύτητά του, αλλά η οριζόντια συνιστώσα της…
καλημέρα σε όλους
Μανώλη (πριν λίγο ξύπνησα και εγώ, που έχω και περισσότερους λόγους να γράψω ανοησία, διότι παίρνω και χάπι πίεσης…)
νομίζω ότι δεν έχεις δίκιο διότι, ναι μεν η ταχύτητα του άκρου θα μεγαλώνει συνέχεια, όπως σωστά γράφεις, αλλά η "σπρώχνουσα" συνιστώσα της, η οριζοντία δηλαδή, θα έχει max, διότι "παίζει" στον τύπο της και το ημφ
Καλό απόγευμα
Βαγγέλη αν και δεν παίρνω χάπι την πάτησα. Υπάρχει και η κεντρομόλος που βέβαια την είχε χρησιμοποιήσει ο Κώστας στην άρτια λύση του αλλά εγώ απάντησα πριν τη δω. Εξαιρετικό θέμα Διονύση. Μπράβο στον Κώστα Ψυλάκο για τη λύση.
Καλησπέρα!
Το τρέξιμο των ημερών καλά κρατεί…
Μανώλη σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια!
Ωραία η σκέψη του συναδέλφου Τσιφτελη αλλά και του Δ. Μητρόπουλου!
Πολύ ενδιαφέρον θέμα. Δύσκολοι οι χειρισμοί που πρέπει να γίνουν μιας και το άκρο της ράβδου που είναι σε επαφή με τον κύβο 'κρύβει' πολλά!