by 
Μία μεγάλη μάζα Μ ενός ασυμπίεστου υγρού βρίσκεται στο κενό και καταλαμβάνει σφαιρικό όγκο ακτίνας R ισορροπώντας χάρις στη βαρυτική του δύναμη. Θεωρώντας την επιφανειακή τάση αμελητέα να προσδιοριστεί η πίεση στο κέντρο του υγρού. Ας θεωρήσουμε τώρα ένα σώμα βυθισμένο στο υγρό το οποίο είναι μικρό και στερεό πυκνότητας ρ και όγκου V σε απόσταση l από το κέντρο του υγρού όπου l πολύ μεγαλύτερο από το σώμα και πολύ μικρότερο από το R. Να προσδιορίσετε τη δύναμη που ασκείται σε αυτό
καλό μεσημέρι σε όλους
(με ερωτηματικό ως προς τις πράξεις)
Ρ=3GM^2/8πR^3
F=GMml/R^3
Καλημέρα Πάνο, καλημέρα Βαγγέλη,
Πάνο έχει ζέστη, μας βάζεις και δύσκολα
Βαγγέλη νομίζω σου έχει ξεφύγει ο εκθέτης στην R (ή ξέφυγε σε μένα
)
Ένας υπολογισμός κι από μένα για την πίεση στο εσωτερικό της υγρής σφαίρας Μ, R:
Αν σε απόσταση x από το κέντρο της η πίεση είναι Ρ, τότε αυτή θα οφείλεται στη βαρυτική έλξη που δέχεται το τμήμα πάχους R-x από την εσωτερική σφαίρα ακτίνας x. Αν η ακτίνα x μεταβληθεί κατά dx, τότε θα μεταβληθεί και η πίεση κατά dP και η μεταβολή θα οφείλεται στη βαρυτική έλξη πάνω στον σφαιρικό φλοιό ακτίνας x και πάχους dx. Οπότε έχουμε:
dP = dm·g / (4π·x²) = ρ·(4π·x²)·dx·g / (4π·x²) = ρ·g·dx
όπου g η ένταση στην απόσταση x, η οποία μεταβάλλεται γραμμικά με το x:
g / g₀ = x / R → g = (G·M / R²)·x / R → g = G·M·x / R³
και ρ η πυκνότητα:
ρ = Μ / (⁴/₃·π·R³) = 3·M / (4π·R³)
Με αντικατάσταση:
dP = [3·M / (4π·R³)]·(G·M·x / R³)·dx → dP = [3·G·M² / (4π·R⁶)]·x·dx
και με ολοκλήρωση από x έως R:
P = [3·G·M² / (4π·R⁶)]·( R² /2 – x² / 2) → P = [3·G·M² / (8π·R⁶)]·( R² – x²)
Οπότε η πίεση στο κέντρο της υγρής σφαίρας (x = 0) είναι:
PΚ = 3·G·M² / (8π·R⁴)
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Δύσκολες πράξεις μας βάζεις Πάνο καλοκαιριάτικα.
Βρίσκοντας την ένταση του πεδίου στο εσωτερικό, με βάση τον Causs, όπως εδώ, βρήκα ότι g=(4/3)Gπρr, για απόσταση r.
Στη συνέχεια υπολόγισα την πίεση ως λόγο p=w/dA παίρνοντας το βάρος μιας στήλης με βάση dA και ύψος R-r (το βρήκα με ολοκλήρωση) και κατέληξα στην σχέση:
η οποία για r=0 δίνει την πίεση στο κέντρο, ίδια με αυτήν που υπολόγισε παραπάνω ο Διονύσης (αντικαθιστώντας την πυκνότητα ρ).
Άρα σωστά;
Διατηρώ μια επιφύλαξη.
Πήρα στήλη σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου για να βρω πίεση. Δεν θα έπρεπε να πάρουμε το στερεό που περιλαμβάνεται σε στερεά γωνία που βλέπει τη στοιχειώδη επιφάνεια dA;
Συμφωνώ με το αποτέλεσμα των Διονύσηδων. Βαγγέλη καλοκαιριάτικα σου ξέφυγε κάποιο R. Απόλυτα δικαιολογημένος. Για τη δύναμη που είναι το βάρος – άνωση βγάζω τον τύπο
F=(ρ-3Μ/4πR^3)GMLV/R^3
αν έχω κανένα λάθος παρακαλώ λόγω καλοκαιριού συγχωρέστε με
Σωστοί όλοι σας
Πράγματι "έφαγα" ένα R με συνέπεια η πίεση να εκφράζεται σε Ν/m…
Η σκέψη ήταν όπως για το βαρυτικό πεδίο στο εσωτερικό της Γης, αν αυτή ομογενής
(κανονικά πρέπει να αποδειχθεί και ότι σε θέση r ο φλοιός πάχους R-r είναι σαν να μην υπάρχει, που απαιτεί χρήση στερεάς γωνίας)
Καλημέρα.
Μια συμπύκνωση ουσιαστικά της λύσης Μητρόπουλου
https://drive.google.com/open?id=1hNDqxiB529KelnoRiD1Wz7iU5XEv_OEi
Καλημέρα σε όλους,
Με προβλημάτισε η λύση που έδωσε ο Διονύσης, ολοκληρώνοντας σε στήλη και όχι σε κώνο, και την έψαξα λίγο κι απ’ ότι καταλαβαίνω είναι σωστή.
Ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε σε απόσταση x από το κέντρο και θεωρούμε έναν σφαιρικό φλοιό ακτίνας x και πάχους dx. Κάθε στοιχειώδες τμήμα του φλοιού αυτού είναι ένας «κόλουρος κώνος» με καμπυλωμένες βάσεις, με στερεά γωνία κορυφής έστω dθ, που οι δύο βάσεις του έχουν εμβαδά αντίστοιχα:
dS₁ = 4π·x²·dθ / 4π = x²·dθ και dS₂ = 4π·(x+dx)²·dθ / 4π = (x+dx)²·dθ
Ο όγκος του είναι:
dV = ⅓·[dS₂·(x+dx) – dS₁·x] = ⅓·[(x+dx)³ – x³]·dθ =
= ⅓·(x³ + 3·x²·dx + 3·x·dx² + dx³ – x³)·dθ =
= ⅓·(3·x²·dx + 3·x·dx² + dx³)·dθ ≈ ⅓·(3·x²·dx + 3·x·dx²)·dθ =
= x·dx·(x + dx)·dθ ≈ x²·dx·dθ
σαν να ήταν δηλαδή κύλινδρος ύψους dx και όχι κόλουρος κώνος:
dV = dS·dx = (4π·x²·dθ / 4π)·dx = x²·dx·dθ
Οπότε καλώς ολοκληρώνει ο Διονύσης κατά μήκος στήλης για x από 0 έως R και όχι κατά μήκος κώνου.
Εξάλλου και στη λύση που ανέβασα κι εγώ κι ο Άρης, τον όγκο του σφαιρικού φλοιού τον γράφουμε:
dV = 4π·x²·dx
δηλαδή «εμβαδό βάσης επί ύψος», που παραπέμπει σε πρισματικό σώμα.
Καλησπέρα Διονύση.
Χαίρομαι που ασχολήθηκες και υπολόγισες τον όγκο του "κόλουρου" (δεν είναι ούτε τέτοιος, αφού οι βάσεις είναι σφαιρικές επιφάνειες και όχι επίπεδες!!!).
Η αλήθεια είναι ότι δεν προσπάθησα να το κάνω, μου μπήκε η ιδέα, αλλά την έδιωξα
Είδα και τη δική σου λύση και στη συνέχεια του Άρη, οι οποίες παραπέμπουν σε πρίσμα και … έμεινε!
Διαβάζοντας τώρα τη λύση που δίνεις, βλέπω τη σχέση dV== x·dx·(x + dx)·dθ η οποία γίνεται ≈ x²·dx·dθ με την προϋπόθεση ότι μιλάμε για απειροστό dx. Αν όμως πάρουμε τον όγκο από x σε R, μήπως η προσέγγιση πρέπει να αποφευχθεί;
Τα προβλήματα που μας δίνεις, αγαπητέ Πάνο, είναι προβλήματα για ν΄ ασχοληθεί κάποιος στα ημίχρονα των αγώνων του Μουντιάλ. Προβλήματα για να ασχοληθεί κάποιος την θερινή περίοδο, που δεν έχει άλλα πράγματα να τον απασχολήσουν, είναι άλλου τύπου. Είναι σαν κι αυτό που απασχολούσε εμένα την τελευταία βδομάδα στις παραλίες και το τελικό βήμα το έκανα την ώρα που έκανα ηλιοθεραπεία στο πόρτο Κατσίκι: η ερμηνεία της συμπεριφοράς του εκκρεμούς του Φουκώ (τη λύση τη δημοσίευσα χτες).
Το κοινό μας σημείο είναι ότι ασχολούμαστε με τη βαρύτητα μεγάλων σφαιρικών μαζών. Να λοιπόν ένα δυνατό πρόβλημα: παρατηρώντας το σύμπαν με ένα τηλεσκόπιο, βλέπεις μια υγρή μάζα που, αντί για σφαιρικό σχήμα, έχει πεπλατυσμένο. Αμέσως θα συμπεράνεις ότι το σχήμα οφείλεται στην περιστροφή της μάζας γύρω από τον μικρό της άξονα. Μελετώντας το σχήμα θα βρεις τη γωνιακή ταχύτητα της περιστροφής. Το θέμα όμως είναι ότι δεν μπορείς να είσαι απολύτως σίγουρος ότι το πεπλατυσμένο σχήμα οφείλεται σε περιστροφή. Ενδέχεται να οφείλεται στην επίδραση κάποιου πεδίου επάνω της.
Το πρόβλημα είναι πολύ γενικότερο: ενώ είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι ένα σώμα περιστρέφεται σε σχέση με τους απλανείς, με ποιόν τρόπο θα κάνουμε τη διαπίστωση ότι περιστρέφεται χωρίς να κοιτάμε τους απλανείς; Κάνοντας το πείραμα του «εκκρεμούς του Φουκώ»;
Δεν σου συνιστώ να ασχοληθείς μ΄ αυτό το πρόβλημα στην παραλία: θα σου κάνει ζημιά ο ήλιος. Θα σου δώσω ένα απλούστερο: τι σχήμα θα αποκτήσει μια περιστρεφόμενη υγρή μάζα; Ελλειψοειδές; Τι σχέσεις θα έχουν οι άξονες;
Καλή λύση και καλό μπάνιο στην παραλία.
Τα 2 προβλήματα που δημοσίευσα φίλε Νίκο είναι από θέματα εισαγωγικών εξετάσεων σε πανεπιστήμιο της Ιταλίας. Στόχος μου ήταν να αποδείξω ότι το επίπεδο της φυσικής σε ορισμένα πανεπιστήμια του εξωτερικού κρίνοντας από τις απαιτήσεις για την εισαγωγή σε αυτά, έχει ανέβει πάρα πολύ. Αντίθετα το επίπεδο στη χώρα μας συνεχώς κατρακυλάει προς τα κάτω.
Για το πρόβλημα που μου έθεσες θα το μελετήσω εν ευθέτω χρόνο. Πάντως η μεθοδολογία που θα ακολουθούσα με την πρώτη ματιά θα ήταν να αλλάξω σύστημα συντεταγμένων, να μεταβώ στο περιστρεφόμενο εισάγοντας τη φυγόκεντρο δύναμη και να δουλέψω με κυλινδρικές συντεταγμένες αφού έχω αξονική συμμετρία. Το φυσικό μου ένστικτο πάντως μου λέει ότι το σχήμα είναι περίπου σαν το σχήμα των γαλαξιών δηλαδή δίσκος. Μπορεί να κάνω και λάθος. Επιφυλάσσομαι.
Καλησπέρα,
να πω μία σκέψη μου. Επειδή υπολογίζουμε την πίεση οπότε και διαιρούμε το στοιχειώδες βάρος μιας ποσότητας μάζας με την αντίστοιχη επιφάνεια μάλλον δεν έχει σημασία ο τρόπος υπολογισμού της, όμως αν θέλαμε να βρούμε μόνο τον όγκο θα έπρεπε να πάρουμε διαμερίσεις που να καλύπτουν "σωστά" όλο το χώρο που μας ενδιαφέρει, άρα μόνο στοιχειώδης σφαιρικούς φλοιούς…νομίζω δηλαδή
Εννοώ λόγω συμμετρίας του σώματος
Πάνο καλό βράδυ.
Δεν ξέρω γιατί ο Νίκος θεωρεί αυτό το πρόβλημα ευκολότερο, αλλά είχα "πέσει" πάνω του πριν καιρό. Η απάντηση είναι ότι το σχήμα ενός υγρού πλανήτη ο οποίος περιστρέφεται, είναι ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές. Η δε εκκεντρότητά του αυξάνει με την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, με άνω όριο αυτήν ενός δίσκου για άπειρη γωνιακή ταχύτητα. Η λύση η οποία έχω υπ' όψιν μου περιλαμβάνει αρχικά την εύρεση του βαρυτικού δυναμικού στο εσωτερικό του πλανήτη, και εν συνεχεία την εφαρμογή της εξίσωσης Navier -Stoke's για την περιστροφική ισορροπία του πλανήτη, με σκοπό τον υπολογισμό της πίεσης στο εσωτερικό του. Τέλος η απαίτηση μηδενικής πίεσης στην επιφάνεια δίνει την σχέση του μεγάλου με τον μικρό άξονα συναρτήσει της γωνιακής ταχύτητας.
Προσωπικά βρήκα όλους τους υπολογισμούς ενδιαφέροντες μεν, δύσκολους δε. Αν κάποιος θέλει να ασχοληθεί, έχω διαθέσιμες παραπομπές και μία συνολική λύση από την αφεντιά μου (προφανώς όχι δική μου).
Νάσαι καλά.
Περεπιμπτόντως έχεις δίκιο για την φυγόκεντρο, οι σφαιρικές συντεταγμένες είναι ευκολότερες για το πρόβλημα.
Στάθη καλημέρα.
Στάθη δεν με κατάλαβες. Στην τελευταία παράγραφο αυτών που έγραψα 17/7, 6:14μμ εννοούσα το εξής: είναι πολύ δύσκολο πρόβλημα, ίσως και άλυτο, να αποκαλύψεις την περιστροφή αντικειμένου χωρίς σύστημα αναφοράς. Το να είναι μια υγρή μάζα πεπλατυσμένη δεν σημαίνει κατ΄ ανάγκη ότι περιστρέφεται, αν και οι αστρονόμοι θεωρούν ότι αυτό είναι το πιθανότερο σενάριο. Είναι στ΄ αλήθεια δύσκολο να βρούμε άλλη αιτία για την διαπλάτυνση. Αλλά δεν μπορούμε να πούμε μετά βεβαιότητας ότι ξέρουμε το κάθε τι που υπάρχει στο σύμπαν. Κι αν μια μέρα κάποιος βρει ότι αιτία της διαπλάτυνσης είναι ένα άλλο πεδίο;
Το πρόβλημα του σχήματος της μάζας είναι για τρίτο έτος φυσικού, που κάνουν μαθηματική φυσική. Το είχα λύσει πριν απο καιρό σ΄ αυτό το δίκτυο. Το σχήμα είναι ελλειψοειδές εκ περιστροφής.