by 
Μία άσκηση αφιερωμένη εξαιρετικά σε αυτούς που έδωσαν Πανελλήνιες το 1974. Σε ένα οριζόντιο τραπέζι υπάρχουν τρεις όμοιες σφαίρες φορτισμένες η κάθε μία με φορτίο q. Συνδέονται μεταξύ τους με τρία ίδια ελατήρια τα οποία στην άλλη άκρη τους συνδέονται από σταθερό σημείο Ο. Ν’ αποδειχθεί ότι στη θέση ισορροπίας θα σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Τριβές δεν υπάρχουν.
Σημ1. Κάποιος υποψήφιος στην προσπάθειά του να αποδείξει την παραπάνω πρόταση και όχι να γράψει απλά “λόγω συμμετρίας….” έγραψε 12 σελίδες και δεν πρόλαβε ούτε να διαβάσει το τέταρτο θέμα. Τελικά πήρε 32/40 μονάδες και πέρασε 10ος στο Φυσικό Αθηνών. Άλλα ήθη και άλλα έθιμα….
Σημ2. Μία ερώτηση για τα ανίψια μας. Ένα διαφανές μπουκάλι νερό περιέχει μία ποσότητα νερού. Πως μπορούμε να διαπιστώσουμε αν περιέχει τη μισή ακριβώς ποσότητα από αυτή που χωράει. Σημειωτέο ότι δεν διαθέτουμε κανένα βοηθητικό μέσο. “Η απάντηση είναι τρεις λέξεις”
Συγνώμη Δημήτρη γράφαμε μαζί. Να δημοσιεύσω τη δική μου λύση ή να αφήσω το Σαββατοκύριακο να ασχοληθεί κάποιος συνάδελφος;
Καλημέρα Πάνο.
Όπως νομίζεις …
Ίσως είναι καλύτερο να αφήσεις και το Σαββατοκύριακο …
Να ασχοληθεί και κανείς άλλος …
Καλημέρα Πάνο, καλημέρα Μήτσο.
Πρωί – πρωί διάβασα την απάντησή σου Μήτσο. Προσπάθησα να σκεφτώ λύση, χωρίς την επίκληση της συμμετρίας.
Πήγα σε τρίγωνο δυνάμεων, αλλά χωρίς συμμετρία, δεν έβγαλα τίποτα
Οπότε μάλλον πρέπει να αποδεχθώ πλήρως τη λύση σου.
Πάνο, δεν υπάρχει λόγος να την κλείσεις τη συζήτηση!
Ας μείνει και ΣΚ, έτσι και αλλιώς οι καλοκαιρινοί ρυθμοί, είναι χαλαροί…
Έχω επεξεργαστεί μια λύση. Την παραθέτω εδώ.
Αφορά ανόμοια φορτία και ανόμοια k. Όμως έχω και κάποιες αμφιβολίες. Θα ήθελα τη γνώμη σας.
Νικόλα καλημέρα από Κέρκυρα. Έχω μία ένσταση ( δεν ξέρω αν είναι και σωστή) στο συλλογισμό ότι επειδή έχουμε 6 ανεξάρτητες τις συντεταγμένες των τριών φορτίων θα είναι ανεξάρτητες μεταβλητές και οι 6 ποσότητες li, ai. Ας υποθέσουμε ότι το q1 βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Τότε το r1 διάνυσμα θα είναι μηδέν. Δοθέντων τώρα των r2,r3 φτιάχνουμε το τρίγωνο των φορτίων, οπότε είναι ορισμένα τα li αλλά ταυτόχρονα ορίζονται και τα αi αφου α2=α3=0 και α1=r2r3 άρα δεν είναι ανεξάρτητα τα α από τα l.
Νίκο Παν και εμένα θα μου επιτρέψεις να συμφωνήσω με τον Πάνο ως προς το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν θεωρήσεις τις έξη μεταβλητές, το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις , που είναι όλες οι θέσεις του τριγώνου στον περιγεγραμμένο κύκλο του. Είναι ευφυέστατο το τρικ που έκανες να αλλάξεις τις μεταβλητές , όμως αν σκεφτείς την γεωμετρία του σχήματος, πέντε παράμετροι, οι δύο πλευρές του τριγώνου και τα τα τρία μήκη των ελατηρίου προσδιορίζουν μονοσήμαντα την τρίτη πλευρά. Φαίνεται προφανές ότι αν βρω ένα κρίσιμο σημείο, λίγο -πολύ αφού υπάρχει και ελάχιστο θα είναι η λύση μου. Όμως αν προσπαθήσεις να προσδιορίσεις κρίσιμο σημείο δεν θα βρεις, γιατί η θU/θα1=0 δίνει k1=0 που δεν ισχύει. Επίσης η λύση αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις νομίζω είναι l={3q^2/(4πεο.k)}^(1/3), και ειναι διαφορετική από αυτή που έδωσες.Νομίζω ότι παίρνοντας την ιδέα σου , αν κρατήσουμε παραμέτρους τα μέτρα r1,r2,r3,l1,l2 και μπορέσουμε να εκφράσουμε το l3 σαν συνάρτηση των πέντε άλλων θα δώσει λύση!!
Μια σκέψη είναι να εφαρμόσουμε τον τύπο του Ήρωνα [Ε=sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}] στην σχέση εμβαδών των τριών εσωτερικών τριγώνων με το μεγάλο,
Ε=Ε1+Ε2+Ε3.
Πάνο και Νίκο έχετε δίκιο. Το είχα καταλάβει ότι κάπου έκανα λάθος. Εν τω μεταξύ επεξεργάστηκα μια νέα λύση. Εδώ.
Νίκο, αν θυμάμαι καλά όταν ήταν πρόβλημα με διαφορικές εξισώσεις δικαιολογούνταν με το θεώρημα της μοναδικότητας της λύσης, ότι αν έβρισκες μια λύση με χρήση συμμετρίας που ικανοποιούσε τις εξισώσεις σου ήταν και η μοναδική που υπάρχει. Σπάνια έβρισκε κάποιος λύση χωρίς χρήση συμμετρία σε τέτοια προβλήματα. Το θέμα εδώ είναι να στηριχθεί η μοναδικότητα της λύσης. Όπως το πρόβλημα όπου σε ένα ταψί τοποθετείς n ίσα φορτία και ζητείται να προσδιορίσεις τη θέση ισορροπίας τους. Με χρήση συμμετρίας άμεσο είναι το συμπέρασμα οτι θα σχηματίζουν κανονικό n-γώνιο, ενώ αν πας να το λύσεις αλλιώς θέλεις ..ένα τετράδιο.
Καλησπέρα
http://opencourses.uoa.gr/modules/units/?course=PHYS19&id=1890
Στην περίπτωση που μελετάω Νίκο, με τρια ελατήρια μηδενικού αρχικού μήκους, υπάρχουν δυο λύσεις: Η μια είναι με τα φορτία στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου και η άλλα με τα φορτία συνευθειακά. Στο συνημμένο επανέλαβα την ανάλυση που ήδη έκανα, αλλά πρόσθεσα στο τέλος τη διερεύνηση της μοναδικότητας της λύσης.
Η αν'αλυση εδώ.
Καλησπερα,
Μια λυση για την ειδικη περιπτωση που τα φορτια ειναι ομοια, τα ελατηρια εχουν το ιδιο Φ.Μ α και την ιδια σκληροτητα κ:
Εστω x1 και x2 οι επιμηκυνσεις δυο εξ΄αυτων. Για τις δυναμεις που ασκουνται στο φορτιο που συνδεεται με αυτα ισχυει:
κx1=κηλ q²/(α+x1)² (1) και κx2=κηλ q²/(α+x2)² (2).
Διαιρωντας κατα μελη την (1) με την (2) και παραγοντοποιωντας προκυπτει:
(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²+2αx1+2αx2+α²)=0 και επειδη ο δευτερος παραγοντας του γινομενου ειναι θετικος πρεπει x1=x2 αρα α+x1=α+x2. Ομοια α+x2=α+x3 και το τριγωνο ειναι ισοπλευρο.
Αγαπητέ Θύμιο. Δεν καταλαβαίνω πως προκύπτουν οι σχέσεις (1) και (2). Μάλλον αναφέρεσαι στο αρχικό λανθασμένο σχήμα που είχα αρχικά δημοσιεύσει.
Μάλλον Πάνο , έπρεπε να την έδινες σαν άλλη άσκηση την νέα έκδοση.
Προσωπικά πιστεύω ότι ο Πάνος ήθελε να δείξει ότι άλλες εποχές εκείνες, άλλες οι σημερινές. Σ΄ αυτό συμφωνώ απόλυτα με τον Πάνο γιατί και γω, στις εισαγωγικές εξετάσεις που έδωσα 5 χρόνια αργότερα, είχα να αντιμετωπίσω θέματα ανώτερου επιπέδου. Απ΄ ότι θυμάμαι ένα από τα θέματα ήταν στο κεφάλαιο των μεταθέσεων, που δεν διδάσκονταν σε κανένα σχολείο (ουτε στο φροντιστήριο). Ένα άλλο θέμα ήθελα αναλυτική γεωμετρία για να βγει. Στη φυσική μάλιστα το ένα θέμα αφορούσε τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου που παράγει ένα άπειρο ευθύγραμμο σύρμα που διαρρέεται από ρεύμα. Το είχα βγάλει με ολοκλήρωση.
Εκείνη την εποχή οι εισαγωγικές εξετάσεις ήταν διαφορετικές από τις σχολικές. Οι σχολικές δεν διέφεραν από αυτές της Β΄ ή της Α΄ Λυκείου. Όταν τελείωνες το σχολείο και ήθελες να δώσεις εισαγωγικές, διάβαζες το καλοκαίρι και τις έδινες το Σεπτέμβριο. Είχαμε 5 μαθήματα και η ύλη ήταν και των τριών τάξεων του λυκείου. Δηλαδή κάναμε στο Λύκειο 450 ώρες φυσική και έπρεπε να τις διαβάσουμε όλες.
Η ύλης φυσικής της Γ΄ είχε: Ταλαντώσεις, κυματική, ακουστική, κυματική οπτική, θεωρία της Σχετικότητας, κβαντική φυσική και πυρηνική φυσική. Ουδεμία σύγκριση με τα σημερινά.
Ο πατέρας μου είχε δώσεις εισαγωγικές το 1947 (είχε τελειώσει το 46 αλλά έκατσε ένα χρόνο να μελετήσει και μετά έδωσε) και πέτυχε στο φυσικό Αθηνών (όπως και γω). Όταν ήμουν μαθητής στο Γυμνάσιο ξεφύλλιζα το βιβλίο που διάβαζε ο πατέρας μου για να δώσει εισαγωγικές. Ήταν του Α. Μάζη. Είχε και πυρηνική φυσική.
Διαβάζοντας την πυρηνική φυσική αυτού του βιβλίου, συνάντησα την εξίσωση του νόμου των πυρηνικών διασπάσεων (τη θυμόμαστε είτε από τα μαθητικά μας χρόνια είτε από τα φοιτητικά. Δεν νομίζω να τη δίδαξε ποτέ κανείς από μας σε σχολείο). Υπήρχε μια μικρή κόκκινη γραμμούλα από πάνω που έδειχνε αυτή την εξίσωση και πάνω από τη γραμμούλα κάποιος είχε γράψει με κόκκινα γράμματα:
Καλά. Θα μπει στο Πανεπιστήμιο.
Να τι έπρεπε να μάθεις για να μπεις στο πανεπιστήμιο τότε. Κατ΄αναλογία σήμερα θα έπρεπε να μαθαίνουμε κβαντική ηλεκτροδυναμικη και κβαντική χρωμοδυναμική.
Αλλά μαθαίνουμε πως χορεύουν τα σώματα στα ελατήρια!