by 
Ένας τρόπος μελέτης ενός εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή είναι να χωρίσουμε τη χορδή σε μεγάλο αριθμό στοιχειωδών τμημάτων και να θεωρήσουμε αυτά τα τμήματα σαν ταλαντωτές σε σύζευξη. Η μελέτη γίνεται με τη μέθοδο του μετασχηματισμού των ατομικών ταλαντώσεων σε normal modes. Όταν οι αρχικές θέσεις και οι αρχικές ταχύτητες των ταλαντωτών είναι γνωστές, οι θέσεις και οι ταχύτητές τους μπορούν να προβλεφθούν σε κάθε χρονική στιγμή.
Η ανάλυση σε .pdf εδώ.
Νίκο διάβασα 4 φορές το τμήμα αυτό της μελέτης και περιμένω την συνέχεια.
Δεν κρύβω έναν φόβο. Χρησιμοποιείς λογική διακριτών τμημάτων αλλά βλέπω την 2η παράγωγο, που προϋποθέτει μη διακριτά Μαθηματικά (συνέχεια λ.χ.). Έχοντας έρθει σε επαφή με συστήματα διακριτού χρόνου, έχω δει ότι κάποιες φορές ισχύουν ιδιότητες των συνεχών συστημάτων και κάποιες όχι. Μπορεί να μην υπάρχει τελικά αντίφαση. Με φοβίζει κάπως το ότι δεν θα μπορέσω να ελέγξω την ορθότητα μη έχοντας σοβαρή άποψη για την αφετηρία.Έτσι θα φοβάμαι το όποιο συμπέρασμα.
Όπως "αποδεικνύαμε" για πλάκα ότι μια οξεία γωνία ήταν ίση με μια ορθή και το λάθος δεν βρισκόταν.
Εν πάση περιπτώσει περιμένω την συνέχεια.
Η δεύτερη χρονική παράγωγος στο αριστερό μέλος είναι ως προς το χρόνο που τον θεωρώ συνεχή μεταβλητή.
Η χορδή είναι αυτή που διαχωρίζεται σε διακριτά κομμάτια. Το μοντέλο αυτό ταιριάζει γάντι σε ένα σύστημα που αποτελείται από άπειρα μικρά ραβδάκια που ενώνουν τις άκρες τους με εύκαμπτες αρθρώσεις. Στην προσέγγιση των μεγάλων μηκών κύματος το μοντέλο προσεγγίζει μια πραγματική χορδή. Θα δείξω στη συνέχεια ότι σε μεγάλα μήκη κύματος το γινόμενο λf είναι σταθερό. Αλλά θα δείξω και τι κάνει το γινόμενο αυτό στα μικρά μήκη κύματος (μεγάλες συχνότητες).
Νίκο ταιριάζει. Όμως δεν είναι θέμα μόνο συνέχειας του χρόνου. Το n με δείκτη n είναι συνάρτηση ώστε να έχει παράγωγο;
Αυτό με μπερδεύει και το φοβάμαι ελαφρώς.
Το η με δείκτη n είναι διανυσματική συνάρτηση του χρόνου. Πρόκειται για τη διανυσματική απομάκρυνση του n-οστού σημείου τη χρονική στιγμή t. Από το συμβολισμό, στον οποίο το t είναι σε παρένθεση, είναι ξεκάθαρο ότι τα η είναι συναρτήσεις του χρόνου.
Καλησπέρα.
Νίκο άρχισα να διαβάζω την τελευταία δουλειά σου (το πρώτο και δεύτερο μέρος εως τώρα). Ίσως θα ήταν καλύτερα αν ανέβαζες όλα τα αρχεία σε μία ανάρτηση (διαδοχικά). Θα διευκόλυνε και την αναζήτηση και τον σχολιασμό.
Τελικά πρέπει να τους αγαπάς πολύ τους πίνακες. Όσον αφορά την διαφορική εξίσωση (5): Στο όριο μιάς συνεχούς χορδής μπορεί κάποιος να δείξει απ' ευθείας ότι εκφυλίζεται στην διαφορική εξίσωση επίπεδων κυμάτων. Στην περίπτωση της ασυνέχειας (πεπερασμένο ε) υποθέτεις περιοδικότητα για Ν = 50. Δεν έχω ακομη δει ολοκληρωμένη την εργασία, αλλά γιατί δεν άφηνες το Ν ως μία τυχαία μεταβλητή; Έχω την εντύπωση ότι επιλύεται και τότε αλγεβρικά. Κάποιες γρήγορες σκέψεις εδώ.
Κλείνοντας το πρώτο σχόλιο, συγχαρητήρια για την μέχρι στιγμής ανάρτηση, είμαι σίγουρος ότι αυτό που ακολουθεί θα είναι εξ' ίσου καό.
Νά 'σαι καλά.
Καλησπέρα Στάθη και ευχαριστώ για το σχόλιό σου.
Υπάρχουν δυο τρόποι να δουλεύουμε με κύματα: οι κυματικές εξισώσεις και οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης. Για να δουλέψουμε με τον δεύτερο τρόπο χρησιμοποιούμε ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα και κάνουμε διακριτικοποίηση. Για αριθμητικές προβλέψεις της εξέλιξης του κυματικού φαινομένου, συνίστανται οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης γιατί μπορούμε να τους χειριστούμε αριθμητικά.
Συγχαρητηρια για την παρατήρηση ότι στο συνεχές όριο η εξίσωση (5) τείνει στην κυματική εξίσωση. Ο αριθμητής του β΄ όρου παραπέμπει σε δεύτερη χωρική παράγωγο. Και από το συντελεστή προκύπτει η ταχύτητα κύματος. Περίμενα αυτή την παρατήρηση.
Προτίμησα να ασχοληθώ με 50 ταλαντωτές και όχι με Ν. Το κείμενο γίνεται κάπως πιο οικείο όταν δίνεις κάποια συγκεκριμένα νούμερα αντί για πχ Ν τμήματα χορδής ή Ν κρίκοι αλυσίδας. Επί πλέον κάνω αριθμητικούς υπολογισμούς στο Excel και η χορδή έχει 50 τμήματα.
Ίσως στο τέλος παρουσιάσω σε ενιαίο κείμενο την εργασία μου. Προς το παρόν παρουσάζω τα τμήματα ξεχωριστά, όπως μου έρχονται στο μυαλό.
Στη νέα συνέχεια, που θα δώσω σήμερα στη δημοσιότητα, θα αντιμετωπίσω το πρόβλημα αναλυτικά (βρήκα τρόπο) και όχι αριθμητικά, όπως έκανα μέχρι τώρα.