by 
Μία άσκηση αφιερωμένη εξαιρετικά σε αυτούς που έδωσαν Πανελλήνιες το 1974. Σε ένα οριζόντιο τραπέζι υπάρχουν τρεις όμοιες σφαίρες φορτισμένες η κάθε μία με φορτίο q. Συνδέονται μεταξύ τους με τρία ίδια ελατήρια τα οποία στην άλλη άκρη τους συνδέονται από σταθερό σημείο Ο. Ν’ αποδειχθεί ότι στη θέση ισορροπίας θα σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Τριβές δεν υπάρχουν.
Σημ1. Κάποιος υποψήφιος στην προσπάθειά του να αποδείξει την παραπάνω πρόταση και όχι να γράψει απλά “λόγω συμμετρίας….” έγραψε 12 σελίδες και δεν πρόλαβε ούτε να διαβάσει το τέταρτο θέμα. Τελικά πήρε 32/40 μονάδες και πέρασε 10ος στο Φυσικό Αθηνών. Άλλα ήθη και άλλα έθιμα….
Σημ2. Μία ερώτηση για τα ανίψια μας. Ένα διαφανές μπουκάλι νερό περιέχει μία ποσότητα νερού. Πως μπορούμε να διαπιστώσουμε αν περιέχει τη μισή ακριβώς ποσότητα από αυτή που χωράει. Σημειωτέο ότι δεν διαθέτουμε κανένα βοηθητικό μέσο. “Η απάντηση είναι τρεις λέξεις”
Αγαπητέ φίλε και συνάδελφε, καλημέρα.
Αν το πρόβλημα δόθηκε μ΄ αυτόν τον τρόπο, θεωρώ ότι δόθηκε λάθος. Γιατί, αυτός που θ΄ αποδείξει ότι στη θέση ισορροπίας σχηματίζεται ισόπλευρο τρίγωνο, αποδεικνύει επίσης ότι αυτή είναι η μοναδική θέση ισορροπίας. Αν και δεν το έχω αποδείξει, θεωρώ ότι αν τα τρία φορτία είναι στον x-άξονα στις θέσεις x=-a, x=0 και x=a για κατάλληλη τιμή του a, θα υπάρξει ισορροπία, έστω και ασταθής. Αν, Πάνο, ο συγκεκριμένος υποψήφιος που σε 10 σελίδες απέδειξε του λόγου το αληθές, αντι να κάνει αυτό αποδείκνυε ότι υπάρχει κι άλλη θέση ισορροπίας, θα πετύχαινε πουθενά;
Νίκο μάλλον δεν έδωσες το 74 γιατί αλλιώς θα τη θυμόσουνα. Η άσκηση έδινε το κ των ελατηρίων το φορτίο q των σφαιρών την ακτίνα r της κάθε σφαίρας το φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίου και ζητούσε την επιμήκυνση χ του κάθε ελατηρίου. Έχω μία επιφύλαξη ( ου γαρ έρχεται μόνον) αν τα ελατήρια ήταν όπως ακριβώς στο σχήμα ή αν ήταν όλα δεμένα σε κάποιο σημείο Ο. Η λύση άρχιζε ως εξής: Στη θέση ισορροπίας λόγω συμμετρίας το τρίγωνο που σχηματίζεται είναι ισόπλευρο. Σχεδίαζες τις δυνάμεις και έπαιρνες συνθήκες ισορροπίας. Αυτό που προσπάθησα ήταν να αποδείξω αυτό που λέγαμε στην αρχή ότι δηλαδή λόγω συμμετρίας στη θέση ισορροπίας το τρίγωνο θα είναι ισόπλευρο. Δεν τα είχα καταφέρει τότε.
Καλό ήταν που δεν τα κατάφερες Πάνο. Αν τα είχες καταφέρει μπορεί να είχες πετύχει σε άλλη σχολή και δεν θα σε είχαμε εδώ να μας δίνεις ασκήσεις για το καλοκαίρι.
Τέτοια περίπτωση δεν υπήρχε αφού πρώτη σχολή είχα βάλει το Φυσικό που τελικά μπήκα 10ος
Γεια σου Πάνο.
Είσαι δηλαδή μια χρονιά του Φυσικού Αθηνών, ένα χρόνο μετά από τη δική μου (και του Φασουλόπουλου, του Πρόδρομου κ.α. …) και μια χρονιά πριν τον Κυριακόπουλο…
Έπρεπε να καταλάβω απ΄ την αρχή ποιό ήταν το όνομα του "κάποιου υποψήφιου".
Καλησπέρα σε όλους
Επέστρεψα πριν λίγο στη βάση μου
Πέρασα καλά και αποτοξινώθηκα από "ρουφιάνους , αλήτες και άλλα συναφή επαγγέλματα που μετατρέπουν τα πάντα σε θέαμα "
Για το πρόβλημα προς ανιψιούς και ανιψιές…ο γνωστός σπασίκλας ανιψιός του Γκούφυ θα απαντούσε "σημειώνουμε την ελεύθερη στάθμη και αναστρέφουμε την φιάλη" … 4+3=7 λέξεις.
ΟΜΩΣ για το πρόβλημα των τριών σημειακών αντικειμένων με όμοιο φορτίο
δεν νομίζω ότι η πρόταση " λόγω συμμετρίας " έχει από μόνη της ισχύ αποδείξεως ( ή έστω επιχειρηματολογημένης συναγωγής ) ότι η διάταξη ισορροπεί ούτε ακόμα και αν συμπληρωθεί με τους χαρακτηρισμούς "επίπεδη κεντρική συμμετρία "… και συνεπώς πιστεύω ότι ο μικρός Παναγιώτης δικαιούται να είναι υπερήφανος για την προσπάθειά του …
Ίσως προσπαθήσω αύριο να γράψω μια κάπως μικρότερη των 12 σελίδων (ελπίζω να μην είναι τόσο δύσκολη ) .
Καλημέρα σε όλους.
Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος νομίζω όμως ότι έχω μια λύση και μάλιστα πολύ γενική για διαφορετικές τιμές των ελατηρίων και των φορτίων και μάλιστα χωρίς να είναι και ομώνυμα. Η ιδέα είναι η εξής: Στην ισορροπία η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν. Συνεπώς θα είναι μηδέν οι συνιστώσες της συνισταμένης σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων πλαγιογώνιο ή ορθογώνιο. Άρα στην ισορροπία για ένα φορτίο η δύναμη που δέχεται από το καθένα από τα άλλα δύο φορτία θα είναι ίση με την αντίστοιχη δύναμη που δέχεται από το ελατήριο που συνδέει αυτό το φορτίο με το κάθε ένα από τα άλλα ξεχωριστά. Ας θεωρήσουμε την απλή περίπτωση που τα φορτία είναι ομώνυμα. Έστω τα q1 και q2 συνδέονται με ελατήριο k1. Αν lo1 είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου τότε η συνάρτηση Fελ=k1*x είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση Fηλ=κ. (q1*q2)/(lo1+x)^2 είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα η εξίσωση Fελ=Fηλ έχει μία μοναδική λύση που είναι η πραγματική λύση της εξίσωσης k1*x=κ. (q1*q2)/(lo1+x)^2
που παίρνει τη μορφή y^3+lo1*y-a=0 όπου y=sqrt(x) και a= sqrt{κ.q1.q2/k1}
Η τριτοβάθμια εξίσωση έχει μια πραγματική ρίζα επειδή ισχύει -(lo1/3)^3-(a/2)^2<0. Ετσι προσδιορίζεται η επιμήκυνση x και η πλευρά είναι lo1+x.
Αν είναι όλα ίδια είναι ίδιες και οι λύσεις και επομένως έχουμε ισόπλευρο τρίγωνο.
Το πρόβλημα Πάνο με το μπουκάλι, το είδα διατυπωμένο και εξής: Έχεις ένα μπουκάλι και ένα μολύβι, να γεμίσεις το μπουκάλι με το μισή ποσότητα νερού από αυτή που χωράει.
Δημήτρη (Γκενέ) έχεις απόλυτο δίκιο. Απλά ήθελα να κάνω μία εκφώνηση παρόμοια με αυτή του προβλήματος του βασιλιά. Ένας βασιλιάς πεθαίνοντας αφήνει την εντολή ότι το βασίλειό του θα το πάρει ένας από τους δύο γιούς που το άλογό του θα φθάσει τελευταίο στα πιο βορεινά σύνορα της χώρας. Οι γιοί βρίσκονται σε αδιέξοδο και πάνε σε ένα σοφό ο οποίος τους έδωσε τη λύση με δύο λέξεις. Ποιες ήταν αυτές; ΑΛΛΑΞΤΕ ΑΛΟΓΑ. Κάτι παρόμοιο είχα σκεφτεί και για το μπουκάλι με τις λέξεις ΑΝΑΠΟΔΟΓΥΡΙΖΩ ΤΟ ΜΠΟΥΚΑΛΙ.
Νίκο Διαμαντή να ζητήσω συγνώμη αφού η άσκηση που μας είχε δοθεί τότε δεν είναι αυτή που έδωσα αρχικά αλλά αυτή που υπάρχει τώρα στο σχήμα. Δεν καταλαβαίνω στη λύση σου γιατί παίρνεις μόνο ένα ελατήριο και μία δύναμη, αφού το κάθε σώμα ισορροπεί με την επίδραση δύο δυνάμεων Χουκ και δύο Κουλόμπ οι οποίες μπορεί να είναι και διαφορετικές όλες μεταξύ τους.
Πάνο αυτό ισχύει διότι όπως δόθηκε το πρόβλημα αρχικά, οι δυνάμεις σε ένα φορτίο είναι τέσσερις, δύο από τα άλλα φορτία και δύο απο τα ελατήρια. Όμως η μία δύναμη απο το ένα φορτίο με αυτή απο το ελατήριο που συνδέεται με αυτό, είναι συγγραμμικές, άρα δίνουν μία συνισταμένη στην κατεύθυνση της μιας πλευράς του τριγώνου. Όμοια για τις άλλες δύο, έχουμε τη συνισταμένη και αυτών στην κατεύθυνση της άλλης πλευρας του τριγώνου . Τώρα έχουμε δύο δυνάμεις οι οποίες δεν ειναι συγγραμμικές. Για να έχουν συνισταμένη μηδέν θα πρέπει η κάθε μια από αυτές να είναι μηδέν. Αυτό εφαρμόζω. Και έτσι που την έγραψες στην αρχή την άσκηση αρκετά ενδιαφέρουσα είναι.
Καλησπέρα
Νομίζω πως έχει δίκιο ο Νίκος Διαμαντής.
Μια παρόμοια έχω αναδιατυπώσει και εγώ εδώ
Μάλιστα μπορεί να εφαρμοστεί και στις δυο διατλαξεις ελατηρίων ( αστέρα ή ισόπλευρου τριγώνου ) χωρίς διάκριση .
Η επίκλιση συμμετρίας θα μπορούσε να γίνει επίσης δεκτή αν διδασκόταν το θεώρημα Noether οπότε θα χρησιμοποιούσαμε τέτοια παραδείγματα όπως και τα αντίστοιχα με τις συμμετρίες που επιβάλλουν τα υβριδικά sp2 στην Χημεία …. Ασφαλώς σέβομαι και τις αντίθετες απόψεις που απορρίπτουν την ύλη που δεν μπορεί να αποδειχθεί ως δηλωτική ή εγκυκλοπαιδική πληροφορία και όχι γνώση… Απλά αντιπροτείνω πως οι επιστήμες δεν είναι μόνο αποδεικτικά σχήματα αλλά και περιγραφές ιδεών και ερμηνευτικών σχημάτων με αναλογίες και αντιστοιχίσεις.
Επισημαίνω πως η περίπτωση είναι ακριβώς ίδια
με την διδικασίας παραγωγής του δυναμικού Lennard-Jones όταν σχηματίζονται μόρια
Τριτοβάθμια εξίσωση με σημείο ευσταθούς ισορροπίας στο τοπικό ελάχιστο …
και ίσως αυτές οι συσχετίσεις έχουν μεγαλύτερη εκπαιδευτική αξία από την ακριβή μαθηματική επίλυση του προβλήματος
Η κάθε σφαίρα δέχεται δυο ίσες κατά μέτρο δυνάμεις Coulomb από τις άλλες που η συνισταμένη τους είναι στη διεύθυνση του ελατηρίου, και αρχίζουν να κινούνται στη διεύθυνση του ελατηρίου, οπότε εμφανίζεται και η δύναμη του ελατηρίου. Υπάρχει μια θέση στην ταλάντωση που θα κάνουν, που εξισώνονται τα μέτρα της δύναμης του ελατηρίου με τη συνισταμένη των άλλων δύο. Λόγω συμμετρίας την ιδία κίνηση θα κάνει η κάθε σφαίρα.
Το σύστημα κάθε στιγμή θα σχηματιζει ισόπλευρο τρίγωνο, αφού αρχικά σχημάτιζε ισόπλευρο τρίγωνο. Το κάθε σφαιρίδιο θα κάνει ταλαντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας του. Το ισόπλευρο τρίγωνο που θα σχηματίζεται τότε, είναι η θέση ισορροπίας του συστήματος και η θέση ελαχιστης δυναμικής ενέργειας.
Καλημέρα Συνάδελφοι
Οφείλω να ζητήσω συγνώμη
από τον Πάνο και τους υπόλοιπους συναδέλφους διότι…
η απόδεξη που παρουσίασα αρχικά ( 3 σχόλια νωρίτερα )για την τριγωνική διάταξη ελατηρίων δεν επεκτείνεται για την διάταξη αστέρος των τριών ελατηρίων αφού οι ελαστικές δυνάμεις δεν είναι συγγραμμικές με τις ηλεκτρικές.
ΕΔΩ το διορθωμένο αρχείο και με τις δυο παραλλαγές όπου στη διάταξη αστέρος δεν μπόρεσα να βρω άλλη λύση πλην της επίκλισης συμμετριών.
Πάνο περιμένω να δω αναλυτική λύση από οποιονδήποτε.
Καλημέρα Πρόδρομε . Δεν είναι δεδομένο το ισόπλευρο στην θέση ισορροπίας. Αυτό είναι το ζητούμενο και όχι ποια κίνηση θα παρατηρήσουμε αν εκτρέψουμε το σύστημα από την θέση ισορροπίας.
Αγαπητέ Διαμαντή Νίκο η λύση σου στην προηγούμενη άσκηση ήταν σωστή και εξαιρετική. Δεν ξέρω όμως πως θα εφαρμοσθεί εν προκειμένω. Αγαπητέ Γκενέ ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω τη λύση σου στο αρχείο που παραπέμπεις αφού οι δυνάμεις Coulomb που ασκούνται από τα δύο άλλα φορτία μπορεί να είναι διαφορετικές. Το ίδιο ισχύει και για σένα Πρόδρομε αφού ξεκινάς με την υπόθεση ότι κάποιο φορτίο δέχεται ίσες δυνάμεις από τα δύο άλλα φορτία. Το ερώτημα είναι αν το σύστημα μπορεί να ισορροπήσει σχηματίζοντας ένα τυχαίο σκαλινό τρίγωνο.