by 
Δυο παιδιά ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β) θέλουν να μετακινήσουν ένα πολύ βαρύ κιβώτιο σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστές τριβής μ=μs=0,4.Δένουν γύρω του ένα σχοινί και ο (Α) προτείνει να το τραβήξουν οριζόντια, ενώ ο (Β) να το τραβήξουν πλάγια υπό γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8. Ποια είναι η καλύτερη λύση;
Διονύση καλησπέρα,
πολύ καλή η άσκηση και πάρα πολύ χρήσιμη για να κατανοήσει ο μαθητής τα της τριβής.
Δύο μικρά σχόλια: Στο τέλος των πράξεών σου είναι F2min=μmg/1,04 (και όχι 10,4) γεγονός που υποδεικνύει τα εξής: α) βάση των δεδομένων της άσκησης η F2 “συμφέρει οριακά” β) αν είχαμε μ=0,3 θα “συνέφερε οριακά” η οριζόντια δύναμη (F1).
Άρα (όπως αναφέρεις) “τα συμπεράσματα δεν γενικεύονται”
Μία γενίκευση είναι η εξής: “Συμφέρει” να ασκήσουμε δύναμη υπό γωνία (προς τα πάνω) αρκεί συνθ+μημθ>1
Δημήτρη σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την επισήμανση του λάθους. Τελικά πάντα κάτι θα ξεφύγει… Από την τελευταία σχέση προκύπτει πράγματι το συμπέρασμα ότι αν συνθ+μημθ>1 συμφέρει η δύναμη να είναι πλάγια.
Η αλήθεια είναι ότι ξεκίνησα να παίξω με την παραπάνω σχέση, αλλά οδηγήθηκα σε μονοπάτια, αδιάβατα για μαθητή Α΄τάξης και …σταμάτησα.
_
Δεν αντέχω στον πειρασμό να μην κάνω μία «σπονδή» στη Γεωμετρία και τη Γλώσσα! 🙂
(Είχαμε συζητήσει κάτι παρόμοιο σε μια ανάρτηση του Δημήτρη Γκενέ).
Στο σώμα Σ ασκούνται το βάρος mg και η αντίδραση R του δαπέδου.
Αν είναι μορ = μολ = μ ο συντελεστής τριβής σώματος – δαπέδου τότε οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΣΗΖ έχουν μέτρα:
(ΣΗ) = mg και (ΗΖ) = μ∙mg
και ισχύει: εφθ = (ΗΖ)/(ΣΗ) → εφθ = μ
Αν ασκηθεί στο σώμα δύναμη F με κλίση πάνω από το δάπεδο (ώστε να μην πιέζει το σώμα σ’ αυτό) και όχι ικανή να ανασηκώσει το σώμα, τότε το διάνυσμά της R μπορεί να καταλήγει οπουδήποτε μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΣΗΖ.
Εάν επίκειται ή συμβαίνει ολίσθηση, τότε η διεύθυνσή της θα συμπίπτει με την ευθεία (ε) που περιέχει και την υποτείνουσα.
Η συνισταμένη των mg και R θα καταλήγει οπωσδήποτε πάνω στην ευθεία (ε΄), παράλληλη της (ε), αφού το βάρος mg είναι σταθερό.
Εάν η ολίσθηση γίνεται σιγά – σιγά, τότε η F θα είναι συνεχώς αντίθετη από τη συνισταμένη των mg και R και είναι εμφανές ότι το μέτρο της ελαχιστοποιείται όταν είναι κάθετη στην (ε). Οπότε:
ημθ = Fmin/mg → Fmin = mg∙ημθ
Με λίγη τριγονωμετρία προκύπτει ότι: ημθ = μ/(1+μ²)½
οπότε τελικά:
Fmin = μ∙mg/(1+μ²)½ και εφθ = μ
Με άλλα λόγια, συμφέρει να προσπαθήσουμε να τραβάμε υπό γωνία όσο το δυνατό πλησιέστερη στη «γωνία τριβής»!
Διονύση, το μόνο “παιχνίδι” με τη σχέση που μπορώ να σκεφτώ για την Α Λυκείου είναι η ακόλουθη (πρόχειρη) περιγραφή:
Στην “οριακή” περίπτωση που και οι δύο δυνάμεις συνιστούν το ίδιο καλές λύσεις θα πρέπει να ισχύει η σχέση: μ=(1-συνθ)/ημθ, η οποία καθορίζει ζευγάρι (θ, μ) για το οποίο καμία δύναμη “δεν συμφέρει”… Η γραφική παράσταση που συνδέει θ και μ είναι η ακόλουθη. Για σημεία πάνω από τη γραφική παράσταση συμφέρει η οριζόντια δύναμη ενώ για σημεία κάτω από τη γραφική παράσταση συμφέρει η πλάγια δύναμη κλπ Επίσης, στην “ακραία” περίπτωση που θ=π/2=1,57 θα πρέπει μ=1. Δηλαδή αν η δύναμη είναι κάθετη (άρα, για να κινηθεί το σώμα, θα πρέπει οριακά να είναι ίση με το βάρος) θα πρέπει μ=1. Αν μ<1 συμφέρει η οριζόντια δύναμη κλπ
Έγραφα χωρίς να δω την ανάρτηση του Διονύση Μητρόπουλου…
Εξαιρετική η προσέγγιση Διονύση και η παρουσίαση…
Να είσαι καλά Δημήτρη,
ήμουν “διαβασμένος” από την … προθέρμανση που είχαμε κάνει στην ανάρτηση του Δημήτρη Γκενέ 🙂
Διονύση και Δημήτρη, να είστε καλά. Το προχωρήσατε βλέπω αρκετά το θέμα!
_
Άχ αυτή η Γεωμετρία!
Μικρή τροποποίηση της προηγούμενης λύσης:
Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΣΗΖ με κάθετες πλευρές που έχουν μέτρα:
(ΣΗ) = mg και (ΗΖ) = μ∙mg
Φέρουμε την ημιευθεία Η(ε΄΄) παράλληλη προς την υποτείνουσα ΖΣ του τριγώνου.
Αν το διάνυσμα της ασκούμενης δύναμης F καταλήγει σε σημείο της εν λόγω ημιευθείας, τότε το σώμα Σ βρίσκεται σε κατάσταση επικείμενης κίνησης.
Προφανώς η F έχει ελάχιστο μέτρο όταν είναι κάθετη στην Η(ε΄΄).
Απο εκεί ξεκίνησε Δημήτρη η ιδέα 🙂
Την διαλύσαμε την όμορφη άσκηση του Μάργαρη…να βάλω κι εγώ ένα χεράκι.
Το ωραίο είναι ότι στην περίπτωση που ο φορέας είναι επί του κώνου της στατικής τριβής υπάρχει μια περίεργη ισορροπία μόνο όταν η αρχική ταχύτητα είναι 0. Αν όμως κάποιος δώσει αρχική ταχύτητα τότε επειδή συνήθως μ(ολ)<μ(ορ) τότε τ σώμα επιταχύνεται !
Και βέβαια ο κώνος του Δημ. Αν. αναφέρεται σε θλιπτικές δυνάμεις γιατί στις δυνάμεις εφελκυσμού είναι απαραίτητοι οι περιορισμοί του Μητρόπουλου ( Fsinθ<mg)
(Κι επειδή με πειράζει ο Μητρόπουλος για την τσαπατσουλιά μου. το ξέρει ότι είναι πλεονέκτημα προσωπικής οργάνωσης) η παλιότερη συζήτηση ήταν εδώ
Σχώραμε Μάργαρη με παρέσυραν
Διονύση κόλλησα με την άσκηση αυτή, σχώρα με και μένα όπως λέει ο Δημήτρης 🙂
Για … αποζημίωση παραθέτω την παρακάτω γραφική παράσταση:
Οι κόκκινες γραμμές απεικονίζουν το μέτρο της δύναμης F για το οποίο επίκειται ολίσθηση, σε συνάρτηση με τη διεύθυνσή της φ ως προς το δάπεδο, για διάφορες τιμές του συντελεστή τριβής μ:
F = mg∙μ/[(1+μ²)½∙συν(|θ–φ|)] όπου εφθ = μ
Τα ελάχιστα σε κάθε περίπτωση εμφανίζονται για φ = θ = τοξεφ(μ)και δίνονται από τη σχέση:
Fmin = mg∙μ/(1+μ²)½
Τέλος, η μπλε γραμμή απεικονίζει αυτά τα ελάχιστα σε συνάρτηση με τη γωνία φ:
Fmin = mg∙εφφ/(1+εφφ²)½
Μάλλον … καλησπέρα πρέπει να πω εγώ!
(Τώρα ξύπνησες ή δεν κοιμήθηκες ακόμα;)
Με το graph.
… και στη συνέχεια “σώσιμο σαν εικόνα” φόρτωμα στο word επεξεργασία / προσθήκες, κλπ.
Αν σώσεις το αρχείο του graph σαν .emf και το εισάγεις στο word, μετά με δεξί κλικ πάνω του και “επεξεργασία εικόνας”, το word το μετατρέπει σε δικό του σχέδιο με γραμμές κλπ.
Δημήτρη και Διονύση, δεν μου διαλύσατε την άσκηση και προφανώς δεν υπάρχει κάτι για να σας συγχωρήσω!!! Άλλωστε, το να είναι αφορμή μια απλή άσκηση που απευθύνεται σε μαθητές Α΄Λυκείου, για τόσο όμορφα πράγματα, χαρά και μόνο μου προκαλεί.
Να είστε καλά.
ΔΙΟΝΥΣΗ ΚΑΛΗΜΕΡΑ …ΠΟΛΥ ΚΑΛΑ ΕΚΑΝΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΙΝΕΣ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ …ΓΙΑΤΙ ΑΠΟΔΕΙΧΤΗΚΕ ΟΤΙ ΕΧΕΙ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ…ΠΡΙΝ ΑΠΟ ΕΝΑ ΧΡΟΝΟ ΠΕΡΙΠΟΥ ΕΙΧΑ ΚΑΝΕΙ ΜΙΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΡΙΓΜΕΝΗ ΣΕ ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΙΒΗ…ΑΝ ΜΟΥ ΕΠΙΤΡΕΠΕΙΣ ΘΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΤΑ ΣΤΟΝ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟ…Σ’ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ.
ΕΧΕΙ ΠΑΝΤΑ Η ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΡΙΒΗ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ?
ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥ : ΤΡΙΒΗ ΜΙΑ ΑΠΙΣΤΕΥΤΗ ΔΥΝΑΜΗ
Ένα σώμα ηρεμεί πάνω σε οριζόντια επιφάνεια . Ο συντελεστής στατικής τριβής των δυο επιφανειών είναι μs . Ασκούμε στο σώμα μια δύναμη F- όπως δείχνει το σχήμα- που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή (από πολύ μικρή μέχρι πολύ μεγάλη χωρίς να χαλά την γεωμετρία του σχήματος)…..
Nα δείξετε ότι υπάρχει μια περιοχή γωνιών (θ) όπου όσο και να αυξήσουμε την δύναμη (F) το σώμα θα μένει συνεχώς ακίνητο.
Συνέχεια σε…pdf
Πολύ ωραία η εργασία σου Γιάννη. Μπράβο. Ευχαριστούμε που την μοιράστηκες μαζί μας.